辯證法的“運動”論題和“芝諾佯謬”之解決
——與張華夏教授商榷①

陳曉平12

(1.華南師范大學 公共管理學院,廣東 廣州 510006;2.廣東財經(jīng)大學 智能社會與人的發(fā)展研究中心，廣東 廣州 510320)

張華夏教授指出：“黑格爾矛盾辯證法有兩個論題：(1)運動的本質就是矛盾，‘某物之所以運動是因為它在同一個‘此刻’在這里，又不在這里?！?2)存在的本質就是‘某物’與‘他物’的對立統(tǒng)一?！@兩個論題是黑格爾的致命傷。”[1]1對此，筆者持不同觀點。本文僅就第一個辯證論題與張華夏教授進行商榷，并以此為契機，對辯證法及其有關的數(shù)學概念和準則給以較為深入的探討。

一、辯證法的運動論題及張華夏的批評

黑格爾斷言“矛盾是一切運動的本質”。黑格爾在其《邏輯學》中談道：“外在的感性運動本身是矛盾的直接實有。某物之所以運動，不是因為它在這個‘此刻’在這里，在那個‘此刻’在那里，而是因為它在同一個‘此刻’在這里，又不在這里；因為在同一個‘這里’，它在并且不在那同一時刻。”[注]黑格爾：《邏輯學》(下卷)，楊一之譯，商務印書館，2013年版，第66-67頁。參閱英文版，G.W.F.Hegel, The Science of Logic.Cambridge University Press.P382。張華夏正確地指出，楊一之把“某物之所以運動，不是因為它……”錯譯為“某物之所以運動，不僅是因為它……”。這里采納了張華夏教授的翻譯。

對黑格爾這段論述，恩格斯在《反杜林論》中給以進一步闡述。他說：“當我們把事物看作是靜止而沒有生命的、各自獨立、相互并列或先后相繼的時候，我們在事物中確實碰不到任何矛盾。……如果限于這樣的考察范圍，我們用通常的形而上學的思維方式也就行了。但是一當我們從事物的運動、變化、生命和相互作用方面去考察事物時，情形就完全不同了。在這里我們立刻陷入了矛盾。運動本身就是矛盾；甚至簡單的位移之所以能夠實現(xiàn)，也只是因為物體在同一瞬間既在一個地方又在另一個地方，既在同一個地方又不在同一個地方，這種矛盾的連續(xù)產(chǎn)生和同時解決正好就是運動?！盵2]160

對于黑格爾和恩格斯關于運動的辯證觀點，張華夏教授在其文章中提出質問：“同一瞬間既在一個地方(S1)又在另一個地方(S2)，這意味著什么？意味著運動是不需要時間的”，緊接著，他用如下公式來說明“不需要時間的”運動速度：

張華夏教授評論說：“這公式表明，運動的速度有多大？無限大？這無論在數(shù)學上還是力學上都是無意義的和不可能的。可惜黑格爾的哲學繼承者們并不了解數(shù)學哲學的點的抽象(歐幾里得提出，公元前300年)、極限論(如柯西1821年出版的《分析教程》中論證的)與實數(shù)連續(xù)統(tǒng)(德國數(shù)學家魏爾斯特拉斯，于1860創(chuàng)立的理論)是什么意思，與這個問題有什么關系，第二次數(shù)學危機是怎樣獲得解決？而認為可以用矛盾論來解決?！盵1]2

張華夏教授在引用黑格爾那段話之后強調：“這里我們特別要注意，黑格爾談的‘此刻’用的是英文的‘now’或‘instant’，是沒有片刻的‘時點’；而here，there，是歐幾里得幾何學中只有位置沒有長寬高的‘地點’或位置?！盵1]1

總之，張華夏教授試圖借助于現(xiàn)代數(shù)學把黑格爾和恩格斯關于運動的辯證法論題徹底否定。然而，在筆者看來，張華夏教授的論證是缺乏說服力的；恰恰相反，從現(xiàn)代數(shù)學的角度看，辯證法的運動論題在實質上是可以成立的，盡管在表述上可以改進。

二、對辯證法的運動論題給以初步辯護

張華夏教授對辯證法運動論題的批評雖然富有啟發(fā)性，但卻難以令人信服。首先，黑格爾和恩格斯所說的“此刻”和“這里”肯定不是歐幾里得所謂“沒有長寬高的點”，不是因為他們不懂得，而是因為他們故意不用。在他們的辯證法學說中，歐幾里得幾何這類初等數(shù)學如同形式邏輯屬于形而上學的思維方式，常常成為他們批評的對象；他們所推崇的是微積分這類高等數(shù)學，只有此類高等數(shù)學才能體現(xiàn)辯證法的思維方式。盡管筆者不同意黑格爾和恩格斯對形式邏輯的過分貶低，但對他們揭示高等數(shù)學的辯證法特征表示贊同。恩格斯談道：

“因為辯證法突破了形式邏輯的狹隘界限，所以它包含著更廣的世界觀萌芽。在數(shù)學中也存在著同樣的關系。初等數(shù)學，即常數(shù)數(shù)學，是在形式邏輯的范圍內活動的，至少總的說來是這樣；而變數(shù)的數(shù)學——其中最重要的部分是微積分——本質上不外是辯證法在數(shù)學方面的運用。[2]132

在恩格斯看來，把“此刻”“這里”看作沒有長度或體積的點，相當于用常數(shù)0來刻畫它們，那是抽象的存在，屬于形而上學。與之不同，辯證法則是把時間和空間上的點當作具體的存在，它們不是常數(shù)0，而是作為變數(shù)的無窮小。無窮小是微積分的關鍵概念，“本質上不外是辯證法在數(shù)學方面的運用”?？梢姡瑥埲A夏把黑格爾和恩格斯所說的“時刻”和“地點”看作沒有長度或體積的歐幾里得點，肯定是一種錯位或誤解。

其次，既然黑格爾特別是恩格斯是從微積分的角度考慮運動之本質的，那么對他們的批評也應當立足于微積分。然而，從微積分得不出“運動不需要時間”的結論，即張華夏所質疑的那個分母為0的公式不是微積分所能推導出來的。這意味著，張華夏教授對辯證法運動論題的批評缺乏根據(jù)，甚至有強加之嫌。

我們知道，微積分所說的瞬時速度是距離(位移)對時間的導數(shù)dy/dx，其分母和分子都是無窮小而不是0。具體地說，分母dx代表瞬時(時間的微分)，它是大于0的無窮??；分子dy(或df(x))即位移的微分，代表瞬時所走過的距離，也是大于0的無窮小。在微積分的語境中，“同一時刻”就是同一無窮小的時間間隔，“同一地點”就是同一無窮小的空間間隔，并且無窮小不是一個常數(shù)，而是一個以0為極限的變數(shù)。這樣，辯證法關于運動的論題——“運動是在同一瞬間既在一個地點又不在一個地點”——便不是不可理解的，既然這里的“瞬間”和“地點”都不是常數(shù)而是變數(shù)。

為什么說無窮小是一個變數(shù)而不是常數(shù)？我們知道，常數(shù)不外乎兩類即0和非0，而無窮小不屬于其中任何一類。無窮小不等于0，否則無窮小不能作除數(shù)，而在微積分的運算中無窮小dx是可以作除數(shù)的。無窮小不是非0的任何一個常數(shù)，因為只要給出任何一個非0的常數(shù)，無窮小都比它的絕對值要小，這正是無窮小的定義。這意味著，如果把無窮小作為一個常數(shù)，那么它是違反形式邏輯的排中律的，即它既不是0也不是非0；相應地，它也是違反矛盾律的，即無窮小既是0又是非0。為了不違反形式邏輯，無窮小只能是一個變數(shù)，這個變數(shù)在數(shù)軸上所對應的不是一個點，而是一個間距為無窮小的變化區(qū)間。

19世紀法國數(shù)學家柯西(A.Cauchy,1789-1857)給出“無窮小”的比較精確的定義，其定義的本質就是把無窮小量表述為一個變量x而不是常數(shù)，其變化區(qū)間是：0<│x│<δ，δ是一個任意小的正數(shù)?？挛髟谄洹斗治鼋坛獭分兄赋觯骸爱斖蛔兞恐鸫嗡〉慕^對值無限減小，以致比任何給定的數(shù)還要小，這個變量就是所謂的無限小或無限小量，這樣的變量將以0為極限?！盵3]195柯西明確地把無窮小看作一個變量，0是無窮小的極限而不是無窮小本身。

關于極限，柯西給出這樣的定義：“當同一變量逐次所取的值無限趨向于一個固定的值，最終使它的值與該定值的差要多小就多小，那么最后這個值就稱為所有其他值的極限?！盵3]195在這里，“它的值與該定值的差要多小就多小”是指無窮小，無窮小是一個變數(shù)；那個被趨近的“定值”就是極限，極限是一個常數(shù)。柯西的極限概念奠定了微積分的理論基礎，一直沿用至今。本文將表明，把極限僅僅局限于常數(shù)，是導致多種數(shù)學困境的根源，也是使“柯西極限存在準則”不被作為公理而需進一步“證明”的原因。

關于運動問題，如果把任意小區(qū)間0<│x│<δ中的x作為瞬時，那么相應的位移函數(shù)f(x)就處于一個無窮小的空間，即0<│f(x)│<ε，ε也是一個任意小的正數(shù)。據(jù)此，我們可以說，位移運動的物體在同一時刻既在一點又不在一點，因為這里的“時刻”和“地點”都是無窮小的變量，而不是常量。進而言之，微積分中表示“瞬時速度”的導數(shù)dy/dx(即df(x)/dx)，一般是一個不為0的數(shù)，這意味著運動是在瞬時走過一段不為0的距離；在此意義上可以說，其起點和終點不在同一個地方。這便初步支持了辯證法的運動論題，即：運動在同一時刻既在一個地點又不在一個地點。

為什么把以上論證說成是“初步”的辯護呢？因為它所為之辯護的運動論題在表述上還比較粗糙，甚至看上去是違反形式邏輯的。本文將試圖改進辯證法的運動論題，消除其違反形式邏輯的表達方式。

正如高等數(shù)學與初等數(shù)學的關系，辯證法不是對形式邏輯的否定，而是對形式邏輯的超越；辯證法絕不違反形式邏輯，但它不限于形式邏輯。然而，黑格爾甚至恩格斯常常把形式邏輯看作辯證法的對立面而加以批評，這是嚴重失當?shù)摹Ｕ驗榇?，他們關于辯證法的論述存在不少牽強附會的地方。張華夏教授對他們的辯證法論題的批評并非完全沒有道理，但是走過頭了，走到用形式邏輯來否定辯證法的另一個極端。筆者則試圖行走一條“中庸之道”，保留辯證法論題的精神實質，但改變其違反形式邏輯的表述方式。

三、關于有理數(shù)和無理數(shù)的哲學問題：實無限與潛無限

其實，關于運動的哲學問題早在古希臘就以“芝諾佯謬”的方式被提出。雖然借助于辯證法的運動論題可以在一定程度解決“芝諾佯謬”，但是，以違反形式邏輯的方式來解決“芝諾佯謬”是難以令人滿意的。筆者認為，“芝諾佯謬”的癥結在于對空間和時間“無限可分”和連續(xù)性的錯誤理解，而這種錯誤理解在數(shù)學中也是根深蒂固的，體現(xiàn)在對實數(shù)連續(xù)性的闡述上，其中涉及有理數(shù)和無理數(shù)、實無限和潛無限等重要概念。因此，澄清這些概念對于芝諾佯謬的恰當解決以及對辯證法運動論題的深入理解，都是至關重要的。

無理數(shù)是相對于有理數(shù)而言的。有理數(shù)被定義為一個整數(shù)a和一個正整數(shù)b的比，即a/b。之所以要求分母b是正整數(shù)，是要以b為比較的標準，即衡量單位的集合；要求分子a為整數(shù)，是要它可與b中的a個單位相重合，從而成為可度量的。可見，有理數(shù)的根本特征就是可度量性；可度量性反映在數(shù)軸上就是：每一個有理數(shù)對應一個確定的點。

與之不同，無理數(shù)不能表達為整數(shù)比a/b，因而不具有可度量性。其不確定性的另一種表現(xiàn)是：若將它寫成小數(shù)形式，小數(shù)點之后的數(shù)字有無限多個，并且是不循環(huán)的，即無限不循環(huán)小數(shù)。顯然，無限不循環(huán)小數(shù)在數(shù)軸上沒有一個確定的點與之對應，只有一個無窮小的區(qū)間與之對應。這是無理數(shù)在數(shù)軸上不同于有理數(shù)的地方。

在教科書中，有理數(shù)又可分為有限數(shù)(整數(shù)和有限小數(shù))和無限循環(huán)小數(shù)。每一個無限循環(huán)小數(shù)對應于一個常數(shù)(整數(shù)比)，如0.3333……對應于1/3；每一個有限數(shù)(0除外)對應于一個以9為循環(huán)節(jié)的無限循環(huán)小數(shù)，如2.5對應于2.4999……，1對應于0.9999……；加之規(guī)定0表示為0.000……，這樣，作為整數(shù)比的有理數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)之間具有一一對應的關系。再把作為無限不循環(huán)小數(shù)的無理數(shù)考慮在內，便可說：“任何實數(shù)都可用一個確定的無限小數(shù)來表示?！盵4]1不過，在筆者看來，這個說法是有問題的，現(xiàn)分析如下。

無限循環(huán)小數(shù)是趨近于某個整數(shù)比(整數(shù)是分母為1的整數(shù)比)的無窮過程，那個整數(shù)比是該無窮循環(huán)小數(shù)的極限；或者說，每一個整數(shù)比都是一個極限，它被一個無窮循環(huán)小數(shù)所趨近。需強調，無限趨近的過程是無休止的，而極限則是一個確定的常數(shù)即整數(shù)比，因此二者之間并不相等，只是具有某種對應的關系。

然而，通常教科書把無限循環(huán)小數(shù)和它所對應的整數(shù)比看作相等的，[4]1-2如0.3333……=1/3。如果說這個等式的不恰當性還比較隱蔽，那么，該等式兩邊同乘以3而得到0.9999……=1，則是明顯不妥的。正確的表達式應是：0.9999……=1―δ(δ→0)。相應地，前一等式應該改為：0.3333……=1/3―δ(δ→0)。在這里，δ是一個變數(shù)即無窮小，無窮小以0為極限，但不等于0。相應地，無限循環(huán)小數(shù)也是一個變數(shù)，如，0.9999……是以1為極限的變數(shù)而不等于1。同樣地，0.3333……是以1/3為極限的變數(shù)而不等于1/3。人們常常把二者混同起來，其原因可以歸結為對無窮小的特征——即趨于0而不等于0——認識得還不夠充分，這里涉及潛無限和實無限的問題。

在哲學上，實無限和潛無限是有嚴格區(qū)分的。一般來說，實無限是完成了的無限，而潛無限是未完成的無限，即一個永無休止的無限過程。如中國老話所說：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”(《莊子·天下》)其中“日取其半，萬世不竭”就是一種潛無限，而這一潛無限的分割過程卻是在“一尺之棰”中進行的，這一尺之棰就是實無限。需強調，實無限是相對于潛無限而言的，離開潛無限，實無限也就不存在了，只不過是單純的有限而已。如，如果離開“日取其半，萬世不竭”的潛無限，一尺之棰只有一段有限的長度，而不是實無限。

類似地，無限趨于某一極限的過程如0.9999……是潛無限，而它所趨近的那個極限1是實無限。如果離開0.9999……的潛無限，1僅僅是一個確定的有限數(shù)而不是實無限。一般地說，一個整數(shù)比在數(shù)軸上是一個確定的點，因而是有限；但當它作為某一無限趨近(潛無限)的極限的時候，它則成為一個實無限。實無限是潛無限和有限的對立統(tǒng)一。

實無限是一個辯證法的概念。一方面，實無限不能離開潛無限而孤立地存在，一旦孤立地存在便蛻化為單純的有限。另一方面，實無限不等于潛無限，因為實無限具有有限性和確定性，而潛無限只是單純的無限過程，不具有有限性和確定性。需要指出，由于數(shù)學家們對于辯證法概念掌握得不太好，這使他們把作為潛無限的0.9999……和0.3333……分別等同于它們各自的極限1和1/3，而把中間的差值即無窮小作為0而忽略掉了。為了更明顯地揭示這一錯誤，我們對一個“證明”——證明無限循環(huán)小數(shù)等于一個整數(shù)比——進行分析。

求證：0.323232……(即以32為循環(huán)節(jié)的無限循環(huán)小數(shù))為一整數(shù)比。

證明：

設：x=0.323232……=0.32+0.0032+0.000032+……

①

兩邊都乘以100得

100x=32+0.32+0.0032+0.000032+……

②

②―①得

100x―x=32，故99x=32，x=32/99

所以，0.323232……=32/99。證畢。

此證明的錯誤在于，由②―①得出100x―x=32。而正確的結果應是：

100x―x=32―δ (δ→0)

③

這是因為②和①的右邊都是無限的相加過程，這使②―①所得的右邊是一個無限的相減過程。在有限的情況下，由②―①得出：

100x―x=32―0.00……0032

其中0.00……0032是①右邊的最后一個加項，為一有限數(shù)(小數(shù)點后的0為有限個)。在無限循環(huán)的情況下(即小數(shù)點后邊的0趨于無限多個)，此加項趨于無窮小，故而得出③。不難看出，以上“證明”之所以由②―①得出100x―x=32，就在于把③中等號右邊“32―δ(δ→0)”中的無窮小δ作為0而忽略掉了；這相當于把潛無限等同于實無限，這是一種概念上的混淆。

為了加以比較，我們不妨以正確的方式證明：0.9999……=1―δ(δ→0)。

設：x=0.999=0.9+0.09+0.009

①

兩邊都乘以10得

10x=9+0.9+0.09

②

②―①得

10x―x=9―0.009，故9x=9―0.009

所以，x=1―0.009/9

③

現(xiàn)把假設由x=0.999改為：x=0.999……，即把有限小數(shù)改為無限循環(huán)小數(shù)，相應地，③右邊的0.009/9變?yōu)?.0…09/9(分子的小數(shù)點后的0有無限多個)，從而③變?yōu)椋?/p>

x=1―0.0…09/9=1―δ (δ→0)

所以，0.999……=1―δ (δ→0)。證畢。

如果說0.323232……=32/99或0.333……=1/3的錯誤還不太明顯，那么，0.999……=1的錯誤便昭然若揭了。為什么會有這樣的差別？那是因為一個整數(shù)比如1/3具有雙重性，它既是數(shù)軸上一個確定的點，又是一個無窮的計算過程即1÷3；這個無窮計算過程的結果就是無限循環(huán)小數(shù)0.333……，因而用等號將二者連接起來有一定的合理性，但卻忽略了1/3的確定性和有限性與0.333……的不確定性和無限性之間的差異。1/3作為數(shù)軸上的一個確定點只是0.333……無窮過程的極限，而不是0.333……本身。與之對照，由于1只是一個有限數(shù)而不是一個無窮的計算過程，因而只具有有限性這一方面，而沒有潛無限之另一方面，這便使0.999……=1的不妥之處暴露出來?？傊?，從理論上講，0.333……=1/3正如0.999……=1都是不妥的，其錯誤的根源就是把一個無限趨近的過程等同于其極限，把潛無限等同于實無限。

既然無限循環(huán)小數(shù)不等于任何整數(shù)比a/b，而只是以某個整數(shù)比為其極限，那么整數(shù)比也就不能作為有理數(shù)的定義，而只是有理數(shù)的一部分，另一部分是無限循環(huán)小數(shù)。如果我們還要把有理數(shù)作為有限數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)的并集，那么有限數(shù)的定義需要作相應的改變，即把有限數(shù)定義為整數(shù)比a/b，而整數(shù)和有限小數(shù)(即原來的有限數(shù))只是它的子集。在此意義下，有限數(shù)的含義是它可精確地對應于數(shù)軸上的一個點，而不是以數(shù)軸上的一個點為其極限。相應地，有理數(shù)的含義是：它可精確地對應于數(shù)軸上的一個點，或者以數(shù)軸上的一個點為其極限。顯然，無限不循環(huán)小數(shù)不滿足這個定義。這樣，雖然“有理數(shù)”和“無理數(shù)”在外延上與教科書仍然保持一致，但其內涵已經(jīng)發(fā)生一定的變化。

也許有人會對此結論提出質疑：數(shù)學是以精確性而著稱的，如果教科書和數(shù)學家們混淆了潛無限和實無限，為什么在人們的實踐活動中沒有導致明顯的不良后果？對此，筆者的回答是：這涉及理論和實踐的關系問題；正如數(shù)學史上關于數(shù)學基礎的三次危機并未明顯地影響應用數(shù)學的發(fā)展。無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)導致第一次數(shù)學危機，貝克萊悖論導致第二次數(shù)學危機，羅素悖論導致第三次數(shù)學危機；其實這三次數(shù)學危機都涉及同一個哲學問題，那就是潛無限和實無限的關系問題。接下來，我們從理論和實踐的關系上對此問題做進一步討論。

四、理論的不確定性和現(xiàn)實的確定性之對立統(tǒng)一

從理論上講，任何現(xiàn)實的測度都只是近似地準確，因而具有一定的不確定性。不過，當現(xiàn)實測度的近似性程度達到很高的時候，便在現(xiàn)實中把它看作精確的和確定的。這就是理論的不確定性和現(xiàn)實的確定性之對立統(tǒng)一。這種對立統(tǒng)一的重要性在于：現(xiàn)實通過對理論的變通而具有可行性，理論給現(xiàn)實以指導，使其精確性不斷提高。理論的不確定性和現(xiàn)實的確定性之對立統(tǒng)一，屬于辯證法的范疇，它是理論與實際相互促進和相互結合的哲學基礎，對于解決“數(shù)學危機”問題是至關重要的。三次數(shù)學危機涉及無理數(shù)、微積分和無窮集合等概念，下面我們著重討論前兩者。

設y=x2,其導數(shù)為dy/dx，即dx2/dx，它表示當x增量Δx趨于0時增量比Δy/Δx的極限。函數(shù)的增量Δy=(x+Δx)2-x2=2xΔx+(Δx)2,兩邊同除以Δx便是所要的增量比即：Δy/Δx=2x+Δx。導數(shù)就是這個增量比當Δx趨于0時的極限，記為：

請注意，導數(shù)dy/dx中的dx是一無窮小而不是0，否則不能作除數(shù)。dx也就是當Δx→0時的Δx，因而此公式中的Δx也是一個無窮小而不是0。然而，此公式得出dy/dx=2x，顯然是把公式中最后一個Δx作為0來對待的。這便使求導過程出現(xiàn)邏輯矛盾，即當Δx→0時，Δx既是0又不是0；更一般地說，無窮小既是0又不是0。

這個矛盾也被稱為“貝克萊悖論”，因為它是由18世紀英國哲學家貝克萊(George Berkeley，1685-1753)首先提出的。當時微積分剛被牛頓提出不久，其論證不太嚴密，這使貝克萊十分不滿。貝克萊指責牛頓說：“我所非議的不是您的結論，而是您的邏輯和方法……這些消失的量是什么呢？它們既不是有限，也不是無限小，又不是零，難道我們不能稱它們?yōu)橄Я康墓砘陠?？”[3]189-190

應該說，貝克萊對牛頓微積分理論的批評是中肯的。一方面，貝克萊指出其中的矛盾之處；另一方面，他沒有否定該理論在實際應用上的正確性。如何在保留微積分的同時而消除“貝克萊悖論”呢？現(xiàn)在一般認為，數(shù)學家們經(jīng)過近兩百年的努力，“直到19世紀柯西才真正用極限的概念把它基本說清楚，而魏爾斯特拉斯最終用ε-δ的語言，徹底解決了這個困難，從而推動了近代分析的蓬勃發(fā)展?！盵5]30然而，在筆者看來，用ε-δ語言表達的極限概念雖然對“貝克萊悖論”的解決有所促進，但說“徹底解決”有些言過其實。為說明這一點，我們把教科書中關于函數(shù)極限的ε-δ定義抄錄如下：[注]同濟大學數(shù)學教研室：《高等數(shù)學》上冊(第四版)，高等教育出版社1996年版，第44頁。鄧東皋，尹小玲：《數(shù)學分析簡明教程》第52頁的表述是一樣的，只是把“去心鄰域”表示為“除x0點外”。華東師范大學數(shù)學系：《數(shù)學分析》上冊(第三版)第44頁的表述也是相同的，只是把“去心鄰域”表示為“空心鄰域”。

設函數(shù)f(x)在點x0的某一去心鄰域內有定義，如果對于任意給定的正數(shù)ε(不論它多么小)，總存在正數(shù)δ，使得對于適合不等式0<│x―x0│<δ的一切x，對應的函數(shù)值f(x)都滿足不等式│f(x)―A│<ε，那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當x→x0時的極限，記作

limx→x0f(x)=A 或 f(x)→A(當x→x0)

在以上定義中，有三點需要特別注意。其一，函數(shù)的極限是常數(shù)而不是變數(shù)。其二，對于“去心鄰域”這個概念，該教材加以解釋：“定義中0<│x―x0│表示x≠x0，所以x→x0時f(x)有沒有極限，與f(x)在x0是否有定義并無關系?！盵6]44例如，對于f(x)=1/x這一函數(shù)，盡管在x=0處沒有定義，但并不妨礙我們求得f(x)在0點的極限，即：

其三，該極限定義給出兩種極限表達式，用“或”表示對二者可以自由選用，意味著二者是完全等價的。然而，需要指出，這是對實無限和潛無限的混淆?！盎颉钡淖筮吺顷P于實無限的，把極限等同于一個常數(shù)A；“或”的右邊是關于潛無限的，它表示極限A所對應的無限趨近的過程，而不表示A本身。

正如我們在前邊指出的，潛無限和實無限是不相等的。這種混淆的不良后果在函數(shù)f(x)=1/x上充分顯示出來，即當x→0時，∞作為一個常數(shù)出現(xiàn)在等號的右邊。然而，“無窮大(∞)不是數(shù)?！盵6]53因此，“當x→0(x→∞)時為無窮大的函數(shù)f(x)，按函數(shù)極限定義來說，極限是不存在的。但為了便于敘述函數(shù)的這一性態(tài)，我們也說‘函數(shù)的極限是無窮大’?！盵6]53這樣一來，“貝克萊悖論”便以另一種形式出現(xiàn)了，即“無窮大既是數(shù)又不是數(shù)”，它不過是“無窮小既是0又不是0”的變形?？梢?，極限的ε-δ定義并沒有把貝克萊悖論“徹底解決”。

請注意以上引文中的這句話：“按函數(shù)極限定義來說，極限是不存在的?！边@意味著，嚴格地說，存在無極限的收斂，盡管無收斂的極限是不存在的；換言之，收斂和極限是不對稱的。對于函數(shù)f(x)=1/x來說，當x→0時就是無極限的收斂；在幾何圖形表現(xiàn)為這樣的曲線，它與數(shù)軸的y軸和x軸形成漸近線，無限地延伸下去但永不相交。如果說有極限的收斂是可望而不可及的，那么無極限的收斂就是不可望而不可及的。

進而言之，如果說，函數(shù)f(x)=1/x當x→0時的極限只是一種特例，那么，在極限的ε-δ定義中引入“去心鄰域”卻是普遍地不恰當?shù)模瑹o論x→x0時的x0是什么。因為x無限趨近x0即x→x0是潛無限，而作為其目標中心的極限x0是實無限，二者本來就是不相等的，即使不“去心”也是達不到的；因此“去心鄰域”的引入不僅是“畫蛇添足”，而且引起歧義。

具體地說，該定義引入“去心鄰域”，言外之意，如果不把鄰域的中心去掉，無限趨近的過程是可以達到其極限的。顯然，這是對潛無限和實無限的混淆。其結果是：既然定義中只對自變量x向x0的趨近規(guī)定了“去心鄰域”，而沒有對函數(shù)f(x)向其極限A的趨近規(guī)定“去心鄰域”，因此f(x)與A可以用“=”聯(lián)結起來，即limx→x0f(x)=A。這里存在邏輯矛盾，即無限趨近的過程既可達到其極限而又不可達到其極限，這便為“貝克萊悖論”埋下伏筆。

貝克萊對牛頓的微積分理論提出批評，并非針對其結論而是針對其邏輯性的；同樣地，我們以上對ε-δ極限定義的批評并非要否定limx→x0f(x)=A這個公式，而是要指出其表述上的邏輯不協(xié)調性。為了從根本上消除“貝克萊悖論”，我們需要借助辯證法的原理，即理論的不確定性和現(xiàn)實的確定性之對立統(tǒng)一。現(xiàn)在我們首先消除貝克萊指出的求導過程中的邏輯矛盾，然后對ε-δ極限定義加以改進。

還以前邊曾討論過的函數(shù)f(x)=x2的求導過程為例。推導過程的最后一步是

從理論上講，當Δx→0時，Δx始終不是0，直到上面最后一步中Δx的最后一次出現(xiàn)；只是出于現(xiàn)實可測度性和確定性的考慮，我們把這最后一步中的無窮小Δx忽略掉了盡管它不是0。這里沒有“無窮小既是0又不是0”的邏輯矛盾，只有把無窮小忽略不計的現(xiàn)實策略；這樣，“貝克萊悖論”便不復存在了。

推而廣之，ε-δ定義給出極限的兩種不同表達，其中“f(x)→A(當x→x0)”表示極限的潛無限方面，“l(fā)imx→x0f(x)=A”表示極限的實無限方面。換言之，前者表示趨向極限的無休止的過程，具有理論的不確定性；后者表示此過程所對應的確定目標即極限，具有現(xiàn)實的確定性。這兩種表達式并不相等，但卻是互補的；因此，這里沒有把潛無限等同于實無限的邏輯矛盾。具體地說，在計算過程中，只取極限的潛無限方面，即“f(x)→A(當x→x0)”，這使無窮小可以做除數(shù)，以滿足數(shù)學理論的嚴格要求；一旦無窮小不再出現(xiàn)在除數(shù)中，便取極限的實無限方面，即“l(fā)imx→x0f(x)=A”，以滿足現(xiàn)實的確定性要求。這是理論的不確定性和現(xiàn)實的確定性之對立統(tǒng)一，而不是邏輯矛盾。

然而，這兩種表達式在極限的ε-δ定義都出現(xiàn)，用“或”字表示可以自由選用，二者是完全等價的，這便蘊涵邏輯矛盾。與之不同，在上面的闡釋中，這兩種表達之間的關系不是形式邏輯的簡單同一性，而是辯證法的對立統(tǒng)一性，即理論的不確定性和現(xiàn)實確定性的對立統(tǒng)一。這樣，“貝克萊悖論”及其各種變形便得以消除。

此外還需強調，在我們的表述中，x→x0只表示x趨近于x0而永遠不等于x0，它和x0之間是潛無限和實無限的關系，因此無需引入“去心鄰域”這一概念。相應地，函數(shù)f(x)=1/x當x→x0時只是趨近于∞而永遠不等于∞。這是理論的不確定性，但是，出于現(xiàn)實確定性的考慮，我們可以把“無限收斂”也看作一種特殊的極限。對于f(x)=1/x來說，其幾何意義是指曲線與數(shù)軸無限靠近，當其靠近的差距小到現(xiàn)實中可以忽略的地步，我們便可認為二者是重合的。一般而言，函數(shù)f(x)當x→x0時收斂到無窮小的區(qū)域，從現(xiàn)實確定性的角度，可以把這無窮小區(qū)域看作此函數(shù)當x→x0時的極限。

這意味著，從現(xiàn)實的確定性和可行性的角度出發(fā)，函數(shù)的極限不局限于常數(shù)，也可以是無窮小或無窮大這樣的變數(shù)。這樣處理有兩個顯著的優(yōu)點：其一是，∞一旦出現(xiàn)在極限等式的右邊也可順理成章地看作一個數(shù)；另一是，無理數(shù)作為收斂于無窮小區(qū)間的變數(shù)也可以作為極限。這后一點對于下一節(jié)關于“極限存在準則”的討論尤為重要。

綜上所述，微積分比起初等數(shù)學的高明之處就在于超越單純形式邏輯的思考，而進入理論嚴格性與現(xiàn)實可行性之間的變通，從而把潛無限和實無限統(tǒng)一起來而不是等同起來。在此意義上，正如恩格斯所說，微積分的確含有辯證法的因素，“本質上不外是辯證法在數(shù)學方面的運用”。辯證法不是對形式邏輯的否定，而是對形式邏輯的超越。正因為此，在微積分理論中并不包含也不允許出現(xiàn)邏輯矛盾。

五、關于柯西定義和戴德金分劃

前述表明，極限的ε-δ定義引入“去心鄰域”，從理論嚴格性上講是多余的。不過，從現(xiàn)實可行性上講，這一概念倒是給人一種啟示，即一個變量無限趨近的目標之性質并非單一的，可以是實的，也可以是空的。但是，事實上現(xiàn)行教科書卻把無限趨近的極限只看作實的，即看作一個點即常數(shù)，因為任何極限值都在實數(shù)的范圍內，“任一實數(shù)都對應數(shù)軸上唯一的一點；反之，數(shù)軸上的每一點也都唯一地代表一個實數(shù)。于是，實數(shù)集R與數(shù)軸上的點有著一一對應關系?！盵4]3現(xiàn)在看來，這種說法有先入為主的成分。既然極限可以是“空的”，為什么這“空隙”一定是點而不是無窮小的區(qū)間，一定是常數(shù)而不是變數(shù)？

從上面的分析中我們看到，無理數(shù)的特征就是不可測度，它在數(shù)軸上不是一個確定的點，而是一個無窮小的區(qū)間?？紤]到無理數(shù)也可作為極限，我們有必要把極限的范圍從點擴展到無窮小區(qū)間，從常數(shù)擴展到變數(shù)。相反，把極限的范圍局限于點或常數(shù)，把實數(shù)和數(shù)軸之間的關系看作數(shù)與點的一一對應，這實際上是用有理數(shù)的觀念來看待無理數(shù)。其結果是使貝克萊悖論不可能被“徹底解決”，并使微積分理論至今仍然存在一些含混不清甚至自相矛盾的說法，包括著名的“柯西極限存在準則”和“戴德金連續(xù)性準則”。

柯西曾把無理數(shù)定義為：無理數(shù)是有理數(shù)序列的極限。這個說法雖然極富啟發(fā)性，但在他的理論中是難以自圓其說的；因為無理數(shù)作為無限不循環(huán)小數(shù)是不可度量的，并不對應某個確定的點或常數(shù)，而柯西所說的“極限”卻只限于點或常數(shù)。柯西關于無理數(shù)的這一定義蘊涵于“柯西極限存在準則”(也叫做“柯西收斂準則”)之中，此準則表述如下：[4]38

數(shù)列{an}收斂的充要條件是：對任給的ε>0，存在正整數(shù)N，使得當n，m>N時有：│an―am│<ε。

柯西極限存在準則的條件稱為“柯西條件”，其直觀意義是：收斂數(shù)列{an}各項的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分靠后的任何兩項an和am之差的絕對值小于預先給定的任意小正數(shù)ε；其在數(shù)軸上的表現(xiàn)是，收斂數(shù)列的各項越到后面越是擁擠在一起。

顯然，無理數(shù)作為有理數(shù)的無窮序列是滿足柯西條件的，因為隨著小數(shù)位數(shù)的增加，越往后兩個數(shù)之間的差距就越小。根據(jù)此準則，一個無理數(shù)所對應的有理數(shù)序列是收斂的，收斂意味著有極限，那個極限就是該無理數(shù)。在此意義上，我們可以把無理數(shù)定義為“有理數(shù)序列的極限”。但是，柯西卻額外地增加了一層意思，那就是：序列(或函數(shù))有極限則意味著收斂于某一常數(shù)或數(shù)軸上的某一點，相應地，無理數(shù)是一常數(shù)并對應于數(shù)軸上的一個確定的點。

請注意，與通常的ε―N數(shù)列極限定義相比，[注]數(shù)列的ε―N極限定義是：若對任給的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得當n>N時有│an―a│<ε,則稱數(shù)列{an}收斂于a，定數(shù)a稱為數(shù)列{an}的極限。(參閱華東師范大學數(shù)學系：《數(shù)學分析》上冊，第23頁)柯西極限存在準則有著實質性的區(qū)別，即把關于an與a充分靠近的關系換成了an與am充分靠近的關系。這就是說，前者借助于數(shù)列以外的數(shù)a即那個極限，而后者只需根據(jù)數(shù)列本身的特征，即充分靠后的任何兩項an和am之間的差距；前者是用數(shù)列“有極限”來定義數(shù)列“收斂”，而后者是用數(shù)列“收斂”來定義數(shù)列“有極限”。

從數(shù)軸上看，前者是從a的鄰域向其中心點即極限a的靠攏來定義數(shù)列的收斂，后者是從數(shù)列各項的靠攏來定義數(shù)列收斂并有極限。顯然，后者比前者斷定的東西要少而前者斷定的東西較多，其差別在于是否把收斂的極限定義為某個常數(shù)?？挛髟噲D從后者直達前者，即從滿足柯西條件的序列收斂于某一極限的斷言直達關于此極限是一常數(shù)的斷言，這便需要給以證明。對此，柯西本人并未給出令人信服的論證，于是，對“柯西極限存在準則”的證明成為其他數(shù)學家的艱巨任務。

然而，在筆者看來，數(shù)學家們對柯西極限存在準則的證明是誤入歧途的。如果把數(shù)列收斂的極限不限于常數(shù)或數(shù)軸上的一個點，也可以是一變數(shù)，其變域是數(shù)軸上的一個無窮小區(qū)間，那么柯西極限存在準則是非常直觀的，不需要加以進一步的證明，而且ε―N數(shù)列極限定義可以作為特例從柯西極限存在準則推導出來。令人遺憾的是，由于數(shù)學家們在這個問題上鉆了牛角尖，認定極限只能是常數(shù)或數(shù)軸上的一個點，那就不得不勉為其難，承擔起證明柯西極限存在準則的重任。

這個任務的難點在于證明可以作為極限的無理數(shù)也是一個常數(shù)。應該說，這個任務是不可能完成的，因為無理數(shù)在其本質上就不是一個常數(shù)或數(shù)軸上的一個點。這便使得數(shù)學家們?yōu)榇怂龅摹白C明”不僅迂回繁瑣，而且難免出現(xiàn)邏輯錯誤。對于柯西極限存在準則，數(shù)學家們給出多種“等價”的證明，其中比較“直觀”的一種是借助于“戴德金分劃”。

戴德金(J.Dedekind，1831—1916)尤其關心實數(shù)的連續(xù)性，這便涉及無理數(shù)的定義問題。其實，戴德金是以直線的連續(xù)性作為實數(shù)連續(xù)性的模型，如果實數(shù)與直線完全重合，那便表明實數(shù)是連續(xù)的。戴德金在其力作《連續(xù)性與無理數(shù)》中寫道：關于實數(shù)的連續(xù)性，“經(jīng)過長期徒勞的思考，我終于發(fā)現(xiàn)它的實質是很平凡的。直線上的一點，把直線分成左右兩部分。連續(xù)性的本質就在于返回去：把直線分割成左右兩部分，必有唯一的分點?！盵5]9

這就是說，把直線分割成兩部分的那個分點存在于實數(shù)中，并且是“唯一的”。這樣，實數(shù)與直線上的分點便是一一對應的，因此，實數(shù)便具有了直線的連續(xù)性。顯然，在戴德金的心目中，包含于實數(shù)中的無理數(shù)也具有唯一性，對應于直線上的一個確定的點?？梢哉f，除了把無理數(shù)看作直線上的一點不夠直觀，把實數(shù)的連續(xù)性掛靠在直線的連續(xù)性上，這是很自然也很直觀的；正如戴德金自己所說，這一思想是“很平凡的”。

以上便給出實數(shù)連續(xù)性的實質，其道理不僅是“平凡的”，而且是直觀的，甚至是不證自明的。然而，數(shù)學家們卻有一個心結，總覺得讓無理數(shù)對應于有理數(shù)之間的“空隙”不太實在，還想讓無理數(shù)對應于數(shù)軸上一個確定的點，這樣便有必要直接地用有理數(shù)來定義無理數(shù)，而不能只用有理數(shù)的反面即“空隙”來定義無理數(shù)。“用有理數(shù)構造新數(shù)的方法很多,如戴德金的分劃說,康托爾的基本列說,區(qū)間套說等等?！盵4]290數(shù)學家們的艱苦努力就在于“用有理數(shù)構造新數(shù)”，所謂“新數(shù)”就是無理數(shù)。

對于“戴德金分劃”，現(xiàn)行教科書還作出這樣的解釋：“數(shù)集無空隙，或更通俗地說：如果將實數(shù)集看作一條直線，并用一把沒有厚度的理想的刀來砍它，那么不論砍在哪里，總要碰著直線上的一點?！盵4]294請注意，戴德金分劃的那個分點是“沒有厚度的”，因而是一個歐幾里得幾何學的點，而不是微積分中的無窮小，是一個常數(shù)而不是一個變數(shù)。用這樣的點構造的實數(shù)使得“數(shù)集無空隙”，從而成為連續(xù)的。

不難看出，這種思維潛伏著一個矛盾，那就是讓微積分理論的核心概念“無窮小”，退回到初等數(shù)學的沒有長、寬、高的歐幾里得點。數(shù)學家們用有理數(shù)的“點”來定義無理數(shù)，這一企圖就預示著這種倒退，無異于緣木求魚、南轅北轍，在大方向上是誤入歧途的。關于“戴德金連續(xù)性準則”，筆者不打算亦步亦趨地分析那些“證明”的各個步驟，而是盡可能直截了當?shù)刂赋銎渲械年P鍵性錯誤。

“戴德金連續(xù)性準則”可以這樣來表述：如果一個有大小順序的稠密的數(shù)系S，對它的任何一個分劃，都有S中唯一的數(shù)存在，它不小于下類中的每個數(shù)，也不大于上類中的每一個數(shù)，那么稱S系是連續(xù)的。[5]9

需加說明，一個戴德金分劃把數(shù)系S分為兩個部分即下類和上類，下類中的每一個數(shù)都小于上類中的每一個數(shù)，并且這兩個類的并集等于S，這就是所謂“不空、不漏、不亂”的戴德金分劃的三個性質。戴德金連續(xù)性準則給出的前提條件是“對S的任何一個分劃，都有S中唯一的數(shù)存在”，由于下類和上類合起來是“不漏”的，因此，這個作為分點并且存在于S中的數(shù)要么是下類的上端，要么是上類的下端，而不會漏在下類和上類之間的空隙之中。這也就是說，對S的任何分劃的分點都不會落在S的外邊，所以，S是沒有空隙的，因而是連續(xù)的。

這里的問題是：對S的任何分點都不會落在S的外邊就一定表明S是連續(xù)的嗎？為了給出肯定的回答，必須假定S的所有分點的集合是連續(xù)的。那么，問題轉變?yōu)椋喝绾伪砻鳌癝的所有分點的集合是連續(xù)的”？回答只能是：數(shù)軸上的每一點都可成為S的分點，數(shù)軸是連續(xù)的，所以S的所有分點的集合是連續(xù)的。由此可見，戴德金連續(xù)性準則是以直線的連續(xù)性為模型的，如果離開這一點，該準則便成為無源之水、無本之木。

為了使這一結論更加明晰，我們不妨讓分劃的分點只包括有理數(shù)(有理數(shù)滿足數(shù)系S的稠密性要求)，而不包括無理數(shù)；毫無疑問，全部分點都將落入有理數(shù)的范圍。根據(jù)戴德金連續(xù)性準則，那將得出結論，有理數(shù)是連續(xù)的。然而，有理數(shù)不連續(xù)，這說明戴德金連續(xù)性準則的表述是不完備的。

對此，可能有人會反駁說，為什么可以把無理數(shù)從分劃的分點中排除呢？筆者將反問：為什么不可以呢？有理數(shù)系也具有稠密性，并且用任何有理數(shù)作為分點也可滿足關于有理數(shù)的“不空、不漏、不亂”的要求，除此之外，戴德金連續(xù)性準則對“分劃”并未做其他限定。況且從直觀上講，有理數(shù)的稠密性意味著，在任何兩個不同的有理數(shù)之間都有無窮多的有理數(shù)存在，而無論這兩個有理數(shù)在數(shù)軸上的距離多么小，難道這還不連續(xù)嗎？

可以看出，為要反駁以上關于有理數(shù)之連續(xù)性的“證明”，無法只憑戴德金連續(xù)性準則來進行，必須在此準則之外尋找根據(jù)，其根據(jù)歸根到底就是作為數(shù)軸的直線的連續(xù)性。這一“反駁”大致是這樣的：既然有理數(shù)沒能布滿直線，還留下許許多多的“空隙”，所以，有理數(shù)是不連續(xù)的；我們把這些“空隙”叫做無理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)合起來便能布滿直線，所以實數(shù)是連續(xù)的。分劃直線的分點可以是直線上的任何一個點，當然包括無理數(shù)。然而，以上關于有理數(shù)之連續(xù)性的“證明”則把無理數(shù)從分劃的分點中排除掉，因而是不恰當?shù)摹?/p>

須指出，此“反駁”有一邏輯錯誤即偷換概念：先把無理數(shù)作為直線上的有理數(shù)點之間的空隙，后把這些空隙作為直線上的點，即戴德金分劃的“分點”，從而證明無理數(shù)也是直線上的一個點，以此把實數(shù)與直線上的點一一對應起來。這一邏輯錯誤潛藏于“戴德金連續(xù)性準則”的證明過程中。

以上從總體上表明“戴德金連續(xù)性準則”的不恰當性。接下來，我們將對此準則的證明過程加以分析，指出其中的一些邏輯錯誤，其關鍵之點是對數(shù)學歸納法的誤用。下面，我們對一部有代表性的教材中的證明過程進行分析。[注]參見鄧東皋、尹小玲：《數(shù)學分析簡明教程》上冊，第11-12頁。該書的一些錯誤并非獨有，而是普遍存在于大部分教科書中。相對而言，該書闡述的較為清晰，故以該書的證明過程作為分析的對象。

證明：設A│B是實數(shù)系R的任何一個分劃。我們要證明存在唯一的實數(shù)r∈R，使得對任意a∈A有a≤r，對于任意b∈B有r≤b。

首先看全體整數(shù)，由A不空知有整數(shù)屬于A。若任意整數(shù)c0∈A，有c0+1∈A，則B是空集；既然分劃A│B規(guī)定B不是空集，那么存在整數(shù)c0，使得c0∈A，而c0+1∈B。其次考慮：

c0.0，c0.1，c0.2，…，c0.9

這時必存在c1是0，1，…，9中的某數(shù)，使得c0.c1∈A, c0.(c1+1)∈B,(若c1等于9，則c0.(c1+1)=(c0+1).0)。如此繼續(xù)下去，在確定了c0.c1…cn之后考慮

c0.c1…cn0，c0.c1…cn1，…，c0.c1…cn9

由此確定cn+1,使得c0.c1…cncn+1∈A，c0.c1…cn(cn+1+1)∈B，如此便得到實數(shù)

r=c0.c1c2…cn…

(對教科書的有關證明引用到此)這個r就是實數(shù)系R中的戴德金分劃A│B的分點，其小數(shù)位數(shù)n可以是無窮大，這便把無理數(shù)包含在內。不過，無論n多么大，我們總可以把分劃A和B的那個數(shù)值cn確定下來，使得c0.c1…cn∈A，而c0.c1…(cn+1)∈B。

對于以上論證，我們可以看到，其中包含著對數(shù)學歸納法的使用，歸納過程如下：首先，在整數(shù)上可以確定把實數(shù)集A和B分劃開來的數(shù)值c0。其次，如果在第n位小數(shù)可以確定把A和B分劃開來的數(shù)值，那么在第n+1位上也可以；否則通過十進制進位的遞歸，使得所有數(shù)都屬于A類而使B為空類，違反戴德金分劃關于“不空”的規(guī)定。這樣，由數(shù)學歸納法可得：在任何小數(shù)位數(shù)n上，都可以確定分劃A和B的分點，其分點包括小數(shù)位數(shù)n為無窮大的無理數(shù)。

通過這一數(shù)學歸納法的使用，把有理數(shù)的分點性質推移到無理數(shù)上，這個性質就是：一個數(shù)對應著數(shù)軸上的一個點，這個點是可用十進制刻度來確定的，而無論刻度單位多么小，甚至是無窮小。這就是數(shù)學家們想要的結論，即實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的，相應地，它們的連續(xù)性是從點到點的連續(xù)性。這樣，無理數(shù)便用有理數(shù)構造出來了。

然而，筆者要指出，以上對數(shù)學歸納法的使用是不適當?shù)?，因為它誤解了數(shù)學歸納法的功能。數(shù)學歸納法的功能是對同類對象的性質作出概括，如：1+1是自然數(shù)，如果n+1是自然數(shù)，那么(n+1)+1也是自然數(shù)，所以，任何自然數(shù)加1之后仍為自然數(shù)。這是對同類對象即自然數(shù)的“加1”性質作出概括，因而是對數(shù)學歸納法的正確使用。但是，由數(shù)學歸納法得不出無窮大∞加1之后是自然數(shù)，盡管n+1+1+……的極限是∞；這是因為∞與自然數(shù)不是同一類對象，自然數(shù)是常數(shù)而∞則是變數(shù)。類似地，通過以上數(shù)學歸納法只能得出“任何有理數(shù)分點對應于十進制刻度上的某一點”，而不能把此結論推廣到無理數(shù)上，因為無理數(shù)與有理數(shù)不是同一類對象，其本質區(qū)別就在于是否在數(shù)軸上可以度量。

至此，我們揭示了“柯西極限存在準則”和“戴德金連續(xù)性準則”的含混和不當之處，其癥結在于把無理數(shù)看作數(shù)軸上的一個點而不是一個無窮小區(qū)間，進而把無理數(shù)看作常數(shù)而不是變數(shù)。既然“戴德金分劃”并未成功地表明無理數(shù)是一常數(shù)或數(shù)軸上的一個點，那么我們不妨把數(shù)列或函數(shù)收斂的極限從常數(shù)或點擴展到變數(shù)或無窮小區(qū)間。這樣做的顯著優(yōu)點是，“柯西極限存在準則”成為公理而無需加以證明，相應地，戴德金連續(xù)性準則及其各種等價“原理”成為多余的；[注]事實上，包括同濟大學《高等數(shù)學》在內的許多教材把“戴德金連續(xù)性準則”及其等價“原理”的證明省略了，其多余性由此可見一斑。這不僅使微積分的理論基礎更加簡潔明了，而且使“貝克萊悖論”得以徹底的清除。

六、“芝諾佯謬”與辯證法的運動論題

前面提到，辯證法的運動論題早在古希臘時期就以“芝諾佯謬”的形式被間接地提出。芝諾佯謬有多種表述，現(xiàn)只以“飛矢不動”作為討論的案例?！帮w矢不動”所呈現(xiàn)的疑難問題是：一支剛射出的箭在到達靶心之前必須經(jīng)過箭頭與靶心之間的中點；同理，必須經(jīng)過中點的中點，以此類推。所以，一支射出的箭在到達靶心之前需要經(jīng)過無數(shù)多個中點，以致那支箭無法到達任何一點，只能留在原地紋絲不動。[注]亞里士多德在其《物理學》中較為詳細地介紹了四種形式的芝諾佯謬(見《物理學》，徐開來譯，中國人民大學出版社，2003年，第180-181頁)。這里的表述是將其中第一個即“運動不存在”與第三個即“飛矢不動”合并起來。

“飛矢不動”是純理論分析的結果，它與事實上的“飛矢可動”形成鮮明的反差。據(jù)說當時一位古希臘的智者聽到芝諾佯謬之后，從他常坐于其中的木桶里跳了出來，在地上來回走動，以此來反駁芝諾佯謬。其實這是答非所問，因為芝諾本人也不會否認事實上的“飛矢可動”。正因為此，他通過理論分析所得到的“飛矢不動”才具有震撼力，逼迫理論家們不得不加以解決。面對“飛矢可動”的鐵一般的事實，“飛矢不動”的理論分析一定存在某種錯誤。錯誤在哪里，如何解決？這是擺在人們面前的問題。

通過前面對實數(shù)和直線的連續(xù)性的討論，我們已經(jīng)得出一個重要的結論即：實數(shù)的連續(xù)性是由有理數(shù)和無理數(shù)共同構成的，反映在數(shù)軸上，有理數(shù)的點和無理數(shù)的無窮小區(qū)間即“空隙”共同構成數(shù)軸的連續(xù)性。相應地，一支箭從出發(fā)點到靶心的軌跡是一條連續(xù)的曲線，上面并非只有無數(shù)多個“中點”，而在諸多中點之間還有許多無窮小的區(qū)間。誠然，無數(shù)多個沒有長寬高的點加在一起還是一個沒有長寬高的點，正如無數(shù)多個0相加等于0；但是，無數(shù)多個無窮小區(qū)間加在一起并不等于0，而可成為一段有確定長度的線。這正是微積分的基本原理，即把一線段微分到無窮小，再把無數(shù)多個無窮小累積起來，就得到那條線段的精確長度及其相應的面積。

得出“飛矢不動”的理論分析的錯誤之處在于，把箭的運動軌跡僅僅看作無數(shù)多個“中點”的累積，而忽略了其中的無窮小區(qū)間；正如數(shù)學家們只看到數(shù)軸上稠密分布的無數(shù)個點，而沒有看到其中稠密分布的無窮小區(qū)間。正因為此，數(shù)學家們對于芝諾佯謬顯得束手無策。當然，數(shù)學家們可以通過微積分計算來解釋芝諾佯謬，但那并不能從根本上解決問題。正如貝克萊所說，那只是微積分計算結果的實際正確性，其理論本身仍然潛伏著邏輯矛盾，并以“貝克萊悖論”的方式呈現(xiàn)出來。

對于芝諾佯謬的直截了當?shù)慕鉀Q就是承認數(shù)軸的連續(xù)性是由有理數(shù)的點和無理數(shù)的無窮小區(qū)間共同構成的，不妨稱之為數(shù)軸或實數(shù)的“點域二象性”；這種點域二象性體現(xiàn)了潛無限和實無限的對立統(tǒng)一。具體地說，數(shù)軸上的每一個有理數(shù)點可以作為極限而對應于向它無限趨近的潛無限過程，即無限循環(huán)小數(shù)；每一個無理數(shù)通過不斷展開的潛無限過程而對應于一個作為極限的無窮小區(qū)間。數(shù)軸是一種幾何圖像，它的點域二象性直接反映了空間的基本性質；數(shù)軸也可表示時間，其點域二象性也反映了時間的基本性質。

在現(xiàn)代物理學中，時間和空間同為四維空間的要素，因此也可說，點域二象性是時空量子的屬性，對應于物理量子的波粒二象性。物理量子是經(jīng)驗對象，其波粒二象性需要通過實驗加以驗證；與之不同，時空量子不是經(jīng)驗對象，而是先驗對象，正如時間和空間屬于先驗范疇(這是康德哲學的基本原理之一，康德稱之為“先驗直觀”)，對時空量子的點域二象性只需通過邏輯和數(shù)學的分析便可確認。誠然，邏輯、數(shù)學與物理學之間具有某種對應關系，時空量子的點域二象性與物理量子的波粒二象性之間也具有某種對應關系。在這個意義上，我們也可把物理量子的波粒二象性看作時空量子的點域二象性的經(jīng)驗印證，二者都是間斷性和連續(xù)性的對立統(tǒng)一。

最后，我們再回到辯證法的運動論題——運動在同一時刻既在一個地點又不在一個地點——的正當性上。我們在前面第二節(jié)根據(jù)微積分的導數(shù)概念即dy/dx得出結論：運動的瞬時速度不為0，意味著運動是同一瞬時在不同的空間點——瞬時速度的起點和終點——之間“跳躍”，這才使運動成為可能，從而克服“飛矢不動”的芝諾佯謬。在這個意義上，辯證法的運動論題是成立的；事實上，黑格爾在很大程度上是為解決芝諾佯謬而提出這一論題的。然而，這種表述似乎違反形式邏輯，相當于同時肯定A和非A。

筆者承認，這種形式的辯證法論題是粗糙的，容易引起誤會，需要加以改進?，F(xiàn)在我們根據(jù)無理數(shù)的無窮小區(qū)間性質，對辯證法論題的矛盾形式予以轉化，以無矛盾的形式表述為：運動是在同一瞬時經(jīng)過同一地點，瞬時和地點都是無窮小量而不是0。具體地說，原來的辯證法論題中所說的在同一瞬時被“跳躍”的那兩個空間點，其實是在同一個無窮小區(qū)間之內的，因而是同一個地點而不是兩個不同的地點。由無窮小量的累積可以成為一個有限數(shù)，所以，作為無窮小區(qū)間的瞬時和地點累積起來便可形成運動。這正是微積分數(shù)學的基本原理，也是芝諾佯謬得以解決的關鍵所在。

最后強調兩點：其一，辯證法不是對形式邏輯的排斥，而是對形式邏輯的超越；相應地，恰當?shù)霓q證論題并不違反形式邏輯，而是在遵守形式邏輯的前提下蘊涵著更為豐富的內容。其二，數(shù)學基礎的問題往往涉及潛無限與實無限的關系問題，這與其說是數(shù)學問題，不如說是哲學問題。正因為此，數(shù)學家們在此問題上的錯誤并不直接影響數(shù)學在實際應用上的正確性，但這并不表明其理論是完美無缺的。有趣的是，歷史上的“三次數(shù)學危機”都是由哲學家發(fā)起的；也許，解鈴還須系鈴人吧。