著眼“意義”，指向“生長”，發(fā)展“思維”
——“正比例的意義”磨課實踐與思考

江蘇省常熟市塔前小學 戴美蘭

數(shù)學概念是客觀現(xiàn)實中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中的反映。概念教學要注重引導學生通過對具體事物的感知，通過觀察比較、抽象概括，逐步提煉出事物的本質(zhì)屬性。核心素養(yǎng)導向下，如何引導學生經(jīng)歷概念的形成過程，實現(xiàn)意義的自然生長，促進思維的發(fā)展？下面結(jié)合《正比例的意義》幾次的磨課實踐，談談我的思考。

一、不同的導入對比——指向知識的生長

奧蘇泊爾說過：影響學習的唯一重要因素就是學習者已經(jīng)知道了什么，要探明這一點，并據(jù)此進行教學。學生學習數(shù)學有著內(nèi)在的認知規(guī)律和心理特征，教學時要找準學生已有的認知起點，使它成為新知的生長點。

方法一：

1.觀看視頻：風吹草動；水漲船高。

2.疊數(shù)學書。

（1）教師疊書（增加和減少）,學生觀察。

師：仔細看，老師把你們的數(shù)學書疊起來，你們發(fā)現(xiàn)了什么相互聯(lián)系的現(xiàn)象嗎？

（2）揭示“相關(guān)聯(lián)的量”。

3.舉例。

師：生活中相關(guān)聯(lián)的量很多,你能舉例說明嗎?

4.找找辨辨。

課件出示：任選兩張表格，仔細觀察，看看表中的兩種量是否相關(guān)聯(lián)？

交流指出：表六的兩種量不相關(guān)聯(lián)，其他表中都有兩種相關(guān)聯(lián)的量。

5.引導：那這兩種相關(guān)聯(lián)的量又有著怎樣的變化規(guī)律?在變化中是否有什么不變?我們以表一為例來進一步研究。

方法二：

1.復習基本數(shù)量關(guān)系。

師：同學們回憶一下，在學習運算律時，我們已經(jīng)感受了一些數(shù)量關(guān)系，在解決問題時又熟悉了這些關(guān)系，說說我們已經(jīng)認識了哪些數(shù)量關(guān)系？

指出：看來，今天的學習和（數(shù)量關(guān)系）有關(guān)。

2.情境導入，激發(fā)興趣。

師：同學們，瞧（手里拿著書簽），老師給大家?guī)砹艘恍┬《Y物——小書簽。一張書簽3 元，猜猜看老師買了幾張書簽？花了多少錢？如果我花了60 元，買了幾張書簽？如果花了90 元呢？

3.聯(lián)系實際，初步感知。

師：是呀，我購買了同一種書簽，這是老師剛剛收集的一些數(shù)據(jù)。課件出示：購買一種書簽的數(shù)量和總價如下表：

數(shù)量/張 1 2 3 4 5 ……總價/元 3 6 9 12 15 ……

……

兩次教學實踐都能聯(lián)系實際，創(chuàng)設情境，激發(fā)學生的學習興趣，引發(fā)學生的積極思考。方法一通過學生熟悉的生活現(xiàn)象和疊數(shù)學書的活動，使其對相關(guān)聯(lián)的量有了比較充分的感知，再引入對路程和時間兩種相關(guān)聯(lián)量變化規(guī)律的研究，這樣的教學看似順理成章，尋求經(jīng)驗與數(shù)學的融合，但由于受到生活經(jīng)驗的影響，方法一的引入花費了大量的時間，卻沒有直指正比例意義的本質(zhì)，研究數(shù)量關(guān)系的變化規(guī)律。雖然理解相關(guān)聯(lián)的量是本課的一個教學重點，但單獨研究、割裂教學效果反而不好。實際上，結(jié)合正比例意義的建構(gòu)過程，學生反而更容易理解“相關(guān)聯(lián)量”的意義。

基于上面的思考，方法二找準了知識的生長點，根據(jù)學生的已有認知經(jīng)驗，建立前后知識的聯(lián)系。首先直面數(shù)量關(guān)系，創(chuàng)設送書簽的情境，引導學生在猜一猜的過程中，對書簽數(shù)量和總價的數(shù)量關(guān)系有了比較深入的感知和體驗，而不斷生成的數(shù)據(jù)則巧妙提供了所要研究的素材，構(gòu)成了購買一種書簽的數(shù)量和總價的表格，學生邊猜邊思,為后面研究活動的展開做好了準備。

二、不同的探究對比——指向數(shù)量關(guān)系的生長

我們知道，正比例的意義是要從一種運動和變化的觀點去理解數(shù)量間的關(guān)系,要通過觀察、分析兩種數(shù)量之間的變化情況、變化規(guī)律,進而達到對兩個變量關(guān)系的進一步理解。

方法一：

1.課件出示表1（見導入設計）和研究要求：

①仔細觀察，時間和路程這兩種相關(guān)聯(lián)的量是怎樣變化的？

②它們的變化是否有一定的規(guī)律？如果有規(guī)律，它們是怎么樣的？

③你能在研究單上寫一寫，把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律簡單地表示出來嗎？

2.學生操作后交流。

3.回顧例1 的學習過程，我們是怎么發(fā)現(xiàn)路程和時間的變化規(guī)律的。

4.分組研究：運用剛才的研究方法研究表2、表3、表4、表5的變化規(guī)律，以小組為單位，任選一張表格，看看表中的兩種量有著怎樣的變化規(guī)律？

……

5.追問：通過剛才的研究，我們發(fā)現(xiàn)表中兩個相關(guān)聯(lián)的量都在發(fā)生變化，但是變化的規(guī)律都是不一樣的，那有沒有變化規(guī)律一樣的呢？

回顧我們剛剛研究過的六張表格，有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

6.揭示正比例的意義。

方法二：

1.課件出示：購買一種書簽的數(shù)量和總價如下表（見導入設計）。

（1）師：觀察表中數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

引導：看看總價和數(shù)量有沒有變化？是怎么變化的？

（2）小組討論，全班交流。

學生通過觀察和計算，對總價和數(shù)量的關(guān)系有了兩個發(fā)現(xiàn)（略）。

2.指出：總價和數(shù)量的這種關(guān)系在圖中也可以反映出來。課件動態(tài)演示：

追問：圖中什么在變化？什么也在變化？

師：觀察每個點的位置，有什么發(fā)現(xiàn)嗎？（演示：描點、連線）

師：想象一下，如果數(shù)量繼續(xù)增加，總價呢？

師：那么這條藍色直線會……（繼續(xù)延長）

小結(jié)。

3.回顧反思：我們是怎么發(fā)現(xiàn)總價和數(shù)量的變化規(guī)律的？

4.談話過渡：一輛轎車在公路上行駛，行駛時間和路程如下表。（課件出示表1，見導入設計）

師：運用剛才的研究方法找一找路程和時間這兩個量的關(guān)系，把你的發(fā)現(xiàn)在研究單上簡單記錄下來。

5.對比求同。

師：我們再來觀察比較這兩個例子，這兩題中，數(shù)量之間的聯(lián)系有什么相同的特點？

6.揭示正比例的意義。

迪恩斯認為，在數(shù)學教學中，學生應該依靠自己的經(jīng)驗。因此，教學要基于學生已有的知識和經(jīng)驗，引導學生主動體驗和探究知識的形成過程，溝通知識之間的內(nèi)在聯(lián)系。

方法一由于導入時運用了比較多的反例，對學生正向建立相關(guān)聯(lián)量的概念造成了干擾。學生探究路程和時間的變化規(guī)律不是自己真實的需求，尤其是對路程、時間數(shù)量關(guān)系的研究更是一種被動的接受。正因為正比例關(guān)系是兩個相關(guān)聯(lián)數(shù)量之間的一種特定關(guān)系，所以方法二重在引導學生經(jīng)歷數(shù)量關(guān)系的自然生長過程。學生借助已有的知識經(jīng)驗及對已學數(shù)量關(guān)系的積累和理解，在猜書簽數(shù)量和總價的過程中催生對數(shù)量關(guān)系的熱情，引導學生經(jīng)歷創(chuàng)造數(shù)據(jù)、觀察、比較、分析、歸納的過程，再由表及圖，動態(tài)呈現(xiàn)折線統(tǒng)計圖，數(shù)形結(jié)合，靜態(tài)到動態(tài)，從具體形象的數(shù)據(jù)分析，初步感知一個量變化引起另一個量的變化，再到聚焦數(shù)量關(guān)系，深入體會總價、數(shù)量、單價及路程、時間、速度三個量之間變與不變的關(guān)系，多樣的體驗促進了深度的理解。學生的思考外顯，數(shù)量關(guān)系的自然生長，充分展示了概念的形成過程，觸摸了認識概念的基本方法，同時也鍛煉了探究學習的能力。

三、不同的抽象對比——指向關(guān)鍵能力的生長

數(shù)學抽象是數(shù)學活動中一種最基本、最重要的思想方法。只有基于學生的現(xiàn)實經(jīng)驗，才能更有效地引導學生進行數(shù)學抽象，從而真正理解抽象的數(shù)學知識，促進關(guān)鍵能力的自然生長。

方法一：

思考：如果用字母x 和 y 分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k 表示它們的比值，正比例關(guān)系可以用怎樣的式子來表示？板書：=k（一定）。

方法二：

1.舉例：從疊書的活動中我們找到了這么多的正比例關(guān)系，你還能舉例說說生活中成正比例關(guān)系的量嗎？

2.抽象概括，建立模型。

（1）師：這樣的正比例關(guān)系生活中還有很多很多，說得完嗎？

你能用簡單的方法表示出來嗎？你是怎么想的？

生1：（文字的）比的前項÷比的后項=比值（一定），比的前項和后項成正比例關(guān)系。

生2：（字母的） a÷b=c（一定），a 和b 成正比例關(guān)系。

生3：（符號的） □÷○=△（一定），□和○成正比例關(guān)系。

師：其實，用字母表示，用文字表示，用符號表示，你們表達的意思都是一樣的，在數(shù)學上，我們一般用字母表示。

（2）師：如果用字母x 和 y 分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k 表示它們的比值，正比例關(guān)系可以用怎樣的式子來表示？板書：（一定）。

師：你能說說它表示什么意思嗎？

小結(jié)：用字母式來表示正比例關(guān)系，多么簡單，數(shù)學就是有一種簡潔美。

方法一中，學生通過對路程和時間、總價和數(shù)量的數(shù)量關(guān)系的研究，在順利揭示正比例的意義后，直接進行抽象：正比例關(guān)系可以用怎樣的式子來表示？學生的思路比較狹窄，他們只想到用字母來表示正比例關(guān)系，這樣的抽象略顯單薄。方法二則結(jié)合具體實例，學生在具體的活動中經(jīng)歷了由淺入深、由表及里的研究過程，用圖表和語言來表征正比例關(guān)系后，學生對正比例的意義積累了大量的感性認識和經(jīng)驗，用符號抽象概括正比例的意義也就水到渠成了。學生的符號表征是多樣的，是從心里自然生長出來的，用字母表達式來表征正比例關(guān)系，順利建構(gòu)數(shù)學模型。學生在把感性經(jīng)驗上升為理性認識的過程中，初步感悟到數(shù)學抽象的過程和方法，發(fā)展了數(shù)學思考，體驗了符號化的思想，提升了數(shù)學抽象與建模的能力。由具象到抽象，深度理解正比例的意義，實現(xiàn)了用圖表、語言、符號表征概念學習的綜合化。

四、不同的練習對比——指向思維和素養(yǎng)的生長

數(shù)學練習是學生學習過程中的重要環(huán)節(jié)，精心設計多元有效的數(shù)學練習，及時點撥思路，引領(lǐng)有效探究，能促進學生思維的自然生長。練習設計要盡可能地將學生的認知水平與生活實際相聯(lián)系，讓學生多元思考、多種體驗、多種思路，真正提升練習的有效性，發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng)。

方法一：

倒水實驗：往同一個圓柱形杯子中倒水，水的體積和高度成正比例嗎？為什么？

師：同學們，當水的體積和高度成正比例關(guān)系時，把上面的表格制成折線統(tǒng)計圖，通過描點、連線，發(fā)現(xiàn)正好是一條直線，這就是我們下節(jié)課要研究的正比例圖像。（制成的折線統(tǒng)計圖略）

方法二：

倒水實驗：往同一個圓柱形杯子中倒水，水的體積和高度成正比例嗎？為什么？

生1：體積和高度是兩個相關(guān)聯(lián)的量，因為是同一個圓柱形杯子，底面積是一樣的，體積÷高度=底面積（一定），所以水的體積和高度成正比例關(guān)系。

評價：不錯，你根據(jù)關(guān)鍵詞“同一個圓柱形杯子”，沒有通過計算就找到了不變的量，真會思考。

生2：從圖上就可以看出來，因為是一條直線。

師：既然你是從圖上看出來的，那么你能想辦法進一步驗證嗎？

生：可以通過計算來驗證。

師生共同計算，發(fā)現(xiàn)體積和高度的比值都是25，也就是底面積是一定的，水的體積和高度成正比例關(guān)系。

評價：你真厲害，從圖上找到數(shù)據(jù)，再用數(shù)據(jù)來計算說明問題，透過圖看到了本質(zhì)。

方法一中，教師通過引導學生對表中數(shù)據(jù)的觀察與計算，發(fā)現(xiàn)水的體積和高度的比值也就是底面積是一定的，鞏固了學生對正比例意義的理解，同時指出表與圖是有聯(lián)系的，是下一節(jié)課要學習的內(nèi)容。但是老師沒有做進一步的拓展，引發(fā)學生的深度思考，促進對知識的進一步辨識和理解。方法二則借助表和圖的整合，通過一系列的追問，實現(xiàn)學生與文本的對話，驅(qū)動學生的思考。判斷兩種量是否成正比例可以由表及圖，結(jié)合具體的圖像，采用不同的方法，從圖上找到數(shù)據(jù)，再用數(shù)據(jù)來計算說明問題，從而驗證自己的判斷和想法。透過圖看到正比例意義的本質(zhì)，數(shù)學思考越發(fā)深入。這樣的研究，學生對正比例意義的理解更具有一般性，學生借助反饋信息檢驗自己的已有認識，在對比思辨中凸顯概念的本質(zhì)。學生的數(shù)學意識、數(shù)學理解、數(shù)學交流、解決問題能力也得到了有效的發(fā)展，數(shù)學素養(yǎng)也在不知不覺間生根發(fā)芽。

在多次的磨課實踐中，我一直在思考：正比例的意義比較抽象，學生難以理解，對于這樣的知識要怎么教，學生要怎么學呢？基于學生的知識層次、數(shù)量關(guān)系、關(guān)鍵能力、思維和素養(yǎng)的生長，在不斷的改進對比實踐中實現(xiàn)正比例意義在課堂中的自然生長，從而促進概念的意義建構(gòu)。