反思數(shù)學(xué)約定 驅(qū)動(dòng)深度學(xué)習(xí)

丁洪

[摘 要]反思是一種意識(shí)、習(xí)慣和態(tài)度。符合認(rèn)知規(guī)律的反思行為，往往由表及里、由淺入深，能用火熱的思考融化冰冷的約定，驅(qū)動(dòng)學(xué)生達(dá)到深度學(xué)習(xí)。在“2、3、5倍數(shù)特征的再認(rèn)識(shí)”的教學(xué)中，立足學(xué)生實(shí)際，激發(fā)學(xué)生反思的需求，教給學(xué)生研究方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的反思能力和反思意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

[關(guān)鍵詞]反思;深度學(xué)習(xí);數(shù)學(xué)化

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2019）14-0009-03

弗賴(lài)登塔爾明確指出，反思是一種重要的“數(shù)學(xué)態(tài)度”。對(duì)比教學(xué)現(xiàn)場(chǎng)可以看出，沒(méi)有反思的數(shù)學(xué)教學(xué)，往往就事論事、淺嘗輒止，導(dǎo)致過(guò)程不完整、理解不透徹和價(jià)值不明確?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在總目標(biāo)的“問(wèn)題解決”和“情感態(tài)度”中分別提出“初步形成評(píng)價(jià)與反思的意識(shí)?！薄梆B(yǎng)成認(rèn)真勤奮、獨(dú)立思考、合作交流、反思質(zhì)疑等學(xué)習(xí)習(xí)慣?！?把這些要求整合起來(lái)，不難發(fā)現(xiàn)，從反思意識(shí)到反思習(xí)慣，最后形成穩(wěn)定的反思態(tài)度，恰好為現(xiàn)實(shí)教學(xué)指明了操作路徑和努力方向。

下面以“2、3、5倍數(shù)特征的再認(rèn)識(shí)”的教學(xué)為例，論述如何對(duì)部分倍數(shù)判斷的數(shù)學(xué)約定進(jìn)行反思，以驅(qū)動(dòng)學(xué)生實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

一、初步反思，提出問(wèn)題

師：喜歡玩游戲嗎？

生（齊）：喜歡。

師：看！三個(gè)彩蛋對(duì)應(yīng)三位數(shù)，怎么砸？[這個(gè)數(shù)是5的倍數(shù)嗎？][砸一砸]

生1：砸藍(lán)色的蛋，得個(gè)位上的數(shù)。

師：嗯，滿(mǎn)足你的愿望?。ㄔ页鰯?shù)字0）

生1：是5的倍數(shù)。

師：還是幾的倍數(shù)？

生2：2的倍數(shù)。

師：3的倍數(shù)呢？

生3：要砸剩下的兩個(gè)彩蛋才知道是不是。

師（砸出十位上是5，百位上是4）：有結(jié)果了嗎？

生4：因?yàn)?+5+0=9，9是3的倍數(shù)，所以450就是3的倍數(shù)。

師：從“個(gè)位”看，其實(shí)是一種局部思考。而看這個(gè)“各位”，需要整體把握。怎么看就怎么砸！

師：關(guān)于“個(gè)位”和“各位”，你能提出什么問(wèn)題？

生5：為什么2和5的倍數(shù)只要看個(gè)位，而3的倍數(shù)就要看各位呢？

5的倍數(shù)，

3的倍數(shù)，][為什么？][怎么看？][局部

整體][理一理]

師：對(duì)原來(lái)熟悉的數(shù)學(xué)約定進(jìn)行反思，往往就從“為什么”開(kāi)始。就讓我們?cè)凇盀槭裁础钡淖穯?wèn)中，開(kāi)始“再認(rèn)識(shí)”的探究之旅。

【思考：首先創(chuàng)設(shè)砸蛋游戲情境，換一種方式來(lái)復(fù)習(xí)舊知，能讓學(xué)生積極參與其中，梳理出“個(gè)位”和“各位”兩種約定模型;接著引導(dǎo)學(xué)生觀察、對(duì)比和反思模型，鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，幫助學(xué)生使用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，實(shí)現(xiàn)從“怎么看”到“為什么”的跨越?！?/p>

二、逐步反思，深入研究

1.找準(zhǔn)起點(diǎn)，有序推進(jìn)

師：對(duì)于5的倍數(shù)，哪些數(shù)位不用看？

生1：十位、百位……都不用看。

師：為了驗(yàn)證你的論點(diǎn)是否正確，我們需要開(kāi)展研究活動(dòng)。研究的起點(diǎn)很重要，你準(zhǔn)備從哪一位開(kāi)始呢？

生2：我會(huì)選擇十位，它是最低位的。

生3：十位比較簡(jiǎn)單，應(yīng)該容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

師：行，先從十位研究起。

（出示活動(dòng)要求：判斷5的倍數(shù)，十位上的數(shù)“不用看”的道理是什么？引導(dǎo)學(xué)生先獨(dú)立思考，組再小交流。）

師：好的開(kāi)始是成功的一半，先請(qǐng)研究十位上是1的同學(xué)匯報(bào)。

生4：十位上是1，就是1個(gè)十，10是5的倍數(shù)。（動(dòng)畫(huà)配合：把十個(gè)算珠，5個(gè)5個(gè)的分）

師：跟你們想象的一樣嗎？

生（齊）：一樣。

師：十位上還有一些數(shù)，你能說(shuō)清楚嗎？

生5：接著就是20、30…它們都是10的倍數(shù)，所以也沒(méi)有剩余。

師：回頭看，紅蛋為什么不用砸？

生6：紅蛋表示幾個(gè)十，都是5的倍數(shù)。

師：百位上的數(shù)又有什么特征呢？

生7：一百是5的倍數(shù)，所以幾百都是5的倍數(shù)。

生8：百位上的數(shù)表示幾百，幾百都是10的倍數(shù)，所以也是5的倍數(shù)。

師：真好！能用聯(lián)系的思維進(jìn)行推理，十位不要看，百位就不要看……以此類(lèi)推，這些地方就是確定區(qū)。那唯獨(dú)剩下誰(shuí)？

生（齊）：個(gè)位。

師：個(gè)位就是待定區(qū)，等待你去確定。這樣，通過(guò)抽象、推理，我們成功建立了5的倍數(shù)的模型。

【思考：反思雖然主要依靠學(xué)生，但是，由于年齡特征、認(rèn)知習(xí)慣等多種因素的干擾，還需要教師的引導(dǎo)和幫助。首先，確定從十位研究起，建議從1開(kāi)始列舉，有意識(shí)地滲透反思技巧;接著，概括十位上的情況，確定幾十都是5的倍數(shù)，再引導(dǎo)學(xué)生推理到其他數(shù)位，著重培養(yǎng)學(xué)生的反思能力;最后，對(duì)比確定區(qū)和待定區(qū)，實(shí)現(xiàn)對(duì)5的倍數(shù)特征的再認(rèn)識(shí)，著力提升反思實(shí)效?！?/p>

2.抓住本質(zhì)，巧妙遷移

師：哪個(gè)數(shù)的倍數(shù)和5差不多？

生（齊）：2。

師：能有序地說(shuō)清楚嗎？

生1：幾十都是2的倍數(shù)。

生2：幾百都是2的倍數(shù)。

師：幾十、幾百……以此類(lèi)推，這些都是確定區(qū)。唯獨(dú)哪里需要待定？

學(xué)（齊）：個(gè)位。

師：其實(shí)，確定區(qū)的數(shù)都是2和5的公倍數(shù)，所以看似不同的問(wèn)題，卻有著相同的模型結(jié)構(gòu)。

【思考：上一環(huán)節(jié)是“扶”，這里主要是“放”。首先，引導(dǎo)學(xué)生自主探究和表達(dá)，但是在學(xué)生遇到困難時(shí)，教師仍然引導(dǎo)學(xué)生回到思維的起點(diǎn)，因?yàn)閷W(xué)會(huì)思考比知識(shí)獲得更重要;然后，著重對(duì)比模型內(nèi)在的結(jié)構(gòu)，找到判斷方法相同的根本原因，貫通“2和5倍數(shù)特征”的再認(rèn)識(shí)。】

3.問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，對(duì)比建模

師：以18為例，個(gè)位上有8個(gè)算珠，記下8，這個(gè)很好理解。再看十位上，一個(gè)十竟然約定記下1，為什么10變成了1？這里到底藏著什么道理和秘密呢？

（出示活動(dòng)要求：十位上的1表示10個(gè)算珠，為什么在“1+9=10”的算式中變成1個(gè)？在圖中圈出“10”變成“1”的過(guò)程。引導(dǎo)學(xué)生先獨(dú)立思考后再小組交流。）

生1：因?yàn)?0可以分為3個(gè)3余1，而3個(gè)3等于9，9已經(jīng)是3的倍數(shù)，也就是說(shuō)可以把9忽略了，10就是剩下了1。

師：品出其中的數(shù)學(xué)道理了嗎？

生2：10分成兩部分，一部分是9，它是3的倍數(shù)，確定的就不要看了，另一部分是還剩的1，不能確定要記錄。

師：一十記下1，幾十就記下幾，如果十位上是c，對(duì)應(yīng)記下幾？

生（齊）：c。

師：以此類(lèi)推，如果百位上是b，千位上是a呢？如果覺(jué)得有困難，從幾想起？

生3：一百記下1，幾百就記下幾，如果百位上是b，對(duì)應(yīng)記下b。

生4：一千記下1，幾千就記下幾，如果千位上是a，對(duì)應(yīng)記下a。

師：這樣就把a(bǔ)個(gè)千、b個(gè)百、c個(gè)十、d個(gè)一，就轉(zhuǎn)化成a+b+c+d的和，以和的待定，判斷原來(lái)的數(shù)是不是3的倍數(shù)。看似復(fù)雜的問(wèn)題，在智慧的對(duì)比中被解決了。

【思考：首先，在復(fù)習(xí)舊知中提出新的問(wèn)題，并從特例入手，放手讓學(xué)生在圈畫(huà)中探究“記錄1”的道理;接著，引導(dǎo)學(xué)生將10解構(gòu)成9和1，正向遷移確定區(qū)和待定區(qū)，使復(fù)雜的情況得以簡(jiǎn)單表示，逐漸重構(gòu)“幾十就記錄幾”的數(shù)學(xué)約定;最后，順勢(shì)用字母概括抽象的數(shù)，并以此類(lèi)推到其他數(shù)位，完成所有數(shù)位上的數(shù)的轉(zhuǎn)化，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)約定的魅力和價(jià)值?！?/p>

三、運(yùn)用反思，變模成塊

師：在判斷平年和閏年時(shí)，對(duì)于4的倍數(shù)，為什么百位和千位不用看？

生1：100和1000是4的倍數(shù)，幾百和幾千就是4的倍數(shù)，是確定的，所以不用看。

師：為什么判斷9的倍數(shù)時(shí)，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)都要看？

生2：10除以9余下1，幾十除以9余下幾，百位上也是幾百除以9余下幾，這些余下的“幾”都是待定的，所以都要看。

師：今天這節(jié)課，你有什么收獲和體驗(yàn)？

生3：我會(huì)用“為什么”來(lái)提出問(wèn)題。

生4：我知道了這些倍數(shù)特征形成的真正原因。

生5：我知道思考問(wèn)題有時(shí)候要從局部去思考，但有時(shí)候要從整體去思考。

生6：復(fù)雜問(wèn)題可以從簡(jiǎn)單情況開(kāi)始。

師：反思可觸摸數(shù)學(xué)本質(zhì)，智慧可實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)約定，簡(jiǎn)潔，不簡(jiǎn)單！

【思考：這里的練習(xí)不是簡(jiǎn)單的模仿，而是有針對(duì)性的變模訓(xùn)練。這是對(duì)反思技能的檢查，也是對(duì)反思態(tài)度的檢閱。如從再認(rèn)識(shí)2、5的倍數(shù)特征出發(fā)，到反思4的倍數(shù);從再認(rèn)識(shí)3的倍數(shù)特征出發(fā)，到反思9的倍數(shù)。在這樣的變模訓(xùn)練中，學(xué)生的思維得到適度拓展，更為重要的是，在變與不變中，學(xué)生不但觸及知識(shí)的本質(zhì)，還體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的魅力?！?/p>

【評(píng)析】

蘇教版教材是借助百數(shù)圖，調(diào)用學(xué)生已有的倍數(shù)知識(shí)，先計(jì)算和圈畫(huà)相關(guān)的幾倍數(shù)，然后觀察和對(duì)比這些倍數(shù)的特例，發(fā)現(xiàn)其存在相同的外形特征，最后順勢(shì)歸納出2、3、5倍數(shù)特征的一般結(jié)論。這種學(xué)習(xí)主要聚焦于倍數(shù)的外形特征，以發(fā)現(xiàn)其外部規(guī)律為主，顯然沒(méi)有深入特征的內(nèi)部。如果把倍數(shù)判斷的方法當(dāng)成后續(xù)學(xué)習(xí)的工具，點(diǎn)到為止倒也無(wú)妨。問(wèn)題是，什么時(shí)候才有機(jī)會(huì)揭開(kāi)數(shù)學(xué)約定的神秘面紗呢？

1.立足學(xué)生實(shí)際，激發(fā)反思需求

“再認(rèn)識(shí)”是建立在“已認(rèn)識(shí)”的基礎(chǔ)之上，所以要想“再認(rèn)識(shí)”能夠順利啟動(dòng)，就必須考慮學(xué)生的實(shí)際情況。就本節(jié)課而言，學(xué)生已經(jīng)掌握判斷2、3、5倍數(shù)的外形特征，并能“以學(xué)備用”，將其遷移運(yùn)用到高度相關(guān)的問(wèn)題情境中。但是，學(xué)生的反思意識(shí)淡薄，反思質(zhì)疑的習(xí)慣缺失，再加上反思意味著深入思考，需要面臨更大挑戰(zhàn)，使本來(lái)就枯燥的數(shù)學(xué)變得讓人“望而生畏”。弗賴(lài)登塔爾認(rèn)為，當(dāng)“數(shù)學(xué)味”過(guò)于濃郁時(shí)，可以用“生活味”積極調(diào)和。于是，在“砸蛋”的游戲中，就通過(guò)“怎么砸”回顧整理，“為什么不用砸”質(zhì)疑反思。顯然，這樣就用游戲的感性直觀調(diào)和了數(shù)學(xué)的理性抽象，同時(shí)，也用認(rèn)識(shí)閉合的內(nèi)需驅(qū)動(dòng)了主動(dòng)反思的可能。

2.教給研究方法，提升反思能力

從課堂觀察可以看出，沒(méi)有過(guò)程經(jīng)歷和方法幫扶的反思行為，費(fèi)時(shí)、費(fèi)力和費(fèi)事，效果難以達(dá)到預(yù)期，而且容易使學(xué)生滋生負(fù)面情緒。因此，想要把事辦好，這幾點(diǎn)不能忽視：首先是確定起動(dòng)點(diǎn)，如以5的倍數(shù)特征為樣本，從十位研究起，并有意從一個(gè)十的情況開(kāi)始匯報(bào)，歸納概括后類(lèi)推到其他數(shù)位，以簡(jiǎn)馭繁，層層深入;其次是梳理聯(lián)動(dòng)點(diǎn)，如用“確定區(qū)”和“待定區(qū)”的分類(lèi)，將三種數(shù)的特征串聯(lián)起來(lái)，使知識(shí)的探究有機(jī)置于方法的框架之內(nèi)，有序推進(jìn)，凌而不亂;最后是感悟相同點(diǎn)，如遇到困難從簡(jiǎn)單想起，這是明確的，而基于“十進(jìn)制計(jì)數(shù)法”的運(yùn)算環(huán)境，則并未點(diǎn)破，方法要適合，反思也要適度。顯然，學(xué)生經(jīng)歷了反思的“關(guān)鍵步子”，就容易形成反思的“關(guān)鍵能力”。

3.變模訓(xùn)練思維，滲透反思意識(shí)

一般練習(xí)的目的是鞏固新知，熟能生巧是衡量其效果的標(biāo)準(zhǔn)。但是，如果練習(xí)的情境單一、結(jié)構(gòu)相同，再多的努力也只是簡(jiǎn)單搬運(yùn)，結(jié)果生巧未必，生厭倒是可能。而“思前想后”的題組訓(xùn)練，可以改變機(jī)械練習(xí)的舊況?！八记啊毕氲降氖桥袛嗄攴輹r(shí)特殊的方法，“思后”想到的是“單元整理與復(fù)習(xí)”中9的倍數(shù)特征的初步探究。首先，將它們合理歸置，形成變模題組，如4的倍數(shù)歸屬于2的倍數(shù)，9的倍數(shù)歸屬于3的倍數(shù)。然后，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)解構(gòu)、方法遷移和模型重構(gòu)的全過(guò)程，逐步解開(kāi)“習(xí)以為?！?，但“不明事理”的4的倍數(shù)特征，慢慢揭開(kāi)初獲結(jié)論，但“霧里看花”的9的倍數(shù)特征。應(yīng)該說(shuō)，這樣的練習(xí)更具開(kāi)放性、靈活性和啟發(fā)性，學(xué)生的思維得到全方位訓(xùn)練，反思意識(shí)的滲透有效而且無(wú)痕。

看來(lái)，反思不僅僅是“大家再想想”那樣簡(jiǎn)單，因?yàn)榉笱芰耸?，肯定難以持續(xù)和深入。因此，要想反思成為常態(tài)，要做到“即時(shí)反思”和“專(zhuān)題反思”相映成趣，要關(guān)注“反思方法”與“反思意識(shí)”的同步推進(jìn)，還要注重“激趣反思”與“適度反思”的辯證統(tǒng)一，等等。縱觀課堂，這種“悱憤狀態(tài)”下獲得的“再認(rèn)識(shí)”是貼近學(xué)生實(shí)際需要的，富有生命力的，且學(xué)生形成的數(shù)學(xué)態(tài)度能持續(xù)影響后續(xù)的學(xué)習(xí)。

[本文系南通市“十三五”教育科學(xué)規(guī)劃2016年度青年專(zhuān)項(xiàng)課題“基于問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)化過(guò)程的研究”階段性成果（課題編號(hào)：QN2016012）。]

（責(zé)編 金 鈴）