例談賦值取點(diǎn)幕后的精彩*

湖南省長沙市天心區(qū)書香路明德中學(xué)(410009) 楊果

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式、利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍是近年來高考命制壓軸題的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)中的難點(diǎn)，對學(xué)生的思維要求很高.

要破解這些問題很多時候都繞不開對函數(shù)零點(diǎn)的找尋，但很多函數(shù)的零點(diǎn)是難以解出來的，只能利用零點(diǎn)存在定理和單調(diào)性設(shè)而不求，這其中少不了“賦值取點(diǎn)”和“放縮法”兩大利器，然而賦什么樣的值? 取什么樣的點(diǎn)? 如何放縮? 怎樣想到要這樣做? 常讓人感到天馬行空，以至于不少學(xué)生連參考答案都難以完全看懂，感覺某一個式子出現(xiàn)得很突兀，很不自然，就像“魔術(shù)師的帽子里突然蹦出一只兔子”似的.

事實(shí)上，參考答案的解答都是在經(jīng)歷了一系列邏輯推理后給出的完美呈現(xiàn)，是給臺前的觀眾看的，而看不見的幕后精彩則需要用重要的數(shù)學(xué)思想——“分析法”、“放縮法”來還原.

1.案例分析

例1(2015年高考全國I 卷文科數(shù)學(xué)第21 題)設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-a ln x.

(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)零點(diǎn)的個數(shù);(2)略.

解(1) f(x) 的定義域?yàn)?0,+∞)，(x ＞0).當(dāng)a ≤0 時， 恒有f′(x) ＞0， 故f′(x) 沒有零點(diǎn);當(dāng)a ＞0 時， 因?yàn)閑2x單調(diào)遞增，單調(diào)遞增， 所以f′(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增，又f′(a) ＞0，當(dāng)b 滿足且時，f′(b)＜0，故當(dāng)a ＞0 時，f′(x)存在唯一零點(diǎn).

深入剖析對于a ＞0，f′(a) = 2e2a-1 ＞0 容易想到，但在尋找f′(b)＜0 時，為何取且呢? 事實(shí)上，為了使只需將2e2b縮小一點(diǎn)，將放大一點(diǎn)，例如先取正數(shù)使因?yàn)樗栽僮尲纯桑粗恍柙偃〖纯?從以上分析和放縮可以看出，b 的取法顯然不是唯一的，照此取法還可先取正數(shù)使2e2b＜2e，因?yàn)?e ＜6，所以再讓即可， 即只需再取即可， 故取且同樣能使f′(b)＜0.

例2(2017年高考全國I 卷理科數(shù)學(xué)第21 題)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1) 討論f(x)的單調(diào)性;(2) 若f(x)有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍.

解(1)f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞)，f′(x) = 2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1)，

(1.1) 若a ≤ 0， 則恒有f′(x) ＜ 0， 所以f(x) 在(-∞,+∞)單調(diào)遞減.

(1.2 ) 若a ＞ 0， 則由f′(x) = 0 得x = -ln a.當(dāng)x ∈(-∞,-ln a) 時， f′(x) ＜0; 當(dāng)x ∈(-ln a,+∞)時， f′(x) ＞ 0， 所以f(x) 在(-∞,-ln a) 單調(diào)遞減， 在(-ln a,+∞)單調(diào)遞增.

(2)(2.1) 若a ≤0，由(1)知，f(x)至多只有一個零點(diǎn).

(2.2) 若a ＞ 0， 由(1) 知， f(x)min= f(-ln a) =+ln a.

①當(dāng)a = 1 時，由于f(x)min= f(-ln a) = 0，故f(x)只有一個零點(diǎn);

設(shè)正數(shù)n0滿足則en0＞所以f(n0) = en0(aen0+a-2)-n0＞en0-n0＞0，由于ln a，因此f(x)在(-ln a,n0)有一個零點(diǎn)，故f(x)在? 上有兩個零點(diǎn).綜上，a 的取值范圍為(0,1).

深入剖析此處取更讓人驚呼不可思議， 怎么想得到呢? 事實(shí)上， 利用切線法容易發(fā)現(xiàn)x ＜x+1 ≤ex，由此可采取放縮： x ＜ex，得到

令aex+a-3 ＞0 得解得注意到ln因此想要在(-ln a,+∞)內(nèi)取n0使f(n0)＞0，只需取即可.

例3(2018年長沙市一中模擬考試第21 題)已知函數(shù)

(1)當(dāng)a=e 時，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)a ＞e 時，證明： f(x)≥a-a ln a.

解(1)略.(2)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，

當(dāng)0 ＜x ＜1 時g′(x) ＜0， 當(dāng)x ＞1 時g′(x) ＞0， 所以g(x) 在(0,1) 遞減， 在(1,+∞) 遞增.下面先證x ＞0 時記

則h′(x) = ex- x - 1， 易知ex≥x + 1， 所以h′(x) ＞0， 所以h(x) 在(0,+∞) 遞增， 所以h(x) ＞ h(0) = 0，故所以從而因?yàn)閍 ＞ e， 所以+a+1- a =+1 ＞0， g(1) = e -a ＜0， 另一方面我們注意到且所以(1,2a) 使g(x1)=g(x2)=0，且當(dāng)x ∈(0,x1)∪(x2,+∞)時g(x)＞0，當(dāng)x ∈(x1,x2)時g(x) ＜0.注意到0 ＜x1＜1 ＜x2， 故當(dāng)x ∈(0,x1)時f′(x) ＜0，當(dāng)x ∈(x1,1)時f′(x) ＞0，當(dāng)x ∈(1,x2) 時f′(x) ＜0， 當(dāng)x ∈(x2,+∞) 時f′(x) ＞0，故f(x) 在(0,x1) 遞減， 在(x1,1) 遞增， 在(1,x2) 遞減，在(x2+∞) 遞增， 所以f(x)min= min{f(x1),f(x2)}.由知所以ln x1-x1= -ln a，所以同理f(x2)=a-a ln a，所以f(x)≥a-a ln a.

深入剖析本題讓學(xué)生感到最不可思議之處是對于ex的放縮：是怎么想到的? 事實(shí)上，有時高考命題的靈感會來自高等數(shù)學(xué)的一些簡單公式[1]，例如下面.

泰勒展開式設(shè)f(x)在a 的一個鄰域內(nèi)有n-1 階導(dǎo)數(shù)，在a 點(diǎn)有n 階導(dǎo)數(shù)f(n)(a)，則

設(shè)f(x) = ex，取a = 0，即得

由此發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x ＞0 時，若展開兩項(xiàng)可得ex＞x+1，若展開三項(xiàng)可得如此放縮，后面的賦值取點(diǎn)就容易得多了，所以說放縮是為賦值取點(diǎn)服務(wù)的!

利用泰勒展開式為背景編制的高考真題還有如下兩例，有興趣的讀者不妨一試.

例4(2010年新課標(biāo)卷理科第21 題第2 問) 設(shè)f(x) = ex-1-x-ax2.若x ≥0 時f(x) ≥0， 求a 的取值范圍.

例5(2015年高考北京卷理科第18 題第2 問)已知函數(shù)求證：當(dāng)x ∈(0,1)時，f(x)＞2

2.教學(xué)感悟

波利亞認(rèn)為掌握數(shù)學(xué)就需要善于解一些要求獨(dú)立思考、思路合理、見解獨(dú)到和有發(fā)明創(chuàng)造的題.這就需要冷靜地分析和深入地探究，對萬事萬物都應(yīng)透過表層審視內(nèi)部，追本溯源，只有回歸問題的本質(zhì)才能洞察其中的機(jī)理.

這就要求教師在解題教學(xué)時不能唯參考答案是從，必須啟發(fā)學(xué)生學(xué)會去分析為什么要這樣解，讓學(xué)生知其然還要知其所以然，教學(xué)才能做到以理服人;和學(xué)生一道去探尋解題幕后的精彩故事，在探究中滲透數(shù)學(xué)思想方法，在分析中提升學(xué)生邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).