基于核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)
——以《數(shù)列的概念與簡單表示法》為例

浙江省義烏市義亭中學(xué) 方書英

近幾年來，對于人的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)日漸成為新一輪課程改革的深化方向。高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提出的具體要求有六條：數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，數(shù)學(xué)建模，直觀想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。在平時的教學(xué)中，要注意對這六種能力的培養(yǎng)。

本文以必修五中數(shù)列的起始課《數(shù)列的概念及簡單表示法》為例，淺談核心素養(yǎng)下的概念教學(xué)設(shè)計。

一、新課引入

師：多媒體投影出虎刺梅、紫竹梅、迎春花、木槿、百合、波斯菊、西番蓮花朵的圖片，請學(xué)生說出這些花朵花瓣的數(shù)目。

生：分別是2，3，4，5，6，8，10。

師：古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出“萬物皆數(shù)”。據(jù)說他們發(fā)現(xiàn)了很多有意思的數(shù)，觀察下列圖形，找出這些數(shù)的規(guī)律。

生：第一行數(shù)是1，3，6，10，15，21……

第二行數(shù)是1，4，9，10，16，25……

師：根據(jù)形狀的特點(diǎn)，我們形象地稱它們是三角形數(shù)和正方形數(shù)。

師：一般而言，兔子在出生兩個月后就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少對兔子？可以列出下表：

經(jīng)過月0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12數(shù)幼仔對1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89數(shù)成兔對0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144數(shù)總體對1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233數(shù)

由此可知，從第一個月開始，以后每個月的兔子總對數(shù)是多少？

生：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……

師：大家記不記得這周每天我們班的出勤人數(shù)？

生：48，48，48，48，48。

師：大家能不能說出正整數(shù)的倒數(shù)各是多少？

師：1，2，3，4，…，100 除以三的余數(shù)是多少？

生：1，2，0，1，2，0，1，2，0，…，2，0，1。

【設(shè)計意圖：本課開始引用生活中花瓣的數(shù)量，讓美麗的花朵引起學(xué)生的興趣，并讓他們明白，在自然生活中，只要細(xì)心觀察，數(shù)學(xué)無處不在。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的三角形和正方形數(shù)的引入，不僅是數(shù)學(xué)文化的熏陶，更是讓學(xué)生通過觀察三角形數(shù)和正方形數(shù)圖形的特點(diǎn)，歸納總結(jié)出每一項(xiàng)數(shù)值，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和直觀想象能力，也為后期引入遞推公式的概念埋好伏筆，鍛煉數(shù)學(xué)抽象思維能力。斐波拉契數(shù)列作為數(shù)列上的經(jīng)典數(shù)列，有讓學(xué)生了解一下的必要，并且形成數(shù)據(jù)表格的過程也是數(shù)學(xué)建模的過程，根據(jù)實(shí)際的兔子繁殖問題，建立數(shù)據(jù)表格，推理出斐波拉契數(shù)列的本質(zhì)特點(diǎn)：從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)是前兩項(xiàng)的和。鍛煉數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)據(jù)分析的能力。之后的問題貼近學(xué)生的日常，在教學(xué)中拉近學(xué)生與數(shù)學(xué)的親近感。最后兩個問題的設(shè)計主要是學(xué)生對已有數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，設(shè)置得較為簡單，學(xué)生基本都能解決】

二、概念生成

在投影儀上打出剛剛總結(jié)的幾列數(shù)：

師：請大家觀察上面這幾組數(shù)學(xué)的特點(diǎn)？

生1：都是數(shù)。

生2：數(shù)都排成一列。

生3：這些數(shù)有順序。

師：在黑板上板書出數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列。

師：數(shù)列1，2，3，…，40 改為3，2，1，…，40 還是不是同一個數(shù)列？

生：不是，順序不一樣，所以就不是同一組數(shù)列。

師：{1，2，3，…，40}和1，2，3，…，40 一樣嗎？

生：不一樣，前面是集合，后面是數(shù)列。

師：那么數(shù)列和集合的概念有何區(qū)別？

生1：數(shù)列是數(shù)組成的，集合的元素不一定是數(shù)。

生2：數(shù)列有順序，集合具有無序性。

生3：數(shù)列中數(shù)可以重復(fù)，集合中的數(shù)不能重復(fù)。

師：非常好，大家概括得很全面。

【設(shè)計意圖：在新課的引入過程中，學(xué)生對這些數(shù)據(jù)的生成過程已經(jīng)很熟悉，當(dāng)這些數(shù)擺在面前的時候，他們自然就會對比觀察出這幾組數(shù)的特點(diǎn)，從而歸納出數(shù)列的定義。概念是越辨越明，跟熟悉的集合比較起來，學(xué)生更能深入地理解數(shù)列的特點(diǎn)。從具體的幾組數(shù)中提煉出數(shù)列的概念，這個過程中就有對數(shù)學(xué)抽象能力、邏輯推理能力的培養(yǎng)】

師：集合中每一個對象，我們稱為元素，那么在數(shù)列中，每一個數(shù)我們是不是也有相應(yīng)的稱呼呢？

生：應(yīng)該也有。

師：黑板上板書：數(shù)列中的每一個數(shù)都叫這個數(shù)列的項(xiàng)，各項(xiàng)依次為第1 項(xiàng)（首項(xiàng)），第2 項(xiàng)，第3 項(xiàng)，……排在第n 位的數(shù)稱為第n 項(xiàng)。數(shù)列中項(xiàng)的總數(shù)稱為項(xiàng)數(shù)。

師：我們現(xiàn)在了解了數(shù)列的概念和項(xiàng)的概念，那么能不能用數(shù)學(xué)符號表示出來呢？

生：不知道怎么表示。

師：那大家嘗試按照自己的想象來表示數(shù)列吧！在稿紙上寫出來。

投影出學(xué)生的寫法，方式特別多，比如：a，b，c，d，…，或A，B，C，…，或a1，a2，a3……

師：大家寫得很好，都選擇了用各種字母來表示數(shù)列，但如果用26 個字母表示的話，那么第27 項(xiàng)，28 項(xiàng)該怎么辦呢？

生：用a1，a2，a3……可能表示無數(shù)個項(xiàng)。

師：非常好，大家跟數(shù)學(xué)家們想得很接近了。只是我們項(xiàng)數(shù)寫在a 的右下方。

板書數(shù)列表示法：數(shù)列一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，簡記{an}。

師：an和{an}有什么區(qū)別？

生：an是數(shù)學(xué)的第n 項(xiàng)，{an}表示整個數(shù)列。

【設(shè)計意圖：對比集合中元素的定義，讓學(xué)生聯(lián)想到數(shù)列中的數(shù)應(yīng)該也是有名稱的，就很自然地給出了項(xiàng)的定義。其次，對于數(shù)列的數(shù)學(xué)符號表示，數(shù)學(xué)符號語言是數(shù)學(xué)抽象化的重要表征。學(xué)生自己想象出各種各樣的符號，實(shí)際上就是培養(yǎng)了數(shù)學(xué)抽象能力，符號語言的生成更有助于學(xué)生理解數(shù)列的概念和特點(diǎn)】

師：我們再次觀察這幾組數(shù)，剛剛是找出了它們的共同特點(diǎn)，現(xiàn)在看看它們有什么區(qū)別？

2，3，4，5，6，8，10。

1，3，6，10，15，21……

1，4，9，16，25……

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……

48，48，48，48，48。

1，2，0，1，2，0，1，2，0，…，2，0，1。

生1：有的數(shù)列項(xiàng)的數(shù)目有限，有的無限。

生2，項(xiàng)的大小有的有規(guī)律，有的沒有規(guī)律。

師：大小上什么規(guī)律？

生：第1，2，3 組是增大的，第4 組除了第1 項(xiàng)也表現(xiàn)出增大的，第5 組不變，第6 組減小，第七組忽大忽小。

師：非常好，我們發(fā)現(xiàn)從項(xiàng)的個數(shù)上區(qū)分，有兩種，那么項(xiàng)數(shù)有限的我們就稱為有窮數(shù)列，項(xiàng)數(shù)無限的我們稱為無窮數(shù)列。那么從大小上區(qū)別，大家覺得怎么命名比較好？

生：越來越大的是增數(shù)列，越來越小的是減數(shù)列，不變的是常數(shù)列。師：那第7 組是什么數(shù)列？

生：不知道。

師：稱為擺動數(shù)列。因此，按著數(shù)列的大小關(guān)系，我們可以分為四類：遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，常數(shù)列，擺動數(shù)列。

師：觀察下列幾組數(shù)列：

1，2，3，4，5……

1，4，9，16，25……

這三個數(shù)列的第10 項(xiàng)是什么？

師：第100 項(xiàng)呢？

師：那么第n 項(xiàng)呢？

師：我們會發(fā)現(xiàn)這三個數(shù)列的第n 項(xiàng)都可以用n 表示出來。如果數(shù)列{an}的第n 項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項(xiàng)公式。那么這三個數(shù)列的通項(xiàng)公式怎么表示？（請同學(xué)上黑板板書）

【設(shè)計意圖：數(shù)列的分類標(biāo)準(zhǔn)不一樣，那么所得分類也不一樣，讓學(xué)生自己觀察，歸納，從具體問題中抽象出數(shù)列的單調(diào)性和項(xiàng)數(shù)特點(diǎn)，觀察有些數(shù)列的特征，概括出每個數(shù)列的通項(xiàng)公式，需要學(xué)生較好的邏輯推理及數(shù)據(jù)分析能力】

師：數(shù)列1，4，9，16，……其通項(xiàng)公式是：an=n2，這是用通項(xiàng)公式表示出來，有點(diǎn)像函數(shù)的解析式，大家思考一下能不能夠用其他的方法把這個數(shù)列表示出來？

生：可以試試表格。

師：很好，要不要上黑板試試？（學(xué)生板書）

n 1 2 3 … k …an 1 4 9 k2

師：還有嗎？

生：畫圖。

師：好的，請問同學(xué)上黑板畫畫。

學(xué)生畫出了一個二次函數(shù)的圖像：

師：大家覺得這個圖像有沒有問題？

生：不能是連續(xù)的，應(yīng)該是點(diǎn)。

師：重新修改學(xué)生圖像如右圖。

師：所以數(shù)列有三種表示方法：通項(xiàng)公式法，表格法，圖像法。大家就會發(fā)現(xiàn)數(shù)列和之前學(xué)過的函數(shù)有些像，大家仔細(xì)觀察下圖，發(fā)現(xiàn)了什么？

生：數(shù)列也是函數(shù)，符合函數(shù)的定義。

師：那么得到結(jié)論，數(shù)列是特殊的函數(shù)，特別之處在于定義域是正整數(shù)集（或有限子集）。

三、投影習(xí)題，并講評習(xí)題

例1 根據(jù)下面數(shù)列的通項(xiàng)公式，寫出它的前5 項(xiàng)：

例2 寫出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式，使它的前4 項(xiàng)分別是下列各數(shù)：

師：那么我們總結(jié)一下這節(jié)課的內(nèi)容，用思維導(dǎo)圖的形式表達(dá)出來？

【設(shè)計意圖：由數(shù)列的通項(xiàng)公式聯(lián)想到函數(shù)的解析式，進(jìn)而推出數(shù)列的三種表示法，得出數(shù)列是特殊的函數(shù)。習(xí)題的設(shè)置，讓學(xué)生觀察數(shù)據(jù)抽象出數(shù)列的通項(xiàng)公式。小結(jié)用思維導(dǎo)圖的形式總結(jié)出來，清晰簡潔，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的簡潔美，也更流暢地回顧了本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容，加深了學(xué)生對本節(jié)課的理解和掌握】