基于主成分分析和聚類分析的高職高等數(shù)學(xué)分層教學(xué)設(shè)計(jì)

張 生 華

(揚(yáng)州職業(yè)大學(xué), 江蘇 揚(yáng)州 225009)

近年來國家對(duì)高等職業(yè)教育越來越重視,投入不斷加大,高等職業(yè)教育的發(fā)展也迎來了春天,隨著高職院校招生規(guī)模的擴(kuò)大,生源的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)能力的差異性導(dǎo)致了高職院校的高等數(shù)學(xué)教學(xué)遇到了問題和挑戰(zhàn)。以揚(yáng)州職業(yè)大學(xué)為例,學(xué)生來源有提前招生、對(duì)口單招、對(duì)口注冊(cè)、高考統(tǒng)招、高考注冊(cè)。入學(xué)新生的數(shù)學(xué)成績(jī)參差不齊,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力、方式、興趣和接受程度也存在較大的差異。由于教師數(shù)量的限制,高等數(shù)學(xué)課程往往是合班上課,教師按照既定的全校通用的課程標(biāo)準(zhǔn)執(zhí)行教學(xué),無法兼顧不同層次的學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和需求,分層教學(xué)作為高校教學(xué)模式改革中的一把利器,根據(jù)學(xué)生基礎(chǔ)、能力的差異性設(shè)置不同的教學(xué)難度、教學(xué)方式和考核形式,可以有效緩解學(xué)生層次多樣化和教學(xué)固定化、單一化的矛盾,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣,提升學(xué)習(xí)的自信心,讓所有學(xué)生都能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有所收獲、有所進(jìn)步、有所發(fā)展。

在具體實(shí)施分層教學(xué)時(shí),通常采取的策略有:不考慮數(shù)學(xué)成績(jī),直接根據(jù)學(xué)生的來源實(shí)施分層[1];先對(duì)學(xué)生進(jìn)行文、理、經(jīng)、管等學(xué)科的分類,再在學(xué)科內(nèi)按照數(shù)學(xué)成績(jī)實(shí)施分層[2-4]。劉珊依據(jù)學(xué)生的入學(xué)成績(jī)和章節(jié)測(cè)試成績(jī)使用聚類分析的方法實(shí)施分層[5];曾亮將教學(xué)內(nèi)容分為若干模塊,根據(jù)各模塊得分利用聚類分析劃分層次[6]。單純的根據(jù)成績(jī)實(shí)施分層具有一定的不合理性,不符合我國高等教育對(duì)當(dāng)代大學(xué)生全面發(fā)展的要求。高等數(shù)學(xué)授課速度比中學(xué)要快,深度更深,課堂講授側(cè)重于解題思路和推導(dǎo),因此需要學(xué)生更多的自主學(xué)習(xí)和自我探索。在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中,學(xué)生除了具有必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)外,個(gè)人的學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)方法等非智力因素對(duì)成績(jī)的影響很大,占據(jù)了重要的地位。因此,本文綜合考慮學(xué)生的智力因素(數(shù)學(xué)入學(xué)測(cè)試成績(jī))和非智力因素(學(xué)習(xí)態(tài)度、方法、效率和心理),使用主成分分析和聚類分析方法實(shí)施高等數(shù)學(xué)的教學(xué)分層。

1 數(shù)據(jù)處理及初步分析

1.1 數(shù)據(jù)收集及整理

對(duì)擬進(jìn)行分層教學(xué)的班級(jí)發(fā)放并回收了400份調(diào)查問卷和數(shù)學(xué)入學(xué)測(cè)試試卷,調(diào)查問卷配有14個(gè)問題,具體有:你是否喜歡和同學(xué)討論數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到的難題?遇到數(shù)學(xué)難題時(shí),你會(huì)怎樣?平時(shí)上數(shù)學(xué)課的的基本感受是什么?你是否喜歡琢磨數(shù)學(xué)題的多種解題方法?聽課時(shí)你是否常做筆記?是否自己獨(dú)立完成數(shù)學(xué)作業(yè)?是否有先復(fù)習(xí)后作業(yè)的習(xí)慣?上課時(shí)你是否專心聽講,積極思考老師所講的內(nèi)容?對(duì)于老師當(dāng)天講授的內(nèi)容你會(huì)怎樣復(fù)習(xí)?自習(xí)時(shí)間怎么安排?怎樣完成老師布置的作業(yè)?對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣如何?老師對(duì)你適當(dāng)?shù)墓膭?lì)和表揚(yáng)能否提高你對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣?臨近重要的考試時(shí)你的心理狀況如何?將這些問題分別記為a1、a2、…、a14,其中a1-a4測(cè)試學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度,a5-a8測(cè)試學(xué)生的學(xué)習(xí)方法,a9-a11測(cè)試學(xué)生的學(xué)習(xí)風(fēng)格和學(xué)習(xí)效率,a12-a14測(cè)試學(xué)生的個(gè)性心理。每一個(gè)問題的選項(xiàng)都有4個(gè)等級(jí),分別記為1、2、3、4,等級(jí)越高說明該測(cè)試項(xiàng)正向得分越高。在考察學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)這一重要指標(biāo)時(shí),生源的多樣化導(dǎo)致高考數(shù)學(xué)成績(jī)這個(gè)變量存在較多的缺失值,極大地影響了模型的精確性和有效性,因而將學(xué)生的數(shù)學(xué)入學(xué)測(cè)試成績(jī)作為評(píng)判指標(biāo),記為a15,附在a1、a2、…、a14后以SPSS格式一并存入數(shù)據(jù)集。

1.2 信度和效度分析

信度和效度分析是檢驗(yàn)調(diào)查問卷是否合格的標(biāo)準(zhǔn)之一。信度即可靠性,是指使用相同指標(biāo)或測(cè)量工具重復(fù)測(cè)量相同事物時(shí),得到相同結(jié)果的一致性程度。目前最常用的是Alpha信度系數(shù),通常認(rèn)為,如果信度系數(shù)在0.9以上,表示量表的信度很好;如果信度系數(shù)在0.8～0.9之間,表示量表的信度可以接受;效度即有效性,是指測(cè)量工具能夠測(cè)出其所要測(cè)量的特征的正確性程度。效度越高,即表示測(cè)量結(jié)果越能顯示其所要測(cè)量的特征。目前最常用方法的是結(jié)構(gòu)效度分析,通常認(rèn)為,效度系數(shù)在0.7以上就說明量表的結(jié)構(gòu)效度良好。利用SPSS軟件對(duì)調(diào)查問卷做信度和效度分析(具體步驟略),得到的結(jié)果見表1,四個(gè)維度和總量的α信度系數(shù)均大于0.8,說明該調(diào)查問卷信度較好。如表2所示,KMO值為0.865,大于0.8,說明該調(diào)查問卷結(jié)構(gòu)效度良好。

表1 信度系數(shù)表

表2 KMO和巴特利特檢驗(yàn)表

2 相關(guān)性分析和主成分分析

輸入變量數(shù)量偏多,而且部分變量之間還存在著線性相關(guān)性,不僅增加了數(shù)據(jù)的維度,提高了建模的難度,還降低了模型運(yùn)行的速度以及結(jié)果的可解釋性和實(shí)用性。主成分分析是一種常用的多變量分析方法,在人口統(tǒng)計(jì)學(xué)、數(shù)量地理學(xué)、分子動(dòng)力學(xué)模擬和數(shù)學(xué)建模等學(xué)科中應(yīng)用十分廣泛,它設(shè)法將原先具有相關(guān)性的眾多變量重新組合成一組新的互相無關(guān)的綜合指標(biāo),從原始變量中導(dǎo)出的少數(shù)幾個(gè)主成分盡可能多的保留原始信息。首先利用SPSS軟件對(duì)這四個(gè)類別中的分類變量先進(jìn)行相關(guān)性分析,具體步驟為:“分析”—“降維”—“因子分析”,將a1-a14全部選擇為“變量”,依次點(diǎn)擊“描述”,選中“系數(shù)”、“KMO和巴特利特球形度檢驗(yàn)”,點(diǎn)擊“提取”,方法選中“主成分”,點(diǎn)擊“旋轉(zhuǎn)”,方法選中“最大方差法”,輸出“載荷圖”,點(diǎn)擊“得分”,選中“保存為變量”,方法選擇“回歸”,點(diǎn)擊“選項(xiàng)”,選中“按大小排序”,點(diǎn)擊“確定”,即可得到相關(guān)結(jié)果。

從程序運(yùn)行后給出的相關(guān)性矩陣可以看出,在分別對(duì)應(yīng)學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)效率和個(gè)性心理的測(cè)量中,每組組內(nèi)變量之間的相關(guān)系數(shù)均大于0.5,說明各組變量之間具有線性相關(guān)性。

接著進(jìn)行KMO和巴特利特檢驗(yàn),從表2可以看出,KMO總體檢驗(yàn)系數(shù)為0.865，大于0.8,巴特利特檢驗(yàn)p值小于0.01,從反鏡像相關(guān)矩陣可以看出,KMO單變量檢驗(yàn)系數(shù)均大于0.8,說明該數(shù)據(jù)集結(jié)構(gòu)合理,具有相關(guān)關(guān)系,適合進(jìn)行主成分分析。

成分的特征值即成分能解釋的方差。一般的,特征值在1以上就是重要的成分,表3為總方差解釋表，可以看出，前4個(gè)主成分的特征值均大于1,貢獻(xiàn)率分別是41.84%,13.66%,11.01%和10.30%,軟件分析發(fā)現(xiàn)，第5個(gè)及以后主成分的特征值小于1,且只能解釋3.69%的數(shù)據(jù)變異(小于5%),根據(jù)主成分的提取規(guī)則，提取前4個(gè)主成分,這4個(gè)主成分累計(jì)可以解釋76.80%的數(shù)據(jù)變異。

表3 總方差解釋

注：提取方法為主成分分析法。

調(diào)查問卷設(shè)計(jì)的初衷是利用a1-a4測(cè)試學(xué)習(xí)態(tài)度、a5-a8測(cè)試學(xué)習(xí)方法、a9-a11測(cè)試學(xué)習(xí)效率,a12-a14測(cè)試個(gè)性心理。從表4可知,提取的4個(gè)主成分解釋的變量信息與上述分類完全一致,對(duì)應(yīng)的,第一主成分反映的是學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度(a1-a4),第二主成分反映的是學(xué)習(xí)方法(a5-a8),第三主成分反映的是個(gè)性心理(a12-a14),第四主成分反映的是學(xué)習(xí)效率(a9-a11)。

3 聚類分析

根據(jù)主成分提取的結(jié)果,將生成的4個(gè)主成分得分作為新的變量放在數(shù)據(jù)集中,與學(xué)生的數(shù)學(xué)入學(xué)測(cè)試成績(jī)一起作為輸入變量進(jìn)行聚類分析。以往的研究以及大量教學(xué)實(shí)踐表明:實(shí)施分層教學(xué)時(shí)將學(xué)生劃分為高、中、低三個(gè)層次比較符合教學(xué)規(guī)律,易于教學(xué)管理。使用SPSS軟件進(jìn)行聚類分析,具體步驟為:“分析”—“分類”—“系統(tǒng)聚類”,將入學(xué)測(cè)試成績(jī)“a15”和四個(gè)主成分全部選擇為“變量”,點(diǎn)擊“統(tǒng)計(jì)”,將聚類數(shù)設(shè)置為“3”,點(diǎn)擊“方法”,聚類方法設(shè)置為“瓦爾德法”,區(qū)間設(shè)置為“平方歐式距離”,運(yùn)行后即可得到3個(gè)聚類層次,將這3個(gè)聚類分別記為A、B、C層,其中A層學(xué)生有94人,入學(xué)測(cè)試成績(jī)均值為69.31分,學(xué)習(xí)成績(jī)較好,該層學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度端正,學(xué)習(xí)方法合理,學(xué)習(xí)效率較高,學(xué)習(xí)興趣濃厚,有轉(zhuǎn)本、升本等進(jìn)一步深造的強(qiáng)烈需求,學(xué)習(xí)上對(duì)自己要求比較嚴(yán)格;C層學(xué)生有83人,入學(xué)測(cè)試成績(jī)均值僅為26.79分,該層學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)非常差,對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)沒有興趣,對(duì)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著抵觸情緒,持放棄態(tài)度,課堂教學(xué)參與度比較低;而定位于中等層次的B層學(xué)生人數(shù)最多,達(dá)到223人,占比約56%,該層學(xué)生入學(xué)測(cè)試成績(jī)均值為51.70分,成績(jī)中等,學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較薄弱,對(duì)高等數(shù)學(xué)有畏難情緒,學(xué)習(xí)興趣不大,抱著得過且過的思想,能夠接受相對(duì)容易理解的高等數(shù)學(xué)知識(shí)。

表4 旋轉(zhuǎn)后的成分矩陣

注：1.旋轉(zhuǎn)在 5 次迭代后已收斂;2.取方法為主成分分析法；3.旋轉(zhuǎn)方法為凱撒正態(tài)化最大方差法。

4 直接聚類與降維聚類的比較

在SPSS軟件中直接將a1到a15這15個(gè)變量作為輸入變量進(jìn)行K-means聚類分析,聚類數(shù)設(shè)置為3,運(yùn)行后統(tǒng)計(jì)各層人數(shù)及入學(xué)測(cè)試成績(jī)的均分、方差和平均標(biāo)準(zhǔn)誤,由表5、表6可知,直接聚類劃分出的C層與上述先降維再聚類得到的結(jié)果完全一致,降維聚類劃分的B層入學(xué)測(cè)試成績(jī)的方差和平均標(biāo)準(zhǔn)誤均小于直接聚類,說明降維聚類對(duì)B層的劃分更優(yōu);而直接聚類劃分出的A層學(xué)生數(shù)量縮減為80個(gè),將14個(gè)對(duì)數(shù)學(xué)具有較強(qiáng)學(xué)習(xí)動(dòng)力和學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)態(tài)度比較端正的學(xué)生分到了B層,一定程度上會(huì)打擊這部分學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,使學(xué)生對(duì)分層模式的有效性產(chǎn)生懷疑和抵觸情緒,不利于學(xué)生的全面發(fā)展和分層教學(xué)的順利實(shí)施,其科學(xué)性和合理性較降維聚類有所降低。

5 結(jié)語

在實(shí)施高等數(shù)學(xué)教學(xué)分層時(shí),本文首先利用調(diào)查問卷測(cè)試學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)效率和個(gè)性心理等非智力因素,并對(duì)問卷做信度和效度分析,保證了問卷的可靠性和有效性,接著通過主成分分析將眾多相關(guān)變量進(jìn)行降維,得到反映非智力因素的4個(gè)主成分,再綜合入學(xué)測(cè)試成績(jī),將主觀能動(dòng)性和客觀因素相互結(jié)合進(jìn)行聚類分析,劃分成3個(gè)教學(xué)層次。該方法不僅明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的按成績(jī)分層,而且與直接聚類相比,提升了一部分學(xué)習(xí)意愿較強(qiáng)、積極向上的學(xué)生的層次,在平均標(biāo)準(zhǔn)誤變化不大的情況下,分層的科學(xué)性和精確性有所提高。

表5 直接聚類分層統(tǒng)計(jì)

表6 降維聚類分層統(tǒng)計(jì)