基于含負(fù)冪項(xiàng)與非負(fù)冪項(xiàng)G′/G2展開法的非線性時(shí)空分?jǐn)?shù)階電報(bào)方程新精確解

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，成都，610066)

1 引言

非線性分?jǐn)?shù)階偏微分方程由于具有時(shí)間記憶性,在研究具有記憶過程、遺傳性質(zhì)異質(zhì)材料、地震波、圖像處理、流體流動(dòng)上被廣泛應(yīng)用[1][2],因此研究具有時(shí)間記憶性的時(shí)空非線性分?jǐn)?shù)階偏微分方程精確解意義重大.

非線性時(shí)空分?jǐn)?shù)階電報(bào)方程形如[3-5]

(1.1)

其中γ,β為實(shí)常數(shù),x表示時(shí)間,u表示某時(shí)刻各點(diǎn)電位.非線性時(shí)空分?jǐn)?shù)階電報(bào)方程最早由Farlow等提出.當(dāng)α=1時(shí),方程(1.1)為非線性電報(bào)方程：

utt-uxx+ut+γu+βu3=0.

(1.2)

對(duì)于非線性時(shí)空分?jǐn)?shù)階電報(bào)方程(1.1),文獻(xiàn)[9-10]使用Hirota雙線性法和修正的簡(jiǎn)單函數(shù)法獲得了它的一些精確解,文獻(xiàn)[11]使用擴(kuò)展的G′/G2展開法構(gòu)建了方程(1.1)的雙曲函數(shù)解、三角函數(shù)解和有理函數(shù)解.

本文借助由Khalil等提出的含極限算子的整合分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與時(shí)空分?jǐn)?shù)階復(fù)變換，將方程(1.1)轉(zhuǎn)化為整數(shù)階常微分方程，然后使用含負(fù)冪項(xiàng)的G′/G2展開法與含非負(fù)冪項(xiàng)的G′/G2展開法，借助Maple軟件構(gòu)建方程(1.1)的新精確解,包括三角函數(shù)精確解、雙曲函數(shù)精確解和有理函數(shù)精確解.

2 預(yù)備知識(shí)

2.1 整合分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

定義2.1[12]設(shè)f:(0,∞)→R,f的α階導(dǎo)數(shù)定義如下：

設(shè)α∈(0,1],g(t)在t>0時(shí)可微,則有如下性質(zhì)：

2.2 求解過程與方法描述

考慮如下含有兩個(gè)獨(dú)立變量x,t的時(shí)空分?jǐn)?shù)階偏微分方程:

(2.1)

對(duì)方程(2.1)作如下的分?jǐn)?shù)階復(fù)變換:

(2.2)

將其轉(zhuǎn)化為常微分方程：

F(u,u′,u″…)=0,

(2.3)

其中ω≠0,u′，u″分別為u關(guān)于ξ的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù).

2.2.1 由含非負(fù)冪項(xiàng)的(G′/G2)展開法構(gòu)建非線性時(shí)空分?jǐn)?shù)階偏微分方程精確解的步驟

步驟1假設(shè)(2.1)有如下形式的解：

(2.4)

其中G=G(ξ)滿足：

(2.5)

ai,φ,φ為待定常數(shù)，φ≠1,φ≠0,m通過齊次平衡法確定[13-15].

步驟2將(2.4)代入(2.3)，合并G′/G2的同類項(xiàng),并令各項(xiàng)系數(shù)為零求解關(guān)于ai,γ,ω,的代數(shù)方程組.

步驟3結(jié)合(2.5)分別解如下代數(shù)方程組:

(2.6)

其中c1,c2是常數(shù).

步驟4將ai,ξ和G′/G2代入(2.6)得到(1.1)的精確解.

2.2.2 由含負(fù)冪項(xiàng)的G′/G2展開法構(gòu)建非線性時(shí)空分?jǐn)?shù)階偏微分方程精確解的步驟

步驟1假設(shè)(2.1)有如下形式的解：

(2.7)

其中G=G(ξ)滿足方程(2.5)，a-n,…,a0,…,an,φ,φ為待定常數(shù),φ≠1,φ≠0,m通過齊次平衡法確定.

步驟2將(2.7)代入(2.3),合并G′/G2的同類項(xiàng),并令各項(xiàng)系數(shù)為零求解關(guān)于a-n,…,a0,…,an,γ,ω的代數(shù)方程組.

步驟3結(jié)合(2.5)解(2.6)中的代數(shù)方程組, 其中c1,c2是常數(shù).

步驟4將a-n,…,a0,…,an和G′/G2代入(2.6)得到(1.1)的精確解.

3 由含非負(fù)冪項(xiàng)的G′/G2展開法構(gòu)建非線性時(shí)空分?jǐn)?shù)階電報(bào)方程的精確解

本節(jié)應(yīng)用含非負(fù)冪項(xiàng)的G′/G2展開法來(lái)構(gòu)建非線性時(shí)空分?jǐn)?shù)階電報(bào)方程(1.1)的精確解.

將方程(1.1)按式(2.2)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階復(fù)變換, 得到常微分方程(2.3)，再將方程(2.3)兩邊同時(shí)積分兩次, 可得

(ω2-1)u″-ωu′+γu+βu3=0,

(3.1)

其中ω,γ,β為實(shí)常數(shù), 且ω≠0.

設(shè)方程(3.1)有形如(2.4)的解,平衡非線性項(xiàng)u3和最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)u″可得m+2=3, 從而m=1.于是, 方程(2.4)變?yōu)椋?/p>

(3.2)

其中a1≠0.

進(jìn)一步可得：

(3.3)

舍去a1=0,ω=0的情形后, 再分為以下四種情形進(jìn)行討論. 對(duì)每種情形，由方程(2.6)和式(3.2)都可求得方程(1.1)的一組精確解.

情形1：

對(duì)應(yīng)的精確解是：

(3.4)

情形2：

對(duì)應(yīng)的精確解是：

(3.5)

情形3：

對(duì)應(yīng)的精確解是：

(3.6)

情形4：

對(duì)應(yīng)的精確解是：

(3.7)

4 由含負(fù)冪項(xiàng)的G′/G2展開法構(gòu)建非線性時(shí)空分?jǐn)?shù)階電報(bào)方程的精確解

本節(jié)應(yīng)用含負(fù)冪項(xiàng)的G′/G2展開法來(lái)構(gòu)建非線性時(shí)空分?jǐn)?shù)階電報(bào)方程(1.1)的精確解.

設(shè)方程(3.1)有形如方程(2.7)的解. 平衡非線性項(xiàng)u3和最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)u″可得m=1.于是, 方程(2.7)變?yōu)椋?/p>

(4.1)

進(jìn)而可得：

(4.2)

由于ω,γ的表達(dá)式比較復(fù)雜, 下面只給出兩種情形下a-1,a0,a1的表達(dá)式:

情形1：

此時(shí)，結(jié)合方程(2.6)和(4.1)可得方程(1.1)的一組精確解：

(4.3)

情形2：

同樣地，結(jié)合方程(2.6)和(4.1)可得方程(1.1)的一組精確解：

(4.4)

5 結(jié)論

對(duì)于非線性時(shí)空分?jǐn)?shù)階電報(bào)方程(1.1), 借助整合分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和時(shí)空分?jǐn)?shù)階復(fù)變換轉(zhuǎn)化為常微分方程(3.1), 再使用含G′/G2的非負(fù)冪項(xiàng)的展開法,借助Maple軟件構(gòu)建出了方程(1.1)的四組精確解(3.4),(3.5),(3.6),(3.7); 使用含G′/G2的負(fù)冪項(xiàng)的展開法,借助Maple軟件構(gòu)建出了方程(1.1)的兩組精確解(4.3)和(4.4). 這些精確解包含三角函數(shù)解,雙曲函數(shù)解和有理函數(shù)解. 它們與文獻(xiàn)[11]中的精確解不同.