綜合孔徑輻射計(jì)反演成像算法研究

晁 坤 陳后財(cái) 趙振維 吳振森

（1.西安電子科技大學(xué)，陜西 西安 710071；2.中國電波傳播研究所，山東 青島 266107）

1.引 言

從上世紀(jì)50年代開始，射電天文學(xué)中的綜合孔徑技術(shù)被引入到輻射計(jì)的研究當(dāng)中，極大地推動(dòng)了被動(dòng)遙感技術(shù)的發(fā)展。它的基本思想是采用空間頻率域的測量代替?zhèn)鹘y(tǒng)輻射計(jì)對(duì)空間域的直接測量，具有高分辨率等優(yōu)點(diǎn)［1］。綜合孔徑輻射計(jì)的基本構(gòu)成單元是二元干涉儀，通過不同長度基線的干涉測量結(jié)果進(jìn)行處理從而反演被觀測區(qū)域的亮度溫度分布［2－3］。由于多天線單元的孔徑綜合作用，可提高天線陣的空間分辨能力。目前用于遙感等的綜合孔徑輻射計(jì)為了能夠獲得高空間分辨率通?？刹捎脽o冗余設(shè)計(jì)。無冗余天線陣列使U－V頻率覆蓋點(diǎn)（空間頻率采樣點(diǎn)）盡量多，從而提高反演效果。當(dāng)天線陣列的分布確定后，采用合適的反演成像算法反演被測物的亮度溫度分布是綜合孔徑輻射計(jì)被動(dòng)探測系統(tǒng)的關(guān)鍵問題之一。

何云濤等學(xué)者根據(jù)可視度函數(shù)（Visibility Function，VF）與目標(biāo)亮度溫度之間為傅里葉變換的關(guān)系，提出了各種基于傅里葉變換的反演算法并已成功地用于“U，T，十”形天線陣結(jié)構(gòu)的成像系統(tǒng)中［4］；1978年 Stogryn把 Backus－Gilbert理論應(yīng)用于星載機(jī)械掃描成像系統(tǒng)的反演問題上（BG算法），取得了較為理想的反演數(shù)據(jù)。但這兩種算法都有一定的缺陷，前者對(duì)硬件系統(tǒng)要求很高且成像誤差大；后者G矩陣的測量要求比較嚴(yán)格，且運(yùn)算量大，速度慢，實(shí)現(xiàn)時(shí)靈活性不夠?？偨Y(jié)前人算法，提出了一種基于視場細(xì)分的綜合孔徑輻射計(jì)反演成像算法，較好地克服了以上兩種方法的不足，具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。

2.綜合孔徑輻射被動(dòng)成像的傅里葉變換法

目標(biāo)亮度溫度與可視度函數(shù)之間的傅里葉變換關(guān)系適用于任何綜合孔徑輻射計(jì)。為方便論述，以二維圓周綜合孔徑輻射計(jì)為研究對(duì)象，基本構(gòu)成單元是二元干涉儀，即天線陣中任意兩天線形成的子陣列，如圖1所示。

圖1 二元干涉儀示意圖

在理想信道的情況下，n元陣列的可視度函數(shù)及反演亮溫存在如下關(guān)系

式中：（u，v）是第i，j個(gè)天線對(duì)應(yīng)的可視度函數(shù)，其對(duì)應(yīng)的歸一化采樣點(diǎn)坐標(biāo)為 （uij，vij），uij＝ （xixj）／λ，vij＝ （yi－yj）／λ；（xi，yi）、（xj，yj）分別為天線單元i，j的坐標(biāo)；T（ξ，η）為視場中 （ξ，η）點(diǎn)處的亮溫。

可得目標(biāo)反演亮溫為

在實(shí)際測量中，得到的Vij（u，v）是從n個(gè)天線單元上接收到信號(hào)做的復(fù)相關(guān)函數(shù)。由于空間頻率采樣點(diǎn)（下文簡稱為采樣點(diǎn)）數(shù)不可能無限多，只能得到離散的采樣點(diǎn)上的可視度函數(shù)值，即有

式（3）中包含n2－n＋1個(gè)離散采樣點(diǎn)。這是綜合孔徑輻射計(jì)傅里葉反演算法的基本原理［5］。這種方法得到的亮溫反演結(jié)果顯然和實(shí)際亮溫值有較大差異，只有增加采樣點(diǎn)數(shù)才能提高反演效果。為了彌補(bǔ)此種方法的采樣點(diǎn)不足，現(xiàn)在使用較多的方法是采用插值技術(shù)將采樣數(shù)據(jù)插值到規(guī)則網(wǎng)格點(diǎn)上，然后再利用傅里葉變換來進(jìn)行快速成像。

假設(shè)將原來的n2－n＋1個(gè)采樣點(diǎn)插值成（2P＋1）（2Q＋1）個(gè)，則式（2）可轉(zhuǎn)化為

式中：Vpq（up，vq）為插值后的第 （p，q）個(gè)可視度函數(shù)；（up，vq）為第 （p，q）條基線在X軸和Y軸上的投影；T（p，q）為插值后對(duì)應(yīng)第 （p，q）采樣點(diǎn)處的反演亮溫。

此方法具有運(yùn)算速度快的優(yōu)點(diǎn)，但可視度函數(shù)的插值存在很大的誤差，且不同的陣列排列需要根據(jù)采樣點(diǎn)的分布特征采用不同的插值方法。如“Y”形陣可采用六邊形網(wǎng)格插值算法，圓形陣采用偽極網(wǎng)格插值算法，相當(dāng)繁瑣且會(huì)造成反演圖像的失真。在實(shí)際探測時(shí)，由于天線及接收機(jī)的誤差會(huì)導(dǎo)致可視度函數(shù)的測量過程中出現(xiàn)各種偏差，不能直接利用測得的可視度函數(shù)值通過傅里葉變換求得亮溫分布，必須經(jīng)過嚴(yán)格的校正。

3.基于Backus－Gilbert理論的反演算法（BG算法）

BG算法的核心思想是通過測量各個(gè)基線的點(diǎn)源響應(yīng)，也稱為基函數(shù)來反演亮溫［6－7］。將式（1）離散化后寫成矩陣相乘的形式，得

式中：V是含各采樣點(diǎn)（ij序列）的可視度函數(shù)值形成的一維數(shù)組，共n2－n＋1個(gè)；T為P×Q的二維矩陣，T（l，m）反映的是探測區(qū)域中 （l，m）點(diǎn)處的真實(shí)亮溫；令N＝n2－n＋2，則G為N×P×Q的三維矩陣，也稱為調(diào)制矩陣。顯然，G矩陣的各元素由各基線的基函數(shù)確定，可以通過測量各基線的點(diǎn)源沖擊響應(yīng)求得。其中P，Q取值越大，反演圖像越平滑。在V，G確定的情況下，由式（2）根據(jù)Backus－Gilbert理論，即可得反演亮溫為

式中：GH為G的共軛轉(zhuǎn)置矩陣。

只要測出系統(tǒng)矩陣C并固化，再測出各采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的可視度函數(shù)V，就能反演出亮溫.此算法可在保證綜合天線方向圖歸一化的前提下得到很好的反演成像。但是，存在的突出問題是G矩陣測量困難，求C矩陣時(shí)計(jì)算量過大，不利于實(shí)時(shí)成像。一旦C矩陣為病態(tài)矩陣，很小的可視度函數(shù)誤差便可能帶來很大的反演成像誤差。

4.基于視場細(xì)分的改進(jìn)反演算法

提出一種基于視場細(xì)分的反演成像算法，并考慮了實(shí)際系統(tǒng)的誤差。

由前述可知，矩陣形式的理想模型為

實(shí)際模型，對(duì)可視度函數(shù)引入一個(gè)不可消除的誤差分量所組成的矩陣E，定義如下

則，有誤差時(shí)的V矩陣為＝E·V

假設(shè)存在一P×Q×N階的三維矩陣K，使得真實(shí)的反演亮溫為：

引入亮溫誤差矩陣△T：

采用亮溫誤差矩陣中所有元素的均方差來衡量誤差對(duì)成像影響的大小

為方便計(jì)算，將G矩陣變換成N×P·Q的二維矩陣，將K矩陣變換成P·Q×N的二維矩陣，則可得Δe最小時(shí)的K的最小二乘解為

此時(shí)K是BG算法中包含誤差的系統(tǒng)調(diào)制矩陣C。

在不考慮誤差的情況下，

即為采用BG算法時(shí)理想情況下的系統(tǒng)調(diào)制矩陣，如式（6）所示。

改進(jìn)的反演成像算法只計(jì)算主對(duì)角上的誤差，即不考慮各亮溫之間的相互“干擾”，則每個(gè)細(xì)分后的子視場的誤差為

若各誤差的符號(hào)相同，則Δe（l，m）達(dá)到最大值，即每個(gè)子視場的自身誤差占主導(dǎo)地位，反演成像效果最好。所以采用此算法不需要嚴(yán)格的校準(zhǔn)可適度函數(shù)，而只要將各可視度函數(shù)校成在同方向變化（都偏大或都偏?。┘纯?。通過仿真分析可知這種方法是可行的，它可以使系統(tǒng)中不可消除的誤差分量對(duì)反演成像的影響最小化。需要注意的是此反演模型只考慮了主對(duì)角上的元素，并未考慮各反演亮溫之間的影響，所以用于點(diǎn)源或亮溫分布均勻的面源效果較好，對(duì)于視場亮溫分布比較復(fù)雜時(shí)的反演效果還有待研究。

因此，若有

由式（9）、（16）得實(shí)際反演亮溫的表達(dá)式為

式（17）與式（2）給出的亮溫反演表達(dá)式的離散情況是一致的，說明能很好地反演出亮溫，且對(duì)誤差有很好的抑制作用。式（17）的物理意義為：某點(diǎn)的反演亮溫實(shí)際上是將每個(gè)采樣點(diǎn)得到的此點(diǎn)亮溫的累加，因此，第（l，m）個(gè)矩形區(qū)域的反演亮溫T（l，m）為采樣點(diǎn)從k＝1到k＝N所得亮溫的和。令

由于采樣點(diǎn)總是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱分布，且原點(diǎn)為自相關(guān)對(duì)應(yīng)的采樣點(diǎn)，所以可將可視度函數(shù)寫成復(fù)數(shù)形式

和為正交的兩路采樣信號(hào)，故式（17）可化為

因此，只要通過各天線單元接收到的信號(hào)求出可視度函數(shù)Vij（u，v）并進(jìn)行簡單地校正，便能按P×Q按個(gè)像素很好地反演出視場中對(duì)應(yīng)像素的亮溫。算法的實(shí)質(zhì)是通過對(duì)視場的細(xì)分來提高了采樣率并可使誤差對(duì)成像質(zhì)量的影響最小化。此方法簡單實(shí)用，不需嚴(yán)格的校準(zhǔn)可視度函數(shù)的測量誤差，既彌補(bǔ)了傅里葉變換算法及BG算法的一些缺點(diǎn)、準(zhǔn)確、快速。

5.仿真分析

通過仿真分析，著重比較BG算法和視場細(xì)分改進(jìn)算法。假設(shè)目標(biāo)為正方形形狀，接收到的等效亮溫為250K，背景亮溫為0K。

陣列為16單元圓周陣，陣列排布方法見參考文獻(xiàn)［8］［9］。圖2給出了仿真的原始圖像。兩種算法在不同測量誤差情況下的成像結(jié)果如圖3所示，圖像分辨率均為100×100像素。此處引入均方誤差來判斷不同方法成像的質(zhì)量。成像結(jié)果與原始圖像的均方誤差按如下公式計(jì)算：

圖2 仿真分析原始圖像

式中：ti為第i個(gè)像素的反演亮溫；Bi是其對(duì)應(yīng)的目標(biāo)真實(shí)亮溫；N為成像像素總數(shù)。表1列出兩種算法成像耗時(shí)及與原始圖像均方差的對(duì)比結(jié)果。

表1 兩種算法成像耗時(shí)及均方誤差對(duì)比

綜上所述，傳統(tǒng)傅里葉反演變換成像算法若使用簡單的插值方法成像效果是比較差的，且對(duì)硬件設(shè)備的要求很高，所以使用傅里葉反演變換成像算法用于實(shí)際的系統(tǒng)會(huì)使成像存在很多不可消除的誤差，影響了成像的質(zhì)量。傅里葉反演變換成像算法的優(yōu)點(diǎn)是它的成像速度快。

BG算法的成像效果要明顯好于傅里葉反演變換成像算法，成像清晰。此算法可在保證綜合天線方向圖歸一化的前提下得到很好的反演成像，但是存在的突出問題是G矩陣測量難，求其逆矩陣C矩陣時(shí)計(jì)算量過大，不利于實(shí)時(shí)成像。且C矩陣為病態(tài)矩陣，所以很小的可視度函數(shù)測量誤差便可能帶來巨大的反演成像誤差。

相比而言，在系統(tǒng)具有不可消除的誤差分量時(shí)，視場細(xì)分反演成像算法的成像效果相對(duì)BG算法有進(jìn)一步提高，成像清晰。其突出的優(yōu)點(diǎn)是在成像清晰的前提下，運(yùn)算耗時(shí)非常小。它彌補(bǔ)了以上兩種算法的缺點(diǎn)，可以很好地用于實(shí)際的實(shí)時(shí)成像系統(tǒng)中，而且因?yàn)橛?jì)算每個(gè)細(xì)分后視場的亮溫是相互獨(dú)立的，故可采用高性能計(jì)算機(jī)進(jìn)行多線程并行運(yùn)算。本文采用該算法成像仿真所耗時(shí)間是在MATLAB下使用單線程處理的，如采用n線程并行計(jì)算，則實(shí)際運(yùn)算速度會(huì)快n倍。

6.結(jié) 論

反演成像算法設(shè)計(jì)是綜合孔徑輻射計(jì)的關(guān)鍵技術(shù)之一。本文提出了基于視場細(xì)分的新反演成像算法。該方法將視場細(xì)分成等大小的矩形子視場，然后分別對(duì)各子視場反演成像，仿真分析表明該算法成像效果好，運(yùn)算速度塊，證明了此算法的正確性和有效性，對(duì)綜合孔徑輻射計(jì)實(shí)際應(yīng)用系統(tǒng)的反演成像算法設(shè)計(jì)具有重要的參考價(jià)值。

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