混合保費收取下帶有隨機干擾和支付紅利的風險模型

(廣西民族師范學院數(shù)學與計算機科學學院，崇左，532200)

1 引言

在經(jīng)典風險模型中，總是假設保險公司在單位時間內(nèi)收到的保費是某一固定常數(shù).但在保險公司的實際業(yè)務中，可能跟一些投保人簽訂協(xié)議，在每個單位時間內(nèi)收取固定的保費，除此之外在單位時間內(nèi)還會收到不同保費的保單，這可用服從某一分布的隨機變量來表示.文獻[1-3]將保費推廣為服從某一離散分布的隨機變量，建立隨機保費的風險模型；文獻[4-5]提出了帶有隨機保費收入和隨機支付紅利的離散風險模型；文獻[6]提出了帶有隨機支付紅利的雙險種復合二項模型，運用鞅方法討論了該模型盈余過程的性質(zhì)，給出了最終破產(chǎn)概率的表達式和Lundberg上界；文獻[7-8]將雙Poisson風險模型推廣為帶干擾保費混合收取的風險模型,利用鞅方法討論了其破產(chǎn)問題.在以上的文獻基礎上，本文建立混合保費收取下帶有支付紅利的風險模型，該模型在固定保費收取的情況上，考慮保費的隨機化和支付紅利，并且隨機保費到達過程和理賠過程分別服從參數(shù)為λ，μ的Poisson過程，支付紅利過程是服從參數(shù)為p∈(0,1)的二項隨機過程，運用秧方法，研究其盈余過程及調(diào)節(jié)系數(shù)R的性質(zhì)，進而得到破產(chǎn)概率的表達式和破產(chǎn)上界的Lundberg不等式.

2 風險模型

設u>0，c>0,λ>0,μ>0,σ>0.在給定的完備概率空間(Ω,F,P)上，保險公司的盈余過程為

(2.1)

其中，

(1)u為初始準備金，c是單位時間內(nèi)保險公司收到固定的保費，{W(t),t≥}是標準布朗運動，表示不確定的收付，σ為干擾系數(shù)；

(2){M(t),t≥0}表示在時間區(qū)間(t-1,t]內(nèi)保險公司隨機收到的保單數(shù)，是參數(shù)為λ的Poisson過程，且M(0)=0；Xk表示第k次的索賠額，{Xk}k≥0獨立同分布且取正整數(shù)值，E(Xk)=μx，且存在二階矩；

(3){N1(t),t≥0}表示在時間區(qū)間(t-1,t]內(nèi)保險公司發(fā)生的理賠次數(shù)，是參數(shù)為μ的Poisson過程，且N1(0)=0；Yk表示第k次的索賠額，{Yk}k≥0獨立同分布且取正整數(shù)值，E(Yk)=μy，且存在二階矩；

(4){N2(t),t≥0}表示在時間區(qū)間(t-1,t]內(nèi)保險公司支付紅利的保單數(shù)，是服從參數(shù)服從參數(shù)為p∈(0,1)的二項隨機過程，即保險公司在時間區(qū)間(t-1,t]內(nèi)支付紅利的概率為p，不支付紅利的概率為q，且p+q=1；Zk表示第k次支付的紅利額,且當盈余大于或等于給定的非負整數(shù)紅利界時，保險公司才支付紅利，{Zk}k≥0獨立同分布且取正整數(shù)值，E[Zk]=μz，且存在二階矩.

(5)假設保險公司收取保費、進行賠付及支付紅利均在時間區(qū)間(t-1,t]的始端進行，且{Xk,k≥0},{Yk,k≥0},{Zk,k≥0},{M(t),t≥0},{N1(t),t≥0},{N2(t),t≥0}之間是相互獨立的.

記盈利為

定義破產(chǎn)時刻為：T=inf{t:t≥0,U(t)<0}(infφ=∞)，破產(chǎn)概率為：

ψ(u)=P(T<∞|U(0)=u).

3 幾個引理

引理1[8]盈利過程{S(t),t≥0}具有如下性質(zhì)：

(1){S(t),t≥0}具有平穩(wěn)獨立增量；

(2)E[S(t)]=(c+λμx-μμy-pμz)t>0；

(3)存在正數(shù)r，使得E[e-rS(t)]<∞.

證明

其中MX(-r)=E(e-rX),MY(r)=E(erY),MZ(r)=E(erZ)分別表示個體保單額、理賠額、紅利額的矩母函數(shù).

引理3方程g(r)=0存在唯一正根R, 稱之為調(diào)節(jié)系數(shù).

證明根據(jù)引理2，對g(r)求導得

再求導得

由施瓦茲不等式知p2E[Z2erZ]·E[erZ]≥p2E2[ZerZ]，因此g″(r)>0，所以g(r)是嚴格下凸函數(shù).又因為g′(0)=-c-λμx+μμy+pμz<0，g(0)=0，所以存在唯一正數(shù)R,使得g(R)=0.

證明對?v≤t, 有

4 破產(chǎn)概率

定理1風險模型(2-1)的最終破產(chǎn)概率滿足Lundberg不等式：

ψ(u)≤e-Ru,

其中，R=sup{r:g(r)≤0}.

證明因為T是ξs停時，對任何t0≤∞，t0ΛT仍是ξs停時，由引理4及停時定理，有

e-ru=Mv(0)=E[Mv(t0ΛT)]=E[Mv(t0ΛT)|T≤t0]P{T≤t0}

+E[Mv(t0ΛT)|T>t0]P{T>t0}≥E[Mv(t0ΛT)|T≤t0]P{T≤t0}

=E[Mu(T)|T≤t0]P{T≤t0}.

(4.1)

因為當T<∞時，有u+S(t)≤0，故

定理2風險模型(2.1)的最終破產(chǎn)概率為

其中R為調(diào)節(jié)系數(shù).

證明在(4.1)式中取r=R得

e-Ru=E[e-RU(T)|T≤t0]P{T≤t0}+E[e-RU(t0)|T>t0]P{T>t0}.

(4.2)

以I(A)表示集合A的示性函數(shù)，則

0≤E[e-RU(t0)|T>t0]P{T>t0}=E[e-RU(t0)I{T>t0}]≤E[e-RU(t0)I{U(t0)≥0}].

由于0≤e-RU(t0)I{U(t0)≥0}≤1，根據(jù)強大數(shù)定理可知，當t0→∞時，U(t0)→∞a.s.

故由控制收斂定理知

在(4.2)式兩端令t0→∞，即得定理結(jié)論.