利用點(diǎn)的坐標(biāo)運(yùn)算探究橢圓的一些幾何性質(zhì)

廣東省廣州市執(zhí)信中學(xué)(510080) 朱清波

在高中數(shù)學(xué)解析幾何章節(jié)中，橢圓的幾何性質(zhì)探究是一個(gè)重要的部分，一般情況下我們多采用直線和曲線方程聯(lián)立，再利用根與系數(shù)的關(guān)系和整體代換的思想來(lái)處理相關(guān)問(wèn)題，體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.但這類問(wèn)題“形”轉(zhuǎn)化成“數(shù)”的研究占據(jù)絕大多數(shù)，而通過(guò)“數(shù)”中運(yùn)算來(lái)發(fā)現(xiàn)“形”的性質(zhì)問(wèn)題則非常少.即總是先有幾何結(jié)論再去代數(shù)驗(yàn)證，缺乏幾何結(jié)論的原始發(fā)現(xiàn)過(guò)程.事實(shí)上，從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程入手，借助點(diǎn)的坐標(biāo)形式我們能從一些代數(shù)運(yùn)算的結(jié)構(gòu)中發(fā)現(xiàn)橢圓的某些幾何性質(zhì)，從而體會(huì)到代數(shù)結(jié)構(gòu)的背后隱藏著幾何性質(zhì)的數(shù)學(xué)之美.

性質(zhì)1若P(x0,y0) 是橢圓第一象限內(nèi)一點(diǎn)， A,B 分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，記△POA,△POB,△AOB 面積分別為S△POA,S△POB,S△AOB，則

圖1

解析故結(jié)論成立.(注：動(dòng)點(diǎn)P 在其它象限或坐標(biāo)軸上也有類似結(jié)論.)

繼續(xù)由等式b2x2+ a2y2= a2b2， 通過(guò)配方得到(bx+ay)2+(bx-ay)2=2a2b2，將其“主動(dòng)”轉(zhuǎn)化成一個(gè)有幾何意義的結(jié)構(gòu)新等式中左邊出現(xiàn)的是點(diǎn)到線的距離公式，這揭示了橢圓的又一個(gè)幾何性質(zhì)：

性質(zhì)2已知P 是橢圓上任一點(diǎn)， 設(shè)P 到兩直線bx ± ay = 0 的距離分別為d1,d2，則為定值.(證明過(guò)程略)

接下來(lái)我們考慮橢圓上有兩個(gè)點(diǎn)帶來(lái)的幾何性質(zhì)，假設(shè)點(diǎn)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，均在橢圓上，那么必然有

圖2

性質(zhì)3設(shè)AB 是橢圓的弦， P 為AB 的中點(diǎn)， 若直線AB 和直線OP 斜率均存在，則兩斜率之積為

圖3

證明記直線AB 和直線OP 斜率分別為k1,k2，A(x1,y1)， B(x2,y2)， 則故即結(jié)論成立.

繼續(xù)探究?jī)牲c(diǎn)均在橢圓上的情況，若將(1)和(2)兩式相乘，整理后可得(b2x1x2+a2y1y2)2+a2b2(x1y2-x2y1)2=a4b4，考慮到△AOB 的面積公式則上式可化為4a2b2·=a4b4-(b2x1x2+a2y1y2)2≤a4b4，即則上述推導(dǎo)過(guò)程表明橢圓具有如下性質(zhì)：

性質(zhì)4設(shè)AB 是橢圓的動(dòng)弦，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB 的面積最大值為

圖4

圖5

解析由上述推導(dǎo)可知結(jié)論無(wú)誤， 且取等條件為b2x1x2+ a2y1y2= 0， 在直線OA,OB 斜率kOA,kOB均存在的情況下，取等條件可表述成

若將上述兩等式(1)和(2)相加，整理后得b2(x1+x2)2+a2(y1+ y2)2- 2(b2x1x2+ a2y1y2) = 2a2b2.如圖5， 設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，現(xiàn)新增條件“O 是△ABC 重心”，即有代入上式可繼續(xù)化簡(jiǎn)，即為由C 在橢圓上，則有結(jié)合性質(zhì)4 中相乘后的恒等式(b2x1x2+a2y1y2)2+a2b2(x1y2-x2y1)2=a4b4，則有再利用重心知識(shí)，此推導(dǎo)過(guò)程表明橢圓具有如下性質(zhì)：

性質(zhì)5已知△ABC 是橢圓的內(nèi)接三角形，且坐標(biāo)原點(diǎn)O 為其重心，則△ABC 的面積為定值

最后，若將(1)(2)式改為

性質(zhì)6已知AB 是橢圓的弦，A′與A 關(guān)于x 軸對(duì)稱，設(shè)直線AB,A′B 分別與x 軸交于P,Q 兩點(diǎn)，則|OP|·|OQ|=a2.

圖6

證明設(shè)A(x1,y1)， B(x2,y2)， 則直線AB 方程為：令y =0，得同理，將y1換成-y1，可得則有|OP|·a2.

通過(guò)上述推導(dǎo)，我們發(fā)現(xiàn)利用點(diǎn)的坐標(biāo)符合橢圓方程能導(dǎo)出橢圓隱藏的一些優(yōu)美的性質(zhì)，這需要我們?cè)谡n堂教學(xué)中打破那種總是用直線和曲線聯(lián)立的類似驗(yàn)證的慣性思維.從坐標(biāo)形式出發(fā)，在耐心的運(yùn)算中作一些聯(lián)想和推導(dǎo)，即可以從另一個(gè)角度來(lái)感受圓錐曲線隱藏著的這些幾何性質(zhì)的美妙.