基于時(shí)間序列模型的上海市機(jī)構(gòu)養(yǎng)老床位供給預(yù)測(cè)

(1.上海理工大學(xué)管理學(xué)院,上海,200093；2.上海市民政局信息研究中心,上海,200125)

1 引言

在中國(guó)“十一五規(guī)劃”過(guò)程中上海市率先提出“9073”的養(yǎng)老模式.這一模式受到了許多專家的認(rèn)可，即90%的老年人由家庭自我照顧、7%享受社區(qū)居家養(yǎng)老服務(wù)、3%享受機(jī)構(gòu)養(yǎng)老服務(wù).西方發(fā)達(dá)國(guó)家平均有5%-15%的老年人采用機(jī)構(gòu)養(yǎng)老，其中北歐大約為5%-12%，英國(guó)大約為10%，美國(guó)大約為20%.然而中國(guó)只有3%，甚至不足3%.同時(shí)中國(guó)社會(huì)養(yǎng)老服務(wù)的需求越來(lái)越大，現(xiàn)有的養(yǎng)老設(shè)施總量很難滿足日益增長(zhǎng)的養(yǎng)老需求，實(shí)現(xiàn)社會(huì)養(yǎng)老資源的合理分配是亟待解決的問(wèn)題之一[1-4].

陶卓霖等預(yù)測(cè)了在自然增長(zhǎng)狀態(tài)下2020年北京市老齡人口的分布以及利用粒子群方法對(duì)養(yǎng)老設(shè)施的分布進(jìn)行優(yōu)化[5]；胡蘇云等針對(duì)上海市養(yǎng)老服務(wù)業(yè)提出了整體的規(guī)劃與建議[6]；李小云等基于養(yǎng)老需求為導(dǎo)向，預(yù)測(cè)2020年和2030年南昌市的老人人口以及分布，以及對(duì)養(yǎng)老設(shè)施的建議等等[8-9].以上各類研究在養(yǎng)老資源分配的研究方面較少.本文針對(duì)上海市的養(yǎng)老事業(yè)發(fā)展現(xiàn)狀，利用時(shí)間序列模型預(yù)測(cè)2019年和2020年上海市及各個(gè)市區(qū)的老人數(shù)，并進(jìn)一步預(yù)測(cè)所需的養(yǎng)老床位，尋求更合適的方案實(shí)現(xiàn)養(yǎng)老資源的有效合理分配.

2 相關(guān)理論

2.1 指數(shù)平滑法

指數(shù)平滑法通過(guò)計(jì)算指數(shù)平滑值，結(jié)合一定的時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型進(jìn)行預(yù)測(cè).依據(jù)平滑次數(shù)不同，可分為一次指數(shù)平滑法、二次指數(shù)平滑法、三次指數(shù)平滑法等[10].

(1)布朗單一參數(shù)線性指數(shù)平滑模型

布朗單一參數(shù)線性指數(shù)平滑模型屬于二次指數(shù)平滑法，利用平滑值對(duì)時(shí)間序列的線性趨勢(shì)進(jìn)行修正，進(jìn)而利用線性平滑模型進(jìn)行預(yù)測(cè)[10].該模型適用于線性趨勢(shì)的時(shí)間序列預(yù)測(cè).布朗單一參數(shù)線性指數(shù)平滑模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(1)

(2)

(3)

(4)

ft+m=αt+btm，

(5)

(2)霍爾特雙參數(shù)線性指數(shù)平滑模型

霍爾特雙參數(shù)線性指數(shù)平滑模型屬于二次指數(shù)平滑法，該模型適合分析有增長(zhǎng)或降低趨勢(shì)的、沒(méi)有季節(jié)性的相加的時(shí)間序列模型，并進(jìn)行短期預(yù)測(cè)[10].霍爾特指數(shù)平滑法分別對(duì)時(shí)間數(shù)列的兩種因素進(jìn)行平滑，公式如下：

st=αyt+(1-α)(st-1+bt-1)，

(6)

bt=β(st-st-1)+(1-β)bt-1，

(7)

Ft+T=st+btT，

(8)

其中，α、β為平滑參數(shù)；yt為實(shí)際觀察值；T為預(yù)測(cè)時(shí)期數(shù)；bt為趨勢(shì)值.st為平滑值.

2.2 ARIMA模型

ARIMA模型為自回歸積分滑動(dòng)平均模型，先將時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)的時(shí)間序列，然后將因變量對(duì)它的滯后值以及隨機(jī)誤差項(xiàng)的現(xiàn)值和滯后值進(jìn)行回歸分析.根據(jù)原序列是否平穩(wěn)以及回歸中所含部分的不同，包括移動(dòng)平均過(guò)程(MA)、自回歸過(guò)程(AR)、自回歸移動(dòng)平均過(guò)程(ARMA)以及ARIMA過(guò)程.

ARIMA模型的數(shù)學(xué)形式為：

Y(t)=u+?1y(t-1)+?2y(t-2)+…+?py(t-p)+ε(t)+φ1ε(t-1)+…+φqε(t-q)，

(9)

其中：u表示常數(shù)項(xiàng)，?1，?2,…，?p為自回歸系數(shù)，滿足平穩(wěn)性條件；φ1，φ2，…，φq為滑動(dòng)平均系數(shù)；ε(t)為白噪聲序列.上式稱為p階自回歸q階滑動(dòng)平均模型，記為ARIMA(p,d,q)，其中d為使時(shí)間序列成為平穩(wěn)時(shí)所做的差分次數(shù)[10].

2.3 評(píng)估方法

(1)R方：用來(lái)估計(jì)由模型解釋的變異在總變異中的比例.當(dāng)序列很平穩(wěn)時(shí)，此度量較為有效.R方可以是負(fù)無(wú)窮大到1范圍中的負(fù)值.負(fù)值表示考慮中的模型比基線模型差.正值表示考慮中的模型比基線模型好.

(2)RMSE：為均方根誤差，用來(lái)度量原始因變量與預(yù)測(cè)值之間的誤差，用和因變量序列相同的單位表示.

(3)MAPE：平均絕對(duì)誤差百分比，度量因變量序列與其模型預(yù)測(cè)水平的相差程度.它與使用的單位無(wú)關(guān)，因此可用于比較具有不同單位的序列.

3 數(shù)據(jù)與模型

3.1 數(shù)據(jù)來(lái)源

本文研究的數(shù)據(jù)來(lái)源為上海市民政局民政業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)海，經(jīng)過(guò)整理得到的數(shù)據(jù)主要為：2004-2018年的上海市與各區(qū)的年老人總數(shù)、機(jī)構(gòu)養(yǎng)老的年老人總數(shù)、上海市可以為每個(gè)區(qū)提供的年機(jī)構(gòu)養(yǎng)老床位總數(shù)3種時(shí)序數(shù)據(jù).

3.2 模型構(gòu)建

3.2.1 模型構(gòu)建步驟

Step 1：數(shù)據(jù)準(zhǔn)備.由于上海市民政局業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)海的數(shù)據(jù)已是相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)據(jù)，且每組數(shù)據(jù)內(nèi)部的差異并不是非常顯著，因此原始數(shù)據(jù)可不經(jīng)過(guò)任何歸一化、標(biāo)準(zhǔn)化操作即可代入模型.

Step 2：模型及其參數(shù)估計(jì).將當(dāng)前時(shí)刻的原始值yt作為目標(biāo)值，t-i時(shí)刻的原始值yt-i(i=1, 2, …)作為自變量，分別代入布朗單一參數(shù)線性指數(shù)平滑模型、霍爾特雙參數(shù)線性指數(shù)平滑模型、ARIMA模型中進(jìn)行擬合，其中指數(shù)平滑法及ARIMA模型中的參數(shù)或系數(shù)均使用最小二乘法進(jìn)行估計(jì).

Step 3：模型選擇.通過(guò)比較R方、均方根誤差擬合效果評(píng)價(jià)指標(biāo)，選擇擬合度最好的模型進(jìn)行下一步分析.

Step 4：預(yù)測(cè).利用Step3中所得模型對(duì)上海市及各區(qū)的年老人總數(shù)、養(yǎng)老機(jī)構(gòu)老人總數(shù)、機(jī)構(gòu)年總床位數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè).

3.2.2 實(shí)證分析

以預(yù)測(cè)2019年和2020年徐匯區(qū)老人數(shù)量為例進(jìn)行算例分析.

首先，按如下方法建立布朗單一參數(shù)線性指數(shù)平滑模型.

(10)

當(dāng)m=1時(shí)，將公式(1)、(2)、(3)、(4)代入(10)中，得到最終的參數(shù)優(yōu)化函數(shù)：

(11)

表1 布朗單一參數(shù)線性指數(shù)平滑模型

然后，建立霍爾特雙參數(shù)線性指數(shù)平滑模型。

當(dāng)T=1時(shí)，最終優(yōu)化參數(shù)函數(shù)可表示為：

(12)

對(duì)式(12)應(yīng)用最小二乘法，求得最優(yōu)參數(shù)α=0.9,β=1.再由式(6)、(7)、(8)得到霍爾特?cái)M合值，如下表2所示.

表2 霍爾特雙參數(shù)線性指數(shù)平滑模型

在代入ARIMA之前，將徐匯區(qū)老人數(shù)據(jù)進(jìn)行2次差分運(yùn)算，得到平穩(wěn)數(shù)據(jù).對(duì)平穩(wěn)后的數(shù)據(jù)，使用SPSS軟件觀察其所對(duì)應(yīng)的自相關(guān)和偏相關(guān)圖，得到ARIMA中的模型參數(shù)為p=0,d=2,q=0.因此可建立如下的ARIMA(0,2,0)模型：

Y(t)=u+2y(t-1)-y(t-2).

通過(guò)最小化預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的差異，即min(u+2y(t-1)-y(t-2)-yt)2，獲得二次差分下ARIMA的常數(shù)項(xiàng)u的值為0.07.

因此，ARIMA(0,2,0)的最終預(yù)測(cè)公式為：Y(t)=0.07+2y(t-1)-y(t-2).計(jì)算所得擬合值，如表3所示.

表3 ARIMA(0,2,0)模型

對(duì)表1，表2，表3中的擬合預(yù)測(cè)結(jié)果，運(yùn)用R方和RMSE公式計(jì)算實(shí)際值與擬合值的差異，運(yùn)算結(jié)果分別為0.998與0.175、0.998與0.185、0.998與0.18，因此在徐匯區(qū)老人數(shù)據(jù)下，選擇布朗單一參數(shù)線性指數(shù)平滑模型.

3.3 結(jié)果分析

(1)上海市及其市區(qū)的老人數(shù)預(yù)測(cè)模型

以2004-2018年上海市及各個(gè)市區(qū)老年人數(shù)作為樣本，應(yīng)用SPSS軟件中的專家建模時(shí)序方法，專家建模器會(huì)從上述3種方法中以R方、最大絕對(duì)誤差百分比、均方根誤差、平均誤差百分比等作為評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)自動(dòng)選擇每個(gè)序列的最佳擬合模型.上海市及各區(qū)老人總數(shù)適用的最優(yōu)模型及其對(duì)應(yīng)的評(píng)估效果值如下表4所示.

表4 上海市及各個(gè)市區(qū)的老人數(shù)預(yù)測(cè)模型

在表4中，上海市及其各個(gè)市區(qū)所用的模型并不相同，其中上海市采用ARIMA(0,2,0)模型，表示ARIMA模型中自回歸項(xiàng)為0，差分次數(shù)為2，移動(dòng)平均項(xiàng)為0.上海市長(zhǎng)寧區(qū)、普陀區(qū)、楊浦區(qū)、閔行區(qū)、寶山區(qū)、嘉定區(qū)采用ARIMA(0,2,0)模型，松江區(qū)采用二次指數(shù)平滑中的霍爾特模型，其他區(qū)則采用二次指數(shù)平滑中的布朗模型.同時(shí)，各組數(shù)據(jù)在相應(yīng)最優(yōu)模型下的R方值均高于95%，其他三種評(píng)估指標(biāo)也很小，表明模型具有較好的擬合效果.

(2)機(jī)構(gòu)養(yǎng)老的老人數(shù)預(yù)測(cè)模型

以2004-2018年上海市各個(gè)區(qū)機(jī)構(gòu)養(yǎng)老的老年人數(shù)作為樣本，應(yīng)用SPSS進(jìn)行模型選擇，在這組數(shù)據(jù)下各個(gè)區(qū)的機(jī)構(gòu)養(yǎng)老模型選擇結(jié)果及其效果評(píng)估如下表5所示.

表5 上海市各個(gè)市區(qū)的機(jī)構(gòu)養(yǎng)老老人數(shù)預(yù)測(cè)模型

其中，上海市黃浦區(qū)、徐匯區(qū)、長(zhǎng)寧區(qū)、普陀區(qū)、楊浦區(qū)、嘉定區(qū)、崇明區(qū)采用ARIMA(0,1,0)模型，表示ARIMA模型中自回歸項(xiàng)為0，差分次數(shù)為1，移動(dòng)平均項(xiàng)為0；其余各區(qū)則采用二次指數(shù)平滑中的霍爾特模型.同時(shí)，各組數(shù)據(jù)在相應(yīng)最優(yōu)模型下的R方值均高于90%，其他三種評(píng)估指標(biāo)也很小，模型具有較好的擬合效果.

(3)機(jī)構(gòu)養(yǎng)老的床位供給預(yù)測(cè)模型

以2004-2018年上海市各個(gè)區(qū)機(jī)構(gòu)年供給的床位總數(shù)作為樣本，應(yīng)用SPSS進(jìn)行模型選擇，在這組數(shù)據(jù)下各個(gè)區(qū)的機(jī)構(gòu)床位供給預(yù)測(cè)模型選擇結(jié)果及其效果評(píng)估如下表6所示.

表6 上海市各個(gè)市區(qū)的機(jī)構(gòu)養(yǎng)老床位供給模型

其中，上海市楊浦區(qū)、崇明區(qū)采用ARIMA(0,2,0)模型，表示ARIMA模型中自回歸項(xiàng)為0，差分次數(shù)為2，移動(dòng)平均項(xiàng)為0；其余各區(qū)則采用二次指數(shù)平滑中的布朗模型.同時(shí)，各組數(shù)據(jù)在相應(yīng)最優(yōu)模型下的R方值均高于93%，其他三種評(píng)估指標(biāo)相對(duì)較小，模型具有較好的擬合效果.

4 上海市機(jī)構(gòu)養(yǎng)老床位供給預(yù)測(cè)

首先預(yù)測(cè)上海市及其各個(gè)市區(qū)的老人數(shù)，然后依據(jù)老人數(shù)以及入住機(jī)構(gòu)老人數(shù)趨勢(shì)，預(yù)測(cè)入住養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的老人數(shù)，最后對(duì)2019年和2020年上海市各個(gè)市區(qū)的床位供給分配情況進(jìn)行預(yù)測(cè).

4.1 上海市及各區(qū)的老人數(shù)預(yù)測(cè)

上海市及各個(gè)區(qū)選擇上述擬合度最佳的時(shí)間序列模型，預(yù)測(cè)2019年上海市老人數(shù)達(dá)到526.1867萬(wàn)人，其中上限值為531.8331，下限值為520.5403.2020年預(yù)測(cè)老人數(shù)達(dá)到550.3301萬(wàn)人，其中上限值為562.9558，下限值為537.7044.2018年年末老年人數(shù)為503.28萬(wàn)人，2019年相對(duì)于2018年增長(zhǎng)了4.55%，2020年相對(duì)于2019年增長(zhǎng)了4.59%.可見(jiàn)老齡化越來(lái)越嚴(yán)重，老年人數(shù)的增長(zhǎng)比率也在慢幅度上升.

2019年上海市各個(gè)區(qū)的老人數(shù)量預(yù)測(cè)結(jié)果如表7所示.由表7可知，浦東新區(qū)的2019年老人數(shù)預(yù)測(cè)可能會(huì)突破100萬(wàn)人，上限為107.278萬(wàn)人.相對(duì)于2018年的增長(zhǎng)比率除了靜安區(qū)，均在3%以上.其中寶山區(qū)的增長(zhǎng)率達(dá)到了7.26%，其次為嘉定區(qū)，為5.58%，最低則為靜安區(qū)，不足3%.

表7 2019年上海市各個(gè)市區(qū)的老人數(shù)預(yù)測(cè)(單位：萬(wàn)人)

2020年上海市各個(gè)區(qū)的老人數(shù)量預(yù)測(cè)結(jié)果如表8所示.由表8可知，浦東新區(qū)的2019年老人數(shù)預(yù)測(cè)已超過(guò)100萬(wàn)人，上限為120.7957萬(wàn)人.相對(duì)于2019年的增長(zhǎng)比率仍是除了靜安區(qū)，均在3%以上.其中寶山區(qū)的增長(zhǎng)率達(dá)到了7.41%，其次則為嘉定區(qū)，為5.55%，最低則為靜安區(qū)，不足3%.相對(duì)于2019年，老人人數(shù)仍在上升，但增長(zhǎng)比率卻有增有減.長(zhǎng)寧區(qū)、普陀區(qū)、楊浦區(qū)、虹口區(qū)、寶山區(qū)、松江區(qū)的增長(zhǎng)率增加，其余市區(qū)增長(zhǎng)率降低，但增減的浮動(dòng)不大，均小于1%.

表8 2020上海市各個(gè)市區(qū)的老人數(shù)預(yù)測(cè)(單位：萬(wàn)人)

4.2 機(jī)構(gòu)養(yǎng)老的老人數(shù)預(yù)測(cè)

結(jié)合歷年老人總數(shù)與機(jī)構(gòu)養(yǎng)老的老人數(shù)的比例趨勢(shì)以及機(jī)構(gòu)養(yǎng)老老人數(shù)隨著時(shí)間的變化趨勢(shì)，對(duì)2019年和2020年即將可能入住養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的老人數(shù)量進(jìn)行預(yù)測(cè).2019年、2010年上海市各個(gè)區(qū)的入住養(yǎng)老機(jī)構(gòu)老人數(shù)量預(yù)測(cè)結(jié)果分別如表9、表10所示.2019年以及2020年全市入住養(yǎng)老機(jī)構(gòu)老人數(shù)最多的區(qū)為浦東新區(qū)，青浦區(qū)為人數(shù)最少區(qū).2020年浦東新區(qū)的入住養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的老人數(shù)會(huì)突破2萬(wàn)人.而青浦區(qū)則仍不足2000，這與各個(gè)區(qū)的老人數(shù)有較大關(guān)聯(lián).入住機(jī)構(gòu)養(yǎng)老的趨勢(shì)仍在增長(zhǎng)，故進(jìn)一步預(yù)測(cè)床位供給.

表9 2019年上海市各個(gè)市區(qū)的機(jī)構(gòu)養(yǎng)老老人數(shù)預(yù)測(cè)(單位：人)

表10 2020年上海市各個(gè)市區(qū)的機(jī)構(gòu)養(yǎng)老老人數(shù)預(yù)測(cè)(單位：人)

4.3 機(jī)構(gòu)養(yǎng)老的床位供給預(yù)測(cè)

2019年、2010年上海市各個(gè)區(qū)的機(jī)構(gòu)養(yǎng)老床位供給數(shù)量結(jié)果分別如表11、表12所示，其中入住率為預(yù)測(cè)得到的入住養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的老人數(shù)和床位供給數(shù)之比.各個(gè)區(qū)的入住率約在60%到90%之間，其中只有青浦區(qū)會(huì)低于60%，但相差不超過(guò)2%，普陀區(qū)的入住率超過(guò)了90%.可在以后的研究中考慮市區(qū)之間的床位供給協(xié)調(diào).既滿足了老人床位的需求，也實(shí)現(xiàn)的養(yǎng)老床位充分使用.

表11 2019年上海市各個(gè)市區(qū)的機(jī)構(gòu)養(yǎng)老床位供給預(yù)測(cè)(單位：個(gè))

表12 2020年上海市各個(gè)市區(qū)的機(jī)構(gòu)養(yǎng)老床位供給預(yù)測(cè)(單位：個(gè))

5 結(jié)論

本文基于預(yù)測(cè)2019年、2020年上海市及其各個(gè)市區(qū)的老年人口數(shù)量，以及上海市“9073”的養(yǎng)老模式，為3%的老年人提供機(jī)構(gòu)養(yǎng)老的政策目標(biāo)，選擇擬合程度最佳的時(shí)間序列模型，得出上海市各個(gè)區(qū)在2019年和2020年應(yīng)提供的機(jī)構(gòu)養(yǎng)老床位數(shù)量.養(yǎng)老床位數(shù)量與預(yù)測(cè)得出的入住養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的老人數(shù)的比率即入住率大都在60%到90%之間，青浦區(qū)低一些，普陀區(qū)則高一些.研究結(jié)果對(duì)上海市在進(jìn)行床位供給的政策制定有一定的參考價(jià)值，對(duì)其他地區(qū)也有一定的借鑒意義.

本文的研究也存在一定的局限性.由于對(duì)養(yǎng)老床位的供給預(yù)測(cè)只考慮了老年人口增長(zhǎng)的因素，并未考慮經(jīng)濟(jì)和文化等方面因素，為了尋求更合理的預(yù)測(cè)方案，需在這些方面進(jìn)行相應(yīng)的考慮.此外，存在有的市區(qū)入住率過(guò)高，而有的區(qū)入住率則比較低的現(xiàn)狀，后續(xù)可考慮在市區(qū)之間床位的分配協(xié)調(diào)問(wèn)題進(jìn)行研究.

本文由上海市民政局科研課題項(xiàng)目支持，部分?jǐn)?shù)據(jù)由上海市民政業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)海提供，特致謝.