例談數(shù)列知識在算法中的運(yùn)用

江蘇省蘇州市吳江高級中學(xué) 沈智芬

蘇教版高中數(shù)學(xué)新教材在《必修3》中新增加了《算法初步》這一節(jié)內(nèi)容。 算法是數(shù)學(xué)內(nèi)容以及數(shù)學(xué)思想方法的重要組成部分，也是計算機(jī)應(yīng)用的重要基礎(chǔ)。隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的飛速發(fā)展，算法在科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中發(fā)揮著越來越大的作用，算法的基本知識、方法、思想日益融入社會生活的諸多方面，已經(jīng)成為現(xiàn)代人應(yīng)具備的一種基本素質(zhì)。作為課程標(biāo)準(zhǔn)的新增內(nèi)容，算法對于大部分學(xué)生來說還是較為陌生的，它也不同于以往所學(xué)的一些數(shù)學(xué)知識，更多的是同計算機(jī)理論和技術(shù)聯(lián)系在一起。如何讓每位同學(xué)更好的學(xué)習(xí)理解一內(nèi)容，是每一個高中數(shù)學(xué)教師面臨的新課題，而算法的循環(huán)語句的教學(xué)更是具有一定難度，學(xué)生也不容易掌握好。聯(lián)系到我們曾花大氣力重點(diǎn)研究的數(shù)列知識及數(shù)列思想與算法思想共通性，可借助扎實的數(shù)列功底使得我們的算法教學(xué)也能輕松完成，本文通過選編部分算法知識與數(shù)列結(jié)合的例題，希望能對正在進(jìn)行高中新課程教學(xué)的同行們起到有益的啟示。

解析 在初學(xué)這個算法時，很多同學(xué)給出了下面的算法：(如圖1)

圖1

圖2

分析 一般我們教師在點(diǎn)評這個算法時，會將其稱作一個不是很合格的算法，或者將這個算法直接“槍斃”掉。因為我們所學(xué)的算法更多的時候是要為在計算機(jī)上應(yīng)用服務(wù)的，這就涉及計算機(jī)上的一個存儲單元內(nèi)存的占用問題。該種算法將占用大量的資源，在n較大時，將使得計算不可進(jìn)行，違背了可行性原則。一般我們給出的是另一個算法（如圖2），誠然，單純從算法的角度來考慮，無可厚非的我們應(yīng)選擇后者，因為它只使用了3個單元存儲變量，顯得更簡潔、更高效。但是我們更要看到學(xué)生選擇的算法背后所蘊(yùn)含的信息，那就是在學(xué)習(xí)算法這個新內(nèi)容的時候，學(xué)習(xí)數(shù)列時打下的扎實功底成為學(xué)生輔以理解算法的工具之一。在此題中，為了讓學(xué)生能更好地理解后一種算法，我們還是從數(shù)列的角度來研究它，寫出斐波那契數(shù)列前6項。這樣我們能較為清楚地看到循環(huán)結(jié)構(gòu)算法設(shè)計過程中最為關(guān)鍵的循環(huán)體部分：。而且遵循數(shù)列這樣的研究過程，學(xué)生也不會寫錯循環(huán)體中這三個賦值語句的次序。

其實，只需我們稍加留心，便會發(fā)現(xiàn)數(shù)列的身影在算法語句特別是循環(huán)語句的學(xué)習(xí)過程中幾乎隨處可見。如我們數(shù)列中重點(diǎn)研究的等差數(shù)列的通項及求前n項和，等比數(shù)列的通項及求前n項和，遞推數(shù)列等都可以在循環(huán)語句中得到一一對應(yīng)。以等差數(shù)列中的For語句為例，我們很容易就可以得到如下算法（如圖3、圖4）。從這幾個框圖我們可以看出，循環(huán)語句的循環(huán)體中的賦值語句其實質(zhì)就是：對于循環(huán)變量a,S而言，寫在賦值符號前的a,S相當(dāng)于遞推數(shù)列中的后項，寫在賦值符號后的a,S相當(dāng)于遞推數(shù)列中的前項，循環(huán)體中的賦值語句其實質(zhì)就是給出了一個數(shù)列的遞推公式。而對于這些與等差、等比相對應(yīng)的算法，假如我們給予足夠的重視，那么在解決一些算法與數(shù)列相結(jié)合的題型時，將會得心應(yīng)手，游刃有余。

圖3

圖4

例2 在執(zhí)行圖5的算法后，其循環(huán)體共執(zhí)行了____次，最后打印的結(jié)果是___。

分析 注意到此題的循環(huán)體，可將其看成一個等差數(shù)列前n項和的問題，如圖6，則再結(jié)合Do循環(huán)為直到型，其循環(huán)終止條件Sn≥1050意味著在循環(huán)體中最后一次執(zhí)行時，①式中等號左側(cè)的Sn第一次大于等于1050，解得n≥20，即最后一次執(zhí)行時①式等號左側(cè)產(chǎn)生了S20，而第一次執(zhí)行循環(huán)時等號左側(cè)產(chǎn)生的是S1，所以循環(huán)體共執(zhí)行了20次。相應(yīng)地，在循環(huán)體中最后一次執(zhí)行時，①式中等號右側(cè)的為a20，從而②式中等號左側(cè)的為a21=105，即最后打印的結(jié)果是105。采用遞推數(shù)列的思想方法，使本題迅速解決。

圖5

圖6

例3 圖7是一個算法的操作流程，則由語句S7打印出的數(shù)值為______，____________ 。

圖7

圖8

分析 考察此題的循環(huán)體部分，有三個循環(huán)變量x,y,S，如圖8，記循環(huán)變量x經(jīng)由算法執(zhí)行得到的一列數(shù)為數(shù)列{an}，循環(huán)變量y經(jīng)由算法執(zhí)行得到的一列數(shù)為數(shù)列{bn}，則Sn就是求數(shù)列{an+bn}的前n項和，可以考慮使用分組求和法。{an}為首項a1=3，公差為2的等差數(shù)列，前n項和為{bn}為首項b1=4，公比為2的等比數(shù)列，其前n項和為再觀察其循環(huán)終止條件Sn＞4000，這意味著在循環(huán)體中最后一次執(zhí)行時，S5中等號左側(cè)的Sn第一次大于4000，即Sn=n2+2n+2n+2-4＞4000，計算可得當(dāng)n=10時，有Sn=4212＞4000。所以打印出3的數(shù)據(jù)為10,4212。

即打印出的數(shù)據(jù)變?yōu)?,6670。

評析 例3及其變題都是較為復(fù)雜的算法與數(shù)列相聯(lián)系的題目，均涉及等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項及求其前n項和。同時還考察了復(fù)合數(shù)列求和時分組求和及錯位相減法等基礎(chǔ)知識和基本技解運(yùn)用，尤其是例題本身就考察學(xué)生在算法情景下向數(shù)列知識聯(lián)系轉(zhuǎn)化的能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、理性思維能力和實踐能力。而學(xué)生只需具備能夠按照數(shù)列中遞推數(shù)列的思想將算法問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題的能力，還是能夠順利解答的。

算法思想貫穿于整個中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容之中，并且在算法的具體實現(xiàn)上又可以和信息技術(shù)相聯(lián)系，因此，算法知識與數(shù)列知識的融合，有利于培養(yǎng)學(xué)生理性精神和實踐能力，能更好地執(zhí)行新課程的教學(xué)理念。