結(jié)構(gòu)化：讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向深刻

錢建兵

數(shù)學(xué)是結(jié)構(gòu)的科學(xué)。布魯納說：“不論教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)?！闭w大于各部分之和，學(xué)習(xí)也是一個系統(tǒng)工程，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本質(zhì)上就是學(xué)生知識經(jīng)驗的獲得與積累在其頭腦中建立起相應(yīng)認(rèn)識結(jié)構(gòu)的過程。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善用聯(lián)系的思維，有結(jié)構(gòu)地教。以數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)核心概念與基本概念為抓手，有聯(lián)系地教。去幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)并建立良好的知識結(jié)構(gòu)，促進學(xué)生學(xué)力的提升。

一、高位行走，深度理解觀結(jié)構(gòu)

所謂結(jié)構(gòu)，就是看到一致性。數(shù)學(xué)是內(nèi)在統(tǒng)一、和諧的，看不到數(shù)學(xué)的內(nèi)在統(tǒng)一，是因為我們對知識、方法及思想的理解不夠。因為“只緣身在此山中”，所以認(rèn)識過程中容易產(chǎn)生偏差，認(rèn)識上會有局限。因此，在教學(xué)中我們要適當(dāng)?shù)匾I(lǐng)學(xué)生再往前走一步，站在高處往下看，反思回顧所學(xué)知識、方法之間的聯(lián)系，體會其內(nèi)在的一致性，把握數(shù)學(xué)的整體感。

1.往前一步，透過現(xiàn)象回到本質(zhì)見結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)中很多表面看似不同的規(guī)律，其內(nèi)在的方法與思想是一致的。如商不變規(guī)律、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)等，其本質(zhì)都是一致的。教學(xué)中教師要適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，穿透經(jīng)驗的枷鎖，培養(yǎng)學(xué)生的理性精神。

如在“2、3、5的倍數(shù)特征”的教學(xué)中，由于2和5的倍數(shù)的特征是看末位，而3的倍數(shù)的特征則是看各個數(shù)位數(shù)之和。在學(xué)習(xí)時，學(xué)生出現(xiàn)了理解與經(jīng)驗中的沖突與斷層，知識結(jié)構(gòu)很容易在這里就“斷”掉了。因此，在教學(xué)中需要做好“善后”。以3的倍數(shù)的認(rèn)識為轉(zhuǎn)折點，做好研究方法的提升，即從簡單地發(fā)現(xiàn)規(guī)律到真正地認(rèn)識規(guī)律，思維從合情推理走向演繹推理，引領(lǐng)學(xué)生往高位站，以探索2和5的倍數(shù)特征的經(jīng)驗來探究3的倍數(shù)特征。當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)由此類比推理導(dǎo)致錯誤從而使探索之路進入了無緒之中時，教師可引出計數(shù)器，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)撥3的倍數(shù)所要用的珠子總數(shù)是3的倍數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生進行研究視角的轉(zhuǎn)變：3的倍數(shù)的特征與一個數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和有關(guān)。在發(fā)現(xiàn)規(guī)律之后，教師還要引導(dǎo)學(xué)生進一步往高位行走，利用小棒等結(jié)構(gòu)化的模型，研究其中的原因。并且用這一方法去反思2和5的倍數(shù)特征，發(fā)現(xiàn)整十、整百、整千……都正好是2、5的倍數(shù)，所以只要看個位就能決定一個數(shù)是不是2或5的倍數(shù)。這樣，學(xué)生對2、3、5的倍數(shù)的認(rèn)識從表象走向本質(zhì)，思維從具體走向抽象，對判斷方法也有了更深刻的理解與認(rèn)識，不僅知其然，而且知其所以然，對數(shù)學(xué)具有內(nèi)在的高度和諧統(tǒng)一也有了更多的體驗。

2.高屋建瓴，滲透思想方法悟結(jié)構(gòu)

哲學(xué)家對事物的理解是結(jié)構(gòu)性的，其方法是清晰的思想和邏輯推理。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要注重知識技能背后的思想方法與邏輯推理的滲透，通過數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟，讓學(xué)生提綱挈領(lǐng)，于復(fù)雜中挖掘簡單，在異中學(xué)會求同，提高知識的組塊能力，發(fā)展學(xué)生的抽象與概括能力。

如小學(xué)數(shù)學(xué)中有關(guān)度量的教學(xué)，都可以以度量的本質(zhì)作為教學(xué)暗線，統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)。不管是長度的度量還是角的度量或是面積、體積的度量，都是計量物體含有計量單位的數(shù)量。這樣的立意，就是引領(lǐng)學(xué)生站在高處，產(chǎn)生整體感。以面積的教學(xué)為例。教學(xué)時，教師利用長度測量的經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生借助“面積尺”的形成，從而認(rèn)識面積的大小屬性。再通過男、女生用大小不同的方格量同一張長方形紙，產(chǎn)生了統(tǒng)一度量標(biāo)準(zhǔn)即統(tǒng)一面積單位的需要，建立面積單位的觀念。在用面積單位量課桌面面積的過程中，進一步強化度量的意識與方法。這里要特別強調(diào)“積”的意義，把度量與計算方法聯(lián)系起來了，回到面積最本真的意義上學(xué)習(xí)面積。在此基礎(chǔ)之上，隨著對“把圖形分割，面積之和與原來的面積不變”“為什么不用不規(guī)則圖形做面積單位”等問題的探討，學(xué)生對面積的理解越來越深入，對面積單位的理解也越來越清晰。整個教學(xué)過程，注重以度量的思想引領(lǐng)學(xué)生的探究學(xué)習(xí)。再如角的度量的教學(xué)，其實，量角器背后就隱藏著量角的原理與方法。教學(xué)中教師要抓住這一點，從比較兩個角的大小開始，引發(fā)準(zhǔn)確刻畫角大小的內(nèi)需。這樣，就有了單位角的需要了。再由大單位的不適用，繼而產(chǎn)生小的1度角的單位;由離散的單位到連續(xù)的單位的聚集。這樣教學(xué)，在教師的精心設(shè)計下，學(xué)生充分經(jīng)歷量角器的產(chǎn)生過程。而這一教學(xué)過程就蘊含著用量角器量角的原理，正如計算方法背后都有算理一樣。因此，在教學(xué)中，我們要注重學(xué)生度量學(xué)習(xí)經(jīng)驗的提煉與遷移，讓學(xué)生充分體會到背后的數(shù)學(xué)思想與方法，從而形成一種內(nèi)在的、穩(wěn)定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，并用這種結(jié)構(gòu)去促進新知的遷移與學(xué)習(xí)。

二、核心概念，穿針引線立結(jié)構(gòu)

形成結(jié)構(gòu)，需有一個核心貫穿始終，或是數(shù)學(xué)思想，或是核心概念。核心使各分支之間的構(gòu)成呈現(xiàn)一致性?！霸诮桃粋€知識點的時候應(yīng)該把知識看作一個包，而且要知道當(dāng)前的知識在知識包中的作用。你還要知道你所教的這個知識受到哪些概念或過程的支持。所以你的教學(xué)要依賴于強化并詳細(xì)描述這些概念的學(xué)習(xí)。當(dāng)教那些會支持其他過程的重要概念的時候，你應(yīng)該特別花力氣以確保你的學(xué)生能夠很好地理解這些概念，并能熟練地執(zhí)行這些過程。”核心概念對其他概念的學(xué)習(xí)要有重要的支持作用。

以計算教學(xué)為例，計數(shù)單位是理解算理的核心概念。整數(shù)乘法是整數(shù)加法的簡便計算，兩種運算追溯到最本質(zhì)的一點，都是在計量計數(shù)單位的個數(shù)，即計數(shù)單位的累加。加法是一個個地數(shù)，乘法是幾個、幾個地數(shù)。認(rèn)識到這一點，我們在設(shè)計小數(shù)乘整數(shù)、分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的教學(xué)時，應(yīng)注意讓學(xué)生看到算理上與整數(shù)運算的一脈相承性。而在理解數(shù)的組成的時候也有一個單位累加的認(rèn)識過程，這些就是支持理解算理構(gòu)建知識體系的“知識包”。由此，如從整體上考慮，就可將計算的教學(xué)與數(shù)的認(rèn)識過程相聯(lián)系起來，以構(gòu)建更為完整的知識體系。例如，教學(xué)分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘時，可以從計數(shù)單位的經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生列式表示出[310]的過程，從而總結(jié)得出：分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的結(jié)果，只要看里面有多少個分?jǐn)?shù)單位。接著自主利用圖形等模型理解構(gòu)建算理：[310]×3可以怎樣算？有的學(xué)生是從意義上思考的：[310]×3表示3個[110]乘3，即[110]×3×3=[110]×（3×3）。有的學(xué)生是從加法角度思考的：[310]×3=[310]+[310]+[310]=[3+3+310]=[3×310]。交流中圍繞核心問題：分母為什么不變？分子與整數(shù)相乘表示什么意思？通過比較，溝通兩種算法的聯(lián)系：兩種方法都是在計算一共有多少個分?jǐn)?shù)單位。這樣教學(xué)，通過分?jǐn)?shù)單位乘整數(shù)到分?jǐn)?shù)乘整數(shù)、計算教學(xué)與分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)相勾連，算理從意義與經(jīng)驗中生長出來，法則是從算理的透徹理解中構(gòu)建起來。最后的溝通使學(xué)生明白：不管是加還是乘，目的都是相同的，即計算分?jǐn)?shù)單位的個數(shù)，從而建立了知識之間的聯(lián)系。

計算教學(xué)中其算理的建立都要回歸于計數(shù)單位這一核心概念。而計算教學(xué)前后跨度比較大，教學(xué)中很容易出現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)的斷層，因此，在教學(xué)中，教師需要讓學(xué)生感受計數(shù)單位在數(shù)的認(rèn)識及數(shù)的運算中的核心統(tǒng)領(lǐng)作用，不僅有利于算理的理解，更能促進算理的自動遷移。

三、追根溯源，回到原點生結(jié)構(gòu)

如果說數(shù)學(xué)思想方法和核心概念是結(jié)構(gòu)的神經(jīng)和骨架，基本概念就是結(jié)構(gòu)的關(guān)節(jié)。結(jié)構(gòu)的連接點在關(guān)節(jié)?；靖拍钍窃搭^活水，由基本概念根據(jù)不同需要可生發(fā)出不同的數(shù)學(xué)表征。有研究表明，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，就是學(xué)生頭腦里的數(shù)學(xué)知識按照自己的理解深度、廣度，結(jié)合自己的感知思維等認(rèn)知特點組成的一個具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu)?！叭绻麧撛诘南嚓P(guān)的各個概念的心理表征中只有一部分建立起了聯(lián)系，或所說的聯(lián)系十分脆弱，這時的理解就是很有限的……隨著網(wǎng)絡(luò)的增長或聯(lián)系，由于強化的經(jīng)驗或網(wǎng)絡(luò)的精致化得到了加強，這時理解就增強了?！崩斫獾耐ㄍ冈谟诼?lián)系網(wǎng)絡(luò)建立得如何。

如除法、分?jǐn)?shù)、比，這3個概念在本質(zhì)上是一樣的，只是適用的場景不同。而要讓學(xué)生看到它們之間的一致性，除了在概念認(rèn)識過程中要進行對比，還要在解決問題的過程中，引發(fā)學(xué)生自主串聯(lián)，產(chǎn)生穩(wěn)固的知識結(jié)構(gòu)。以按比例分配的問題教學(xué)為例，由于缺少溝通與聯(lián)系，學(xué)生更容易把按比例分配及比的實際問題看成是不同的新問題。因為在表征時，學(xué)生不能與已有的知識結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來。因此，教學(xué)要從概念的原點——概念的表征出發(fā)，建立聯(lián)系。首先以直觀圖形引發(fā)學(xué)生自主用多種形式表征“比”，有利于學(xué)生聯(lián)系到分?jǐn)?shù)、份數(shù)及相對應(yīng)的量，產(chǎn)生結(jié)構(gòu)化的聯(lián)系。教學(xué)中教師出示一個不完整的題目：在方格紙（30格）上涂色，紅色的涂了18格，黃色的涂了多少格？當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)缺少條件不好解答時，產(chǎn)生了兩種格子之間關(guān)系的需求，此時教師再出示條件：

不同經(jīng)驗的學(xué)生分別從比、份數(shù)、分?jǐn)?shù)對圖形進行了解讀，并從除法、分?jǐn)?shù)不同的角度進行了解答。這樣，學(xué)生通過自主地轉(zhuǎn)換解決了比的實際問題。在此教學(xué)過程中，學(xué)生利用圖形將比、分?jǐn)?shù)、除法自覺地進行了數(shù)學(xué)化的表征，實際上，看上去是3種形式，卻通過一種圖形語言，回到了概念的原點，打通了它們之間的節(jié)點，實現(xiàn)了無障礙閱讀，建立了知識之間的聯(lián)系。最后出示例題的相關(guān)條件，繼續(xù)通過圖形呈現(xiàn)相關(guān)信息。通過提問整理出相關(guān)的信息，形成線段圖。

[30格][紅色？格][黃色？格]當(dāng)看到線段圖之后 ，學(xué)生經(jīng)驗中的分?jǐn)?shù)乘法問題的圖式被激活，就立即能夠?qū)⒈鹊年P(guān)系轉(zhuǎn)化成以總數(shù)為單位“1”的分率關(guān)系，從而順利地解決了問題。在此基礎(chǔ)之上，教師引導(dǎo)學(xué)生進行比較總結(jié)。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，比的實際問題，其實就是表述形式改變了，根據(jù)題目意思畫出線段圖，其實就與分?jǐn)?shù)實際問題一樣，可以用分?jǐn)?shù)問題的解決方法解決問題。有了意義之間的聯(lián)系網(wǎng)絡(luò)，各種方法之間的聯(lián)系不比自明，原有分?jǐn)?shù)解題經(jīng)驗被激活，優(yōu)化也就成為一種自覺的行為。理解的深度并不在于技巧，也不追求難度，而在于方法之間貫通。圖形語言是一種直觀模型，越簡單，越深刻。再如分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)的實際問題，也可通過圖形的簡潔與概括，從分?jǐn)?shù)乘法的意義出發(fā)溝通分?jǐn)?shù)乘除法、百分?jǐn)?shù)實際問題之間的聯(lián)系。

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)要盡量防止知識碎片化、雜亂成堆、一地雞毛等現(xiàn)象，提高知識、方法之間的整合度，“要理解事物就要用聯(lián)系的觀點來看待它”，而“要對知識形成深刻的、真正的理解，這意味著學(xué)習(xí)者所獲得的知識是結(jié)構(gòu)化的、整合的”。結(jié)構(gòu)性地教，就是把數(shù)學(xué)的本來面目還給學(xué)生，化繁為簡，讓學(xué)生回到概念，體會其思想，方能看到結(jié)構(gòu)，看到數(shù)學(xué)內(nèi)部的和諧統(tǒng)一，從而提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。