經(jīng)典風(fēng)險模型中破產(chǎn)變量的聯(lián)合分布

蘇必豪，李婧超

深圳大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣東深圳 518060

近年來，學(xué)界對保險風(fēng)險模型的破產(chǎn)相關(guān)變量做出大量研究．GERBER等[1]對破產(chǎn)時間、破產(chǎn)時赤字和索賠數(shù)等問題進(jìn)行研究．雖然破產(chǎn)概率仍是破產(chǎn)理論的焦點，但研究破產(chǎn)相關(guān)變量及其之間的關(guān)系更具有一般性．經(jīng)典風(fēng)險模型的研究表明，當(dāng)破產(chǎn)發(fā)生時，若初始盈余對最終破產(chǎn)概率的影響不可忽略，則破產(chǎn)概率密度是正偏斜的，且偏斜度至少為0.5%[2]．類似地，在相同情況下直到破產(chǎn)發(fā)生時，索賠次數(shù)的概率函數(shù)是正偏斜的[3]．這些結(jié)果說明，當(dāng)破產(chǎn)發(fā)生時，總索賠額分布的偏度可能是正的，本研究將證明該結(jié)論成立．

雖然已經(jīng)有許多學(xué)者對破產(chǎn)前總索賠的預(yù)期折現(xiàn)額進(jìn)行研究[4-5]，但關(guān)于破產(chǎn)時總索賠額的研究卻不多，唐應(yīng)輝等[6]根據(jù)個體索賠額分布函數(shù)的性質(zhì)，研究個別風(fēng)險模型中總索賠額分布函數(shù)的界值問題．本研究將揭示破產(chǎn)時的總索賠額與破產(chǎn)時間和破產(chǎn)赤字密切相關(guān)．盡管破產(chǎn)時的赤字分布并未體現(xiàn)保險公司在破產(chǎn)之前的支出額分布情況，但由破產(chǎn)時間的分布可知保險公司直到破產(chǎn)前的收入．根據(jù)破產(chǎn)時間和破產(chǎn)赤字的聯(lián)合分布，可研究破產(chǎn)前總索賠額的分布等性質(zhì)．破產(chǎn)時總索賠額的分布給保險人指明，不同程度的支出對應(yīng)發(fā)生破產(chǎn)的可能性．HUANG等[7]討論盈余第一次達(dá)到一定水平時的拉普拉斯變換，RABEHASAINA等[8]研究在Sparre Andersen過程中，破產(chǎn)時間和破產(chǎn)時總索賠量的聯(lián)合分布，得出拉普拉斯變換的表達(dá)式，但未能有效對其結(jié)果做逆變換．在初始盈余為0的情況下，做逆變換并不是一個獲得破產(chǎn)相關(guān)變量分布的簡單方法[9-10]．本研究采取較為直接的方法，得到聯(lián)合密度的顯式表達(dá)式．通過對破產(chǎn)時間和破產(chǎn)時赤字的聯(lián)合概率密度函數(shù)進(jìn)行函數(shù)變換，得到截止至破產(chǎn)時的總索賠額與其他破產(chǎn)變量，如截止破產(chǎn)時的總索賠次數(shù)、破產(chǎn)時間及破產(chǎn)時赤字的聯(lián)合概率密度，并且以個體索賠分布為指數(shù)分布以及其他可分解型的指數(shù)族分布的情況進(jìn)行舉例說明．

1 符號表示

2 包含S(Tu)的聯(lián)合概率密度

考慮包含隨機(jī)變量S(Tu)的聯(lián)合概率密度．假設(shè)在時間t時，發(fā)生第n次索賠，此時破產(chǎn)發(fā)生，且破產(chǎn)的集體索賠額為x． 因此，

Pr(Tu≤t,N(Tu)=n,S(Tu)≤x)=

(1)

x>c+ct，t>0， 且

vn(u,x-ct-u,t)

w(u,x,t)=v(u,x-ct-u,t)

(2)

由(Tu,Yu)的概率密度，可求出(Tu,S(Tu))的概率密度．DICKSON 等[11-12]給出有關(guān)(Tu,Yu)概率密度的顯式解．為得到wn(u,x,t)， 運用 DICKSON[13]給出的vn(u,y,t)公式，當(dāng)u>0， 有w1(u,x,t)=λe-λtp(x)． 則對n=1,2,3,…有

pn*(ct-z)p(z+x-ct)dz

(3)

pj*(u+cs)

wn+1-j(0,x-u-cs,t-s)ds

(4)

通過式(3)和式(4)可獲得包含2個變量的聯(lián)合密度，對n求和得(Tu,S(Tu))的聯(lián)合概率密度，對t積分得(N(Tu),S(Tu))的聯(lián)合概率密度． (Tu,S(Tu))的聯(lián)合概率密度可表示為

g(ct-z,t)p(z+x-ct)dz

(5)

且對u>0，

(6)

(7)

(8)

利用聯(lián)合概率密度函數(shù)求S(Tu)的邊緣概率密度較為復(fù)雜．然而，若定義

S(Tu)≤x)

(9)

對第1次索賠的時間和數(shù)量進(jìn)行調(diào)整，得

(10)

對于存在顯示表達(dá)式的ψ(u)， 式(10)中積分的性質(zhì)不允許通過標(biāo)準(zhǔn)方法來求解Ω(u,x)的索賠大小分布．第2個標(biāo)準(zhǔn)方法是做逆變換，但仍非獲得S(Tu)密度的有效途徑．

2.1 指數(shù)索賠

首先， 考慮單次索賠額為指數(shù)分布， 即p(x)=αe-αx,x>0的情況，其結(jié)果在文獻(xiàn)[14]中詳細(xì)說明，v(u,x,t)=w(u,t)αe-αx， 因此，w(u,x,t)=w(u,t)αe-α(x-ct-u)． 文獻(xiàn)[11]對于w(u,t)可得(Tu,S(Tu))的聯(lián)合概率密度為

(11)

其中，x>u+ct，t>0， 且

為v階的修正Bessel函數(shù)．圖1給出對于2個不同u值時， (Tu,S(Tu))的聯(lián)合概率密度函數(shù)圖像．其中，t表示破產(chǎn)時間；x表示破產(chǎn)時的集體索賠額．由式(4)可得S(Tu)的概率密度．用求和形式寫出Bessel函數(shù)，并根據(jù)(u+ct)n的二項展開式，當(dāng)x>u， 有

(12)

(13)

圖1 u=0, 20時w(u, x, t)的圖像Fig.1 (Color online) w(u, x, t) charts when u=0, 20

同時，也可得(N(Tu),S(Tu))的聯(lián)合概率密度，對任意的x>0， 運用式(7)可得

E(2n-1,λ,x/c)

(14)

對于u>0，x>u， 通過一些簡單變換得

E(n+j-1,λ,(x-u)/c)-

E(2n+j-k-1,λ,(x-u)/c)} (15)

圖2 當(dāng)n=2,3,4,5, n=10和 n=20時，和的圖像 and charts when n=2,3,4,5, n=10 and n=20

2.2 其他指數(shù)族索賠分布

只有特定幾個類型的個體索賠分布才可以求出(Tu,Yu)聯(lián)合分布函數(shù)的顯式解，這些分布需滿足以下性質(zhì)[15]

(16)

其中， {ηj}為非負(fù)的實值函數(shù)； {τj}為概率密度函數(shù)．由此可推導(dǎo)出v(u,y,t)的形式為[16]

(17)

因此，可得

(18)

i=1,2,…,n.

(19)

結(jié) 語

本研究在經(jīng)典風(fēng)險模型下，研究破產(chǎn)時的總索賠額與破產(chǎn)時間和破產(chǎn)赤字的聯(lián)合分布函數(shù)．根據(jù)破產(chǎn)時間和破產(chǎn)赤字的聯(lián)合分布，研究破產(chǎn)前總索賠額的分布等性質(zhì)．并選取指數(shù)索賠和幾個其他特定的索賠類型為例，解出破產(chǎn)時總索賠額分布的具體表達(dá)式．指出不同程度的支出對應(yīng)發(fā)生破產(chǎn)的可能性．