探求高中數(shù)學(xué)的“軌跡問題”

江蘇省常熟外國(guó)語學(xué)校 徐莉嬌

伴隨時(shí)代發(fā)展，高中數(shù)學(xué)教材也隨之進(jìn)行了不斷變化，但“軌跡問題”始終是高中數(shù)學(xué)教材中相當(dāng)重要的一部分內(nèi)容?！败壽E問題”在高中數(shù)學(xué)教材中的作用，是讓學(xué)生在探究軌跡方程實(shí)質(zhì)的過程中，實(shí)現(xiàn)從“形（曲線）”向“數(shù)（方程）”的思維轉(zhuǎn)化過程，這是培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)思想方法的一條最佳路徑。同時(shí)，從歷年高考的“出鏡率”來看，“軌跡問題”均是重點(diǎn)與熱點(diǎn)。特別是倡導(dǎo)素質(zhì)教育的新時(shí)期，“軌跡問題”在培養(yǎng)高中生創(chuàng)新意識(shí)，提高運(yùn)算、思維、分析等數(shù)學(xué)能力上，都將是一個(gè)有利的切入點(diǎn)。然而，也正是由于“軌跡問題”的抽象性，也給學(xué)生學(xué)習(xí)帶來了一定困難。如何在教學(xué)與復(fù)習(xí)中，幫助高中生突破學(xué)習(xí)瓶頸，探求“軌跡問題”教學(xué)的有效方法，是本文的主旨。以下是結(jié)合教學(xué)實(shí)踐對(duì)此展開的深入思考與研究。

一、高中生在“軌跡問題”上的學(xué)習(xí)困難

結(jié)合多年從教經(jīng)驗(yàn)，在高中數(shù)學(xué)“軌跡問題”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生大多存在以下幾種情況：

1.對(duì)“概念本質(zhì)”把握不準(zhǔn)

如：“動(dòng)圓M和圓C1：（x+1）2+y2=36內(nèi)切，和圓C2：（x-1）2+y2=4外切，那么圓心M軌跡方程是怎樣的？”這類例題學(xué)生在求解過程中，要注意在作圖時(shí)應(yīng)考慮相切時(shí)的圖形特征，在得到“|MA|+|MB|=8”的方程之后，可利用軌跡橢圓概念直接寫出軌跡方程。但在實(shí)際求解時(shí)，由于對(duì)概念本質(zhì)把握不夠，就會(huì)有學(xué)生采取距離公式進(jìn)行列式求解，列出“”，然后進(jìn)行移項(xiàng)、平方，最后求出軌跡方程，導(dǎo)致求解步驟增多，求解時(shí)間增加，無形中提高了解題錯(cuò)誤率，降低了解題效率。

2.對(duì)“隱含條件”容易忽視

在數(shù)學(xué)問題中，總有一些含而不露，若明若暗的已知條件隱藏于題目之中，或者存在一些借助表面條件進(jìn)行變形、推理之后再產(chǎn)生新條件的隱含條件，如果學(xué)生不能夠及時(shí)發(fā)現(xiàn)與利用這些條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)解、不完整解答，甚至找不到解題有效路徑的情況。如“在平面直角坐標(biāo)第xOy中，拋物線y=x2上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A和B，滿足圖中所示，即OA與OB垂直的條件，求△AOB的重心G的軌跡方程。”這類問題進(jìn)行求解時(shí)，很多學(xué)生都會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)答案，即“y=3x2”或者是“y=3x2+”。為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的錯(cuò)解？就是因?yàn)樵诮忸}過程中，學(xué)生忽略了△AOB在“x1x2=0”的時(shí)候是不可能存在的，所以最終的答案只能是“y=3x2+”。

3.對(duì)問題思考得不全面

由于“軌跡問題”的抽象性特征，如果學(xué)生對(duì)問題研究不透，知識(shí)基礎(chǔ)不牢，在發(fā)現(xiàn)問題和分析問題的過程中就會(huì)產(chǎn)生思維上的死角，因?yàn)榭紤]問題不全面而出現(xiàn)解題偏差和錯(cuò)誤。如：“已知橢圓（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1（c,0）和 F2（-c,0），橢圓外有一動(dòng)點(diǎn)Q，且F1Q=2a，該橢圓與線段F1Q相交于P點(diǎn)；線段F2Q上有一點(diǎn)T，且“=0,且|TF2|≠0，求點(diǎn)T的軌跡C的方程?！鼻蠼膺@類軌跡問題時(shí)，即使是平常較為優(yōu)秀的學(xué)生也會(huì)因?yàn)槠婊紤]而產(chǎn)生錯(cuò)誤答案，出現(xiàn)以下錯(cuò)誤解題過程：“通過焦半徑公式可以得到假設(shè)T點(diǎn)坐標(biāo)是（x,y），那么從=0可以得出：在△QF1F2中，，因此得出其實(shí)只要學(xué)生認(rèn)真思考，就會(huì)找到正確的解題思路，可以使用代入法先將PF1=a+求出，再假設(shè)T點(diǎn)坐標(biāo)（x,y），最后求出“x2+b2=a2”的軌跡方程。或者采取相關(guān)法，先將|PF1|=a+x設(shè)T點(diǎn)坐標(biāo)（x,y）求出，最后求出正確答案。

二、“軌跡問題”的有效教學(xué)方法

在高中數(shù)學(xué)“軌跡問題”學(xué)習(xí)中學(xué)生存在的問題和困難固然有知識(shí)本身抽象屬性的原因，也有學(xué)生自身學(xué)習(xí)能力的原因，但筆者認(rèn)為，要想讓高中生學(xué)好高中數(shù)學(xué)“軌跡問題”，掌握到正確且高效的學(xué)習(xí)方法，最重要的還需要教育者改變教育觀念，創(chuàng)新教學(xué)模式。波利來曾經(jīng)指出：無論學(xué)生學(xué)習(xí)什么知識(shí)，只有一條最佳途徑，那就是自己發(fā)現(xiàn)。這種發(fā)現(xiàn)會(huì)產(chǎn)生最深刻的理解，也能夠讓學(xué)習(xí)者很快掌握到知識(shí)的本質(zhì)、規(guī)律和內(nèi)在聯(lián)系。故為了可以讓高中生更快、更好、更自然地突破在“軌跡問題”學(xué)習(xí)過程中的瓶頸，就要讓他們參與到知識(shí)生成、發(fā)展過程來，成為主動(dòng)構(gòu)建知識(shí)的主體。以下以《圓錐曲線的統(tǒng)一定義》一課為例，對(duì)高中數(shù)學(xué)“軌跡問題”的教學(xué)實(shí)踐與探究。

步驟1：之前和大家一起學(xué)習(xí)了拋物線、雙曲線以及橢圓這些定義，大家是不是可以進(jìn)行簡(jiǎn)單敘述？拋物線、雙曲線和橢圓被統(tǒng)稱圓錐曲線，那么大家是不是可以從之前的知識(shí)回顧中對(duì)圓錐曲線進(jìn)行一下統(tǒng)一定義？拋物線從P點(diǎn)（動(dòng)點(diǎn)）到F點(diǎn)（定點(diǎn)）的距離和到定直線l的距離是相等的，即距離比為1。那么如果這個(gè)比值變?yōu)椴辉俚扔?的一個(gè)常數(shù)時(shí)，P點(diǎn)的軌跡曲線是怎樣的？

【設(shè)計(jì)理念】讓學(xué)生回顧知識(shí)的目的在于鞏固知識(shí)的同時(shí)讓學(xué)生注意到這些定義之間存在的差別，并從中對(duì)“圓錐曲線是不是可以形成統(tǒng)一定義”這個(gè)問題進(jìn)行聯(lián)想、思考和嘗試。

步驟2：自主探究并猜想：“平面內(nèi)到定點(diǎn)F（-3，0）與到一條定直線=3之間距離比為2或者是，動(dòng)點(diǎn)P會(huì)產(chǎn)生怎么樣的軌跡？”

【設(shè)計(jì)理念】以問題探究引導(dǎo)學(xué)生參與，通過對(duì)軌跡圖形的猜想幫助學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。

師：怎樣證明得到的這個(gè)圓形是橢圓？

學(xué)生在教師的提示下發(fā)現(xiàn)了“不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”的圖形特征。

步驟3：猜想：“平面直角坐標(biāo)系里，是不是存在一定直線與定點(diǎn)，能夠讓橢圓=1（a＞b＞0）上任意一點(diǎn)P（x,y）到定直線與定點(diǎn)距離比為一個(gè)定值？”

學(xué)生思考后想到該定點(diǎn)是焦點(diǎn)。老師繼續(xù)問題引導(dǎo)：“如果產(chǎn)生兩個(gè)焦點(diǎn)，其中一個(gè)定點(diǎn)為F2,那么怎么表示|PF2|,它的最大值與最小值分別是什么？”有的學(xué)生列出下式：所以可以得出|PF2|只和點(diǎn)P橫坐標(biāo)x有關(guān)。

【設(shè)計(jì)理念】從曲線概念復(fù)習(xí)入手，讓學(xué)生主動(dòng)參與到知識(shí)建構(gòu)中來，嘗試著對(duì)“統(tǒng)一定義”的正確答案進(jìn)行猜想與論證。通過“問題串”將學(xué)生的思維引向探究的深度，得到定值、定直線這樣的探究結(jié)果，并對(duì)自己的猜想進(jìn)行了合理解釋，最后比較客觀地將橢圓第二定義得出，再與雙曲線定義進(jìn)行類比，輔以練習(xí)題加深知識(shí)理解和知識(shí)應(yīng)用。

整個(gè)教學(xué)過程中所涉及的問題，都是之前學(xué)生比較熟悉的“動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離最值”的問題，學(xué)生很快就找到了處理這類問題一些有效的方法，如化簡(jiǎn)、消元等，并且相對(duì)自然和順利地就通過自主探究得到雙曲線和準(zhǔn)線，掌握了如何通過“化斜為直”數(shù)學(xué)思想方法來解決曲線上某一點(diǎn)與焦點(diǎn)距離的問題。在親歷知識(shí)形成的整個(gè)過程中，學(xué)生體驗(yàn)到了如何將代數(shù)運(yùn)算運(yùn)用于解析幾何中并對(duì)幾何性質(zhì)加以證明的“精髓”所在，為之后如何處理定值與定點(diǎn)問題提供了鮮活直觀的范例，也為后續(xù)學(xué)習(xí)夯實(shí)了基礎(chǔ)，創(chuàng)造了條件。從教學(xué)過程中看，學(xué)生都表現(xiàn)出了較高的參與度，探究過程也相對(duì)順暢自然，不但給學(xué)生提供了運(yùn)用之前所學(xué)內(nèi)容解決新問題的機(jī)會(huì)，也讓他們“如何更好地解決問題”的思想和欲望更加強(qiáng)烈，自主學(xué)習(xí)的熱情和效果顯而易見，“軌跡問題”也不再是“問題”。

如何上好新時(shí)期的一節(jié)數(shù)學(xué)課，需要的是教育者不斷的自我反思和自我調(diào)整，要與教學(xué)規(guī)律更加契合。思考在教學(xué)任務(wù)應(yīng)采取怎樣的方式呈現(xiàn)。學(xué)生參與知識(shí)建構(gòu)的熱情如何激發(fā)？等問題，比單純思考學(xué)生到底掌握了多少基礎(chǔ)知識(shí)更加重要。要讓每個(gè)學(xué)生均有所獲，讓“軌跡問題”成為學(xué)習(xí)快樂的源泉，讓數(shù)學(xué)課堂充滿著活力、魅力、生命力。