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    不要急著給π取值

    2019-07-17 14:24:16徐盈盈
    關(guān)鍵詞:紙筒圓周率圓柱體

    徐盈盈

    [摘 要]在計(jì)算圖形的面積和體積時(shí),一般只要將各項(xiàng)數(shù)值代入公式就可以準(zhǔn)確計(jì)算出結(jié)果,但是與圓形相關(guān)的一系列計(jì)算都繞不開一個(gè)棘手的問(wèn)題,那就是圓周率[π]的近似值,因?yàn)閇π]是小學(xué)生接觸到的第一個(gè)無(wú)理數(shù)。給出在計(jì)算過(guò)程中對(duì)[π]的代換、抵消、簡(jiǎn)化的技巧,幫助學(xué)生正確認(rèn)識(shí)[π]。

    [關(guān)鍵詞][π]的取值;操作;試驗(yàn) ;感悟

    [中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068(2019)14-0025-02

    盡管十二冊(cè)“實(shí)踐活動(dòng)”這一課已經(jīng)上過(guò)很多次,但每次備課筆者都會(huì)產(chǎn)生新的疑問(wèn)——“這個(gè)實(shí)踐活動(dòng)探究的價(jià)值在哪里?”“怎么才能有條不紊地安排4個(gè)活動(dòng)?”大家給出的意見(jiàn)是:讓學(xué)生通過(guò)操作認(rèn)識(shí)到側(cè)面積相同的圓柱體體積未必相等的教學(xué)創(chuàng)意不錯(cuò);盡管能夠利用計(jì)算器速算,但是一旦啟用計(jì)算器,規(guī)律就會(huì)被隱藏。聽(tīng)取了同事的意見(jiàn)后,筆者開始重新審視這節(jié)課。

    一、試教中的新發(fā)現(xiàn)

    不管“水有多深”,只有親身“下水”,才能發(fā)現(xiàn)“π取近似值”妨礙了探究活動(dòng)的展開。

    活動(dòng):準(zhǔn)備四張一模一樣的長(zhǎng)方形紙,長(zhǎng)16cm、寬4cm。取出其中兩張長(zhǎng)方形紙,一張橫向卷曲成圓柱體,另一張縱向卷曲成圓柱體。問(wèn):兩個(gè)圓柱的體積相等嗎?先猜想,再驗(yàn)算。

    當(dāng)長(zhǎng)方形紙片橫向卷曲(沿著長(zhǎng)卷)成圓柱體時(shí),如圖1所示,得到的圓柱體中,長(zhǎng)方形的長(zhǎng)演化為圓柱體底面的周長(zhǎng),即圓柱體底面周長(zhǎng)C=16cm,長(zhǎng)方形的寬演化為圓柱體的高,圓柱體高h(yuǎn)=4cm。[4cm][16cm][4cm][圖1]

    根據(jù)本單元的教學(xué)目標(biāo),在計(jì)算圓柱的底面半徑、表面積和體積時(shí),公式中的圓周率π一律要取近似值。因?yàn)閳A周率的近似取值,使得每個(gè)學(xué)生在計(jì)算制成的圓柱體紙筒的底面半徑、表面積和體積時(shí),得到的結(jié)果也不同。如本題要計(jì)算圓柱體紙筒的底面半徑,按課本中一般保留π的兩位小數(shù)的明文規(guī)定,半徑r=16[÷]2π=2.547707…≈2.55(cm),然后再計(jì)算出圓柱體紙筒的體積V=πr[2]h[≈]3.14[×]2.55[×] 2.55[×]4=81.6714≈81.67(cm[3])。

    同理,當(dāng)長(zhǎng)方形紙筒豎直起來(lái)卷(沿著寬卷) 成圓柱體時(shí)(如圖2),長(zhǎng)方形的寬演化成圓柱的底面周長(zhǎng),圓柱體底面周長(zhǎng)C=4cm,長(zhǎng)方形的長(zhǎng)演化為圓柱體的高,圓柱體高h(yuǎn)=16cm。此時(shí)圓柱體底面半徑r=4[÷]2π=0.6369…[≈]0.64(cm),圓柱體體積V=πr[2]h[≈]3.14[×]0.64[×]0.64[×]16=20.578304[≈]20.58(cm[3])。

    將得到的各項(xiàng)數(shù)據(jù)整理如下:

    可以發(fā)現(xiàn):用兩種方式卷長(zhǎng)方形紙,得到兩個(gè)不同的圓柱形紙筒,它們的底面周長(zhǎng)、高、側(cè)面積都是精確值(整數(shù)值),二者的元素聯(lián)系非常明顯。不管是橫向曲卷還是豎直曲卷,制成圓柱形紙筒的側(cè)面積相等,都等于長(zhǎng)方形紙張的面積,而圓柱體的底面周長(zhǎng),橫向曲卷時(shí)是縱向曲卷時(shí)的4倍,高則恰好相反,可底面半徑、體積之間卻沒(méi)有這種對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。面對(duì)這種情況,是否該對(duì)學(xué)生直言相告:橫向曲卷的圓柱體的底面半徑和體積約為縱向曲卷時(shí)的4倍,而非剛好4倍,是因?yàn)榍笾禃r(shí)對(duì)圓周率[π]取了近似值?既知如此,何必當(dāng)初!

    因?yàn)閇π]取了近似值,原本直觀的規(guī)律不存在了,還能繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生去尋找、檢驗(yàn)已被破壞的規(guī)律嗎?這不是偽證嗎?就算使用計(jì)算器,還是一樣找不出嚴(yán)謹(jǐn)準(zhǔn)確的規(guī)律!實(shí)踐活動(dòng)的目標(biāo)“研究圓柱體體積的變化,引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)規(guī)律,加深對(duì)圓柱表面積、體積的認(rèn)知,并感受數(shù)量的轉(zhuǎn)化關(guān)系”如何實(shí)現(xiàn)?難怪大家都嘆息“想要說(shuō)清不容易”,最終只能遺憾地舍棄!

    二、課后思考

    在做應(yīng)用題時(shí),圓周率π通常取近似值,演算時(shí)把π置于代數(shù)式最后一項(xiàng),可以通過(guò)觀察代數(shù)式的全貌特征進(jìn)行簡(jiǎn)化,這個(gè)道理早在第十一冊(cè)就已經(jīng)被學(xué)生理解并運(yùn)用。那只是圓周率π在乘法算式中的簡(jiǎn)化抵消方法,如:3.14[×]3[×]3=9[×]3.14=28.26。如今圓周率π要作為除式的分子,又該怎么應(yīng)對(duì)?筆者的處理方式是:把圓周率[π]的取值置于最后一步,或者將圓周率π原封不動(dòng)留存于算式中,讓結(jié)果帶字母π。

    如圖2,當(dāng)橫向曲卷長(zhǎng)方形紙時(shí),制得的圓筒底面周長(zhǎng)C=16cm,高h(yuǎn)=4cm,先據(jù)此推算出底面半徑r。

    r=C[÷]2π=[162π]=[8π](cm)。([π]不參與計(jì)算,用含π的分式表示得數(shù))

    V=π[×]([8π])[2][×]4=π[×][8π][×][8π][×]4([π]仍不參與計(jì)算,可約分去掉一個(gè)[π])=[256π](cm[3])。約分后最簡(jiǎn)代數(shù)式是含有無(wú)理數(shù)符號(hào)π的分式。

    同樣,當(dāng)縱向曲卷長(zhǎng)方形紙時(shí),制得的圓筒其底面周長(zhǎng)C=4cm,高h(yuǎn)=16cm。那么半徑r=C[÷]2π=[42π]=[2π](cm),V=π[×]([2π])[2][×]16=π[×][2π][×][2π][×]16=[64π](cm[3]。)

    把分別橫向、縱向曲卷長(zhǎng)方形紙得到的圓柱體的五項(xiàng)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比,如下表:

    觀察表內(nèi)數(shù)值,“[8π]正好是[2π]的4倍”“[256π]正好是[64π]的4倍”……規(guī)律顯而易見(jiàn)。

    三、實(shí)踐感悟

    不著急給π取值,學(xué)生就能探究出轉(zhuǎn)化后的數(shù)量之間的規(guī)律:(1)當(dāng)圓柱體的側(cè)面積不變時(shí),圓柱體的底面周長(zhǎng)與底面積和體積的大小變化相同;(2)當(dāng)圓柱體的側(cè)面積不變時(shí),圓柱的底面周長(zhǎng)與高的大小變化相反。圓柱的底面周長(zhǎng)擴(kuò)大(縮?。?倍,高就隨之縮?。〝U(kuò)大)4倍;(3)當(dāng)圓柱體的側(cè)面積不變時(shí),圓柱體的底面周長(zhǎng)與半徑、體積的大小變化相同。圓柱體的底面周長(zhǎng)擴(kuò)大(或縮?。?倍,它的半徑就同向伸縮4倍,體積也同向伸縮4倍。

    不僅如此,還有意外的驚喜,如:高的“作用力”以及半徑平方的幾何倍增作用相互制約。在計(jì)算圓柱體體積時(shí),因?yàn)椤绑w積=π[×]半徑[2][×]高”,所以一個(gè)圓柱體的體積既受到半徑的計(jì)值作用,也受到高的計(jì)值作用。在這個(gè)操作過(guò)程中,從橫向曲卷到縱向曲卷,高雖然擴(kuò)增4倍,底面半徑縮小4倍,但是由于半徑要平方,也就是連續(xù)做兩次乘法,擴(kuò)增互相抵消一次后,結(jié)算下來(lái),體積仍是縮小了4倍。

    用式子表述如下:

    [V橫]=π[×]r[2][×h]

    [V縱]=π[×](r[÷]4)[2][×](h[×]4)=[π][×][r216][×]h[×]4=[π][×]r[×]r[×h][÷]4=(π[×]r[2][×][h])[÷]4

    因此,[V縱]=[V橫][÷]4。

    也有少數(shù)學(xué)生迫不及待地算出近似值,最終確認(rèn)兩個(gè)近似結(jié)果之間近乎4倍不是正好為4倍。但在筆者提出質(zhì)疑后,學(xué)生馬上找到其中的原因——因?yàn)槎既×私茢?shù)??梢?jiàn),用帶無(wú)理數(shù)符號(hào)[π]的式子直接代表計(jì)算結(jié)果更便于揭示規(guī)律。

    (責(zé)編 童 夏)

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