體制轉(zhuǎn)換市場中股價服從帶門限均值回復(fù)過程的期權(quán)定價

(上海理工大學(xué)理學(xué)院，上海，200093)

1 引言

期權(quán)定價理論在金融資產(chǎn)定價問題相中最為重要的理論，且已取得了豐碩的研究成果.近年來，大量學(xué)者開始關(guān)注體制轉(zhuǎn)換問題，并將其應(yīng)用到金融研究的很多領(lǐng)域中.體制轉(zhuǎn)換模型最早源于上世紀(jì)八十年代后期，Hamilton[1]首次將體制轉(zhuǎn)換模型應(yīng)用到金融計量經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域，并對美國經(jīng)濟周期進行了分析，發(fā)現(xiàn)美國GNP趨勢函數(shù)的增長率會依據(jù)一類馬爾可夫過程在不同狀態(tài)之間轉(zhuǎn)換.受文獻[1]的影響，大量研究人員使用“馬爾科夫調(diào)制”為結(jié)構(gòu)變化建模，并進行研究.Buffington等[2]給出了體制轉(zhuǎn)換模型下歐式期權(quán)滿足的方程，卻未給出具體解法.Zhou[3]利用熱核方法給出了歐式看漲期權(quán)定價的近似解. Bufington等[4]對美式期權(quán)的定價進行研究，并給出精確解.但以上文章均只考慮了股價服從經(jīng)典幾何布朗運動的情況，極少有研究馬氏利率下標(biāo)的資產(chǎn)滿足其它模型的期權(quán)定價，更沒有考慮股價含有門限的情況.本文主要是研究股價服從帶門限均值回復(fù)過程而折現(xiàn)率含有狀態(tài)切換的情況下的歐式看漲期權(quán)進行定價問題.

2 股價過程

在風(fēng)險中性測度Q下，股價為S(t)，其對數(shù)X(t)滿足如下隨機方程：

(2.1)

其中，W*(t)為布朗運動，h為門限，ki，θi，σi為已知參數(shù).假設(shè)銀行利率r由有限狀態(tài)空間的Markov鏈{Y(t)}t∈T描述. 參考Elliott[5]，令

(2.2)

其中，A為轉(zhuǎn)移矩陣，<,>為內(nèi)積，M={M(t)，t≥0}是關(guān)于Y生成的代數(shù)域的鞅.

3 期權(quán)定價

本節(jié)分三步對定價問題進行分析.首先對恒定利率下股價服從無門限的均值回復(fù)過程的期權(quán)定價進行研究，給出歐式看漲期權(quán)定價的近似解；再對體制轉(zhuǎn)換市場下股價服從無門限的均值回復(fù)過程的期權(quán)定價進行研究，給出轉(zhuǎn)換市場存在兩個狀態(tài)下的股價服從無門限均值回復(fù)過程的歐式看漲期權(quán)的近似解；在此基礎(chǔ)上，最后研究轉(zhuǎn)換市場存在兩個狀態(tài)下的股價服從帶門限的均值回復(fù)過程的歐式看漲期權(quán)的近似解.

3.1 無門限的均值回復(fù)期權(quán)定價

在風(fēng)險中性測度Q下，股價為S(t)，其對數(shù)X(t)滿足如下隨機方程：

dX(t)=k(θ-X(t))dt+σdW*(t),

(3.1)

其中，W*(t)為布朗運動，k，θ，σ為已知參數(shù).

定理1假設(shè)股價過程服從(3.1)，銀行利率恒為ri下的歐式看漲期權(quán)定價公式為：

其中

上式中的系數(shù)A1i，A2i，B1i，B2i可由注1得到.

證明在風(fēng)險中性世界，歐式看漲期權(quán)定價公式為：

V0i(X,t)=V0(X,t,T,ei)=E[e-ri(T-t)(eX-K)+].

由Shreve[6]中費曼-卡茨公式知，V0i(X,t)適合以下定解問題：

令V0i(X,t)=f0i(X,τ),τ=T-t.則

邊界條件為：

(3.2)

令

則當(dāng)X≤κ時，上式可轉(zhuǎn)化為如下庫默方程：

且有Lebedev[8]中的超幾何函數(shù)性質(zhì)：

其中

所以當(dāng)X≤κ時，其解的形式為：

(3.3)

當(dāng)X>κ時，其解的形式為：

(3.4)

其中W(·)為朗斯基行列式，

但由Wong等[9]知道有一個如下形式的特解：

其中

(3.5)

式(3.3)，(3.4)中的系數(shù)A1i,A2i,B1i,B2i可由邊界條件(3.2)和平滑性(3.5)確定.證畢.

注1參考了Chi Z等[10]中對定理1的證明方法，將式(3.3)，(3.4)代入式(3.2)和(3.5)中，即可確定參數(shù)A1i,A2i,B1i,B2i：

3.2 體制轉(zhuǎn)換市場下無門限的均值回復(fù)期權(quán)定價

定義1Gi(X,t;ξ,T)稱為是該方程的基本解，如果它適合以下定解問題：

其中-∞

為了給出Gi(X,t;ξ,T)的表達式，令u(X,t)=fpi(X,τ),τ=T-t.則

與定理1中求特解的方法類似，可得：

其中

定理2假設(shè)股價過程服從(3-1)，銀行利率服從狀態(tài)空間為{1,2,…,n}的馬爾科夫鏈Y(t).若ci(X,t)=c(X,t,T,ei)為狀態(tài)模式i下的期權(quán)價格，則其滿足如下方程：

其中，c(X,t,T,Y(t))=(c(X,t,T,e1),c(X,t,T,e2)…,c(X,t,T,en))′.

證明在風(fēng)險中性世界，歐式看漲期權(quán)的定價(參見文獻[4])為：

為推導(dǎo)出c(X,t,T,Y)，先假設(shè)：

(3.6)

則

其中Ψt=σ{X(u),Y(u);u≤t}，顯然V(t,X,T,Y)是關(guān)于Ψt的鞅.記

V(X,t,T,Y)=(V(X,t,T,e1),V(X,t,T,e2),…,V(X,t,T,en))′.

則

V(X(t),t,T,Y)={V(X(t),t,T,Y(t))}t∈T.

又由dY(t)=AY(t)dt+dM(t)和V(t,X,T,Y)的鞅性可得：

又由(3.6)可得：

因此

故

(3.7)

證畢.

i=1,2.j=1,2. 且i≠j.

證明由(3.7)式知，狀態(tài)模式i下的期權(quán)價格ci(X,t)，i=1,2.滿足如下方程

(3.8)

其終止條件為ci(X,T)=(eX-K)+,i=1,2.現(xiàn)參考姜禮尚[11]，推導(dǎo)其解的形式.令

u(X,t)=ci(X,t)-Vi0(X,t),i=1,2，

(3.9)

其中

Vi0(X,t)=e-λi(T-t)V0i(X,t),i=1,2.

(3.10)

將(3.9)代入(3.8)得到：

(3.11)

其終止條件為ui(X,T)=0，i=1,2. 由定義1可得到方程

的基本解為Gi(X,t;ξ,T).利用基本解Gi(X,t;ξ,T)，方程組(3.11)可以轉(zhuǎn)換為以下等價Volterra積分方程組：

(3.12)

其中

(3.13)

將(3.12)中u1(X,t)，u2(X,t)互相代入可得到：

(3.14)

其中

通過迭代，積分方程組(3.14)的解可表示為：

(3.15)

由于λ1,λ2一般是小量，因此可以略去λ1,λ2的2階以上的小量.于是，由式(3.9),(3.10),(3.13)以及(3.15)可得到：

ci(X,t)=ui(X,t)+Vi0(X,t)≈fi(X,t)+Vi0(X,t)

i,j=1,2 且i≠j.

證畢.

注2由近似解可以看出，如果市場不存在體制轉(zhuǎn)換，即λi=0，此時結(jié)果與定理1中的結(jié)論保持一致.

3.3 體制轉(zhuǎn)換市場下帶門限的均值回復(fù)歐式看漲期權(quán)

i,j=1,2且i≠j,

其中

上式中的系數(shù)Ai11，Ai12，Ai21，Ai22，Bi1和Bi2可由注3確定.

證明當(dāng)X

由定理3可得

(3.16)

的基本解.由定義1知

其中

同理當(dāng)X≥h時，由定理2知

由定理3知

(3.17)

的基本解，由定義1知

再由邊界條件和期權(quán)價格在h,κ處的平滑性條件，即可解得系數(shù).證畢.

注3上述的邊界條件為：

在h處的平滑性：

在κ處的平滑性：

因此，定理4中的系數(shù)Ai11，Ai12，Ai21，Ai22，Bi1和Bi2可由如下方程組確定：

4 期權(quán)定價的差分格式

在上一節(jié)中我們得到了體制轉(zhuǎn)換市場下股價服從帶門限均值回復(fù)過程的期權(quán)定價的近似解. 但若在現(xiàn)實中進行模擬操作會異常復(fù)雜.為實現(xiàn)模擬過程，現(xiàn)給出體制轉(zhuǎn)換市場下帶門限均值回復(fù)過程的期權(quán)定價的差分格式(參考姜禮尚[12]).

最終解得：

其中

記h=nhΔX，當(dāng)m≤nh時，只需參數(shù)k由k1→k2，參數(shù)θ由θ1→θ2，參數(shù)σ由σ1→σ2即可.