解決立體幾何問題中空間向量的運(yùn)用

云南省曲靖市民族中學(xué) 李光所

一、立體幾何問題中運(yùn)用空間向量的價值

1．簡化立體幾何解題步驟

在立體幾何問題解決中，運(yùn)用空間向量思維方法可將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題、幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進(jìn)行解決，簡化立體幾何的傳統(tǒng)解題過程?？臻g向量主要解決的是點、線、夾角和距離之間的問題，這種解題方式可減少學(xué)生對數(shù)學(xué)思維的轉(zhuǎn)換難度，同時將原題中的輔助線替代為坐標(biāo)系，還能夠促使解題步驟與過程的進(jìn)一步簡化，體現(xiàn)出空間向量解題的優(yōu)越性。

在立體幾何解題中，傳統(tǒng)的解題方法是學(xué)生先利用相關(guān)的定理和公式明確解題思路，之后再運(yùn)用多種思維進(jìn)行轉(zhuǎn)換，這樣才能完成解題過程。傳統(tǒng)解題方法過于復(fù)雜，對于思維轉(zhuǎn)換能力偏差的學(xué)生而言，增加了解題的困難程度。而運(yùn)用空間向量解決立體幾何問題，雖然在一定程度上增加了計算過程的復(fù)雜性，但是卻能夠幫助學(xué)生快速理清解題思路，淡化由“形”到“形”的推理過程，進(jìn)一步明確解題目的，提高學(xué)生解題能力。

3．賦予數(shù)學(xué)解題的簡捷美

在立體幾何解題中，可利用空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算解決空間垂直與平行的問題，利用向量的夾角公式求出兩條直線的夾角和線面夾角，利用向量的距離公式求出兩點間的距離和兩面角的平面角。通過運(yùn)用空間向量方法解決較為復(fù)雜的立體幾何問題，能夠使解題過程清晰明了，解題書寫內(nèi)容簡捷和諧。

二、在立體幾何問題中空間向量的運(yùn)用方法

空間向量主要運(yùn)用于立體幾何中的空間垂直證明、空間平行證明、空間角求解和空間距離求解四個方面，下面對垂直與平行問題和空間角問題的解題方法進(jìn)行例題探討。

1．空間向量在解決平行垂直問題中的應(yīng)用

在運(yùn)用空間向量證明線面平行時，應(yīng)明確兩種解題思路：一是可根據(jù)線面平行的判定定理，通過證明直線的方向向量與平面內(nèi)一條直線的方向向量平行得出結(jié)論；二是通過證明直線的方向向量與平面的法向量垂直得出結(jié)論。在運(yùn)用空間向量證明面面垂直時，也可采用兩種解題思路：一是運(yùn)用判定定理通過證明線線垂直得出結(jié)論；二是通過證明兩個平面的法向量垂直得出結(jié)論。

例1 如圖1 所示，在底面為矩形的四棱錐P-ABCD 中，ABCD，E 是PC 中點，F(xiàn) 是PD 中點，PA=AB=1，BC=2。求證：（1）EF ∥平面PAB；（2）平面平面PDC。

4.1.1 實施“亮證經(jīng)營”制度，在超市顯著位置設(shè)置食品安全信息公示欄，公示以下信息：食品經(jīng)營許可證和營業(yè)執(zhí)照；全部食品經(jīng)營人員的健康檢查證明（原件、復(fù)印件或者電子版）；門店負(fù)責(zé)人和食品安全管理員的照片、姓名、培訓(xùn)證明（原件、復(fù)印件或者電子版）。

圖1

圖2

證明：以A 為原點建立空間直角坐標(biāo)系（如圖2 所示），可知A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，1），由此可獲得

2．利用空間向量在空間角問題中的應(yīng)用

在立體幾何中，求空間角與距離是一類較為重要的問題，在歷年的高考中均有此類題型出現(xiàn)，由此使得空間角成為立體幾何教學(xué)的重點內(nèi)容。在解決空間角問題的過程中，可對空間向量進(jìn)行合理運(yùn)用，通過空間向量的引入，能夠為代數(shù)方法解決立體幾何問題提供有效的工具。在解題時，可以用定量計算代替定性分析，這樣一來，能夠使煩瑣的推理論證過程得以簡化，有助于加快解題速度，提高解題效率。

例2 如圖3 所示。在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，現(xiàn)將△ABC 沿著平面ABC 的法向量平移至△A1B1C1的位置處，已知BC=CA=CC1，取A1B1、A1C1的中點D1和F1。求BD1與AF1所成角的余弦值。

解：以點C 作為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，具體如圖4 所示。

圖3

圖4

設(shè)CC1=1，則

∴BD1與AF1所成角的余弦值為

例3 如圖5 所示，在長方體ABCD- A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M 為BC1上的一點，且B1M=2，點N 在線段A1D 上，A1D ⊥AN。求AD 與平面ANM 所成角的正弦值。

圖5

解：由圖可知，A（0，0，0），A1（0，0，4），D（0，8，0），

通過上述例題的分析可以看出，在空間角求解中，對空間向量進(jìn)行運(yùn)用，能夠使煩瑣的解題過程得以簡化，為學(xué)生快速求解提供了有效的方法。

總而言之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，將空間向量運(yùn)用到立體幾何問題的解決中來，有利于簡化解題過程，幫助學(xué)生形成完整的解題思路，對培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維和提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力起著積極作用。在數(shù)學(xué)解題中，教師要引導(dǎo)學(xué)生掌握空間向量解決立體幾何平行問題、垂直問題、空間距離問題以及空間角問題的方法，幫助學(xué)生提高解題效率和準(zhǔn)確性。