有理數(shù)的運(yùn)算技巧和方法

江蘇省揚(yáng)州市田家炳實(shí)驗中學(xué) 宋 揚(yáng)

有理數(shù)及其運(yùn)算是整個數(shù)與代數(shù)的基礎(chǔ)，掌握一定的有理數(shù)運(yùn)算技能很有必要。運(yùn)算能力是運(yùn)算技能與分析、推理能力的結(jié)合，要求我們既能正確地算出結(jié)果，又善于觀察問題的結(jié)構(gòu)特征，選擇合理、簡捷的運(yùn)算路徑，拓展解決問題的創(chuàng)造性思維空間。

有理數(shù)運(yùn)算的常見技巧和方法有：利用運(yùn)算律；恰當(dāng)分組；以符（字母）代數(shù)；倒序相加；裂項相消；錯位相減；分解相約；添置輔助數(shù)；巧用乘法公式；借助因式分解等等。運(yùn)算技巧和特殊方法的精準(zhǔn)使用，不僅能簡化運(yùn)算，減少計算量，減少出錯，較快得到正確的結(jié)果，處理一些用常規(guī)方法不能解決的問題，還能擴(kuò)大知識面，靈活運(yùn)用所掌握的知識，開闊視野，增強(qiáng)能力。研究和把握較多的運(yùn)算技巧和方法，有利于因材施教、分層教學(xué)和分步遞進(jìn)，對于開發(fā)智力、培養(yǎng)更多的創(chuàng)新型人才將會起到積極的作用。

一、整體設(shè)元，倒序相加

例1 求：1+2+3+…+n 的值。

解：設(shè)S=原式，從而有 S=n+(n-1)+(n-2)+…+1，

解：設(shè)S=原式，將每個括號內(nèi)各項分別按倒序改寫，

二、運(yùn)用算律，合理分組

此即為例2 的模式，以下過程略去，運(yùn)算結(jié)果為原式=1580。

例4 計算：1-2+4-6+8-10+…-998+1000。

解：原式=1+（-2+4）+（-6+8）+…（-998+1000）=1+2×（1000÷2÷2）=501。

例5 計算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2017+2018-2019-2020。

解：原式=（1+2-3-4）+（5+6-7-8）+…+（2017+2018-2019-2020）=（-4）×（2020÷4）=-2020。

三、剖析通項，裂項相消

此處對照一下例6與例7的通項公式，可以發(fā)現(xiàn)這兩種模式(題型)之間的內(nèi)在聯(lián)系。另外，裂項相消技巧常用的通項公式還有：

解：設(shè)S=原式 ①

四、整體設(shè)元，錯位相減

此題解法較多，如可以利用一維圖形或二維圖形幫助求解；也可以在算式的末尾添加兩項：，從倒數(shù)第二項起，運(yùn)用結(jié)合律，逐次向前演算。

例9 求1+3+32+33+…+32018的值。

解：設(shè)S=原式 ①

則3S=3+32+33+…+32018+32019②

②-①得2S=32019-1， ∴原式=。

五、部分設(shè)元，代數(shù)演算

六、巧添輔助數(shù)，激活乘法公式

例11 計算：(1+2)(1+22)(1+24)(1+28)×…×(1+22n)。

解：原 式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22n+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22n+1)=(24-1)(24+1)(28+1)…(22n+1)=……=(22n-1)(22n+1)=(22n+1-1)。

七、借助因式分解，實(shí)現(xiàn)連貫約分

解：原式