《九章算術(shù)》勾股章及其劉徽注中的變式思想①

齊春燕 汪曉勤

(1. 嶺南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 524048; 2.華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

眾所周知，變式教學(xué)是我國(guó)傳統(tǒng)的教學(xué)方式.在教學(xué)過(guò)程中，教師在保持概念、公式、定理、圖形等的本質(zhì)屬性不變的前提下，通過(guò)改變概念的表述方式、變換問(wèn)題的條件和試題的內(nèi)容和形式、改變圖形的形狀、位置和大小等在不變中求變，在變中求不變，引導(dǎo)在求異、思變中創(chuàng)新，以培養(yǎng)學(xué)生良好的創(chuàng)造性思維品質(zhì)和創(chuàng)造性學(xué)習(xí)的能力.鮑建生等認(rèn)為，用于構(gòu)建特定經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)的變式，通常來(lái)自問(wèn)題解決的三種拓展[1]：(1)一題多變；(2)一題多解；(3)一法多用.

變式思想并非現(xiàn)代教育的產(chǎn)物.沈康身先生在介紹中算家的“教學(xué)思想”時(shí)，曾簡(jiǎn)要提及一題多解方面的工作[2].本文對(duì)《九章算術(shù)》勾股章及其劉徽注進(jìn)行深入分析，試圖較全面地揭示其中的變式思想，以拓展教育取向的數(shù)學(xué)史研究的內(nèi)涵.

1 《九章算術(shù)》勾股章的內(nèi)容

《九章算術(shù)》是我國(guó)最重要的數(shù)學(xué)經(jīng)典之一，書(shū)中包含246個(gè)問(wèn)題，這些問(wèn)題可分為九類(lèi)，形成九章.其中，勾股章專(zhuān)門(mén)討論有關(guān)直角三角形問(wèn)題，含24問(wèn)，由三部分組成.第1-13問(wèn)為勾股定理的應(yīng)用題，具體內(nèi)容是已知a,b,c,a+b,b+c,a+c,b-a,c-a,c-b中的兩個(gè)元素，求其他元素；第15-20，22-24問(wèn)為相似直角三角形的應(yīng)用題，包括勾股容方、勾股容圓以及其他測(cè)量問(wèn)題；第14和21兩問(wèn)為勾股數(shù)問(wèn)題.

設(shè)a,b,c分別為(小)直角三角形的勾、股、弦，d為直角三角形內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)，x,y分別為直角三角形內(nèi)接長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，D為直角三角形內(nèi)切圓的直徑，24個(gè)問(wèn)題[3]的相關(guān)信息見(jiàn)表1.

表1 24個(gè)問(wèn)題相關(guān)信息表

續(xù)表

續(xù)表

2 一題多變

一題多變是題目結(jié)構(gòu)的變式，通過(guò)改變題目的條件或目標(biāo)，從不同角度、不同方面揭示題目的實(shí)質(zhì).美國(guó)學(xué)者希爾佛(Silver)等人[4][5]的研究表明，根據(jù)已有問(wèn)題提出新問(wèn)題的具體策略有四種：

(1)條件操作，即改變現(xiàn)有問(wèn)題的已知條件，而保持所求目標(biāo)不變；

(2)目標(biāo)操作，即改變現(xiàn)有問(wèn)題的所求目標(biāo)，而保持已知條件不變；

(3)對(duì)稱(chēng)互換，即將現(xiàn)有問(wèn)題的條件和目標(biāo)互換；

(4)新舊鏈接，即以現(xiàn)有問(wèn)題的目標(biāo)為條件，提出新問(wèn)題.

表2給出基于勾股章第1題提出新問(wèn)題的具體例子.

表2 基于勾股章第1題的問(wèn)題提出舉例

其中，條件式策略包括兩種情形：(1)改變已知條件中的具體數(shù)據(jù)，我們稱(chēng)之為條件操作Ⅰ；(2)改變已知條件的類(lèi)型，稱(chēng)為條件操作Ⅱ.如在直角三角形ABC中，將條件a=5，b=12改成a=8，b=15，即為條件操作Ⅰ；將條件a，b改為a，c-b或c-a,b，但保持目標(biāo)不變，則為條件操作Ⅱ.如果數(shù)據(jù)和類(lèi)型都改變，則仍歸為條件操作Ⅱ.

圖1給出了勾股章諸問(wèn)題之間的關(guān)系.從圖中可見(jiàn)，問(wèn)題1是所有24個(gè)問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn).從該問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)條件操作Ⅰ得到問(wèn)題5，通過(guò)對(duì)稱(chēng)互換分別得到問(wèn)題2和3.從問(wèn)題3出發(fā)，通過(guò)條件操作Ⅱ，得到問(wèn)題11.從問(wèn)題2出發(fā)，通過(guò)條件操作Ⅰ和Ⅱ，分別得到問(wèn)題4、6和13.從問(wèn)題13出發(fā)，通過(guò)對(duì)稱(chēng)互換，得到問(wèn)題14.從問(wèn)題6出發(fā)，通過(guò)條件操作Ⅰ，得到問(wèn)題7-10，各問(wèn)題通過(guò)條件操作Ⅱ，得到問(wèn)題12.

圖1 勾股章諸問(wèn)題之間的聯(lián)系

從問(wèn)題1出發(fā)，通過(guò)目標(biāo)操作，得到問(wèn)題15和16.從問(wèn)題15出發(fā)，通過(guò)條件操作Ⅰ，得到問(wèn)題19.從問(wèn)題19出發(fā)，通過(guò)條件操作Ⅱ，得到問(wèn)題20.從問(wèn)題15出發(fā)，通過(guò)對(duì)稱(chēng)互換，得到問(wèn)題17.從問(wèn)題17出發(fā)，通過(guò)條件操作Ⅱ，得到問(wèn)題18，21-24.

另一方面，雖然從問(wèn)題1出發(fā)，通過(guò)目標(biāo)操作得到問(wèn)題16，但問(wèn)題16的解決是建立在勾股定理基礎(chǔ)上的，因?yàn)橹苯侨切蝺?nèi)切圓直徑需要用直角邊和斜邊共同來(lái)表達(dá).也就是說(shuō)，從問(wèn)題1到問(wèn)題16，也隱含了新舊鏈接的策略.

由此可見(jiàn)，希爾佛等所總結(jié)的四種問(wèn)題提出策略并非現(xiàn)代人的創(chuàng)造，而是早已為《九章算術(shù)》的編撰者所用.

3一題多解

三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在注釋《九章算術(shù)》時(shí)十分重視一題多解，典型的例子是勾股容方和勾股容圓公式的推導(dǎo).

3.1 勾股容方公式

方法1：割補(bǔ)法

圖2

圖3

方法2：比例法

如圖4，設(shè)勾上小直角三角形的直角邊長(zhǎng)為a1和b1，股上小直角三角形的直角邊長(zhǎng)為a2和b2，則因a:b=a1:b1，故(a+b):b=(a1+b1):b1，但a=a1+b1,b1=d，故(a+b):b=a:d.

圖4

3.2 勾股容圓公式

方法1：割補(bǔ)法

圖5

圖6

方法2：比例法

圖7

如圖7，圓O為Rt△ACB的內(nèi)切圓，過(guò)圓心O作斜邊AB的平行線，分別交AC和BC于A′和B′，易證AA′=OA′，BB′=OB′.因Rt△A′EO～Rt△ACB，故有

由等比定律得

(1)

同理，由Rt△ODB′～Rt△ACB，可得

(2)

圖8

4 一法多用

勾股章第17-24問(wèn)均為測(cè)量問(wèn)題(表1)，這些問(wèn)題都可歸結(jié)為直角三角形內(nèi)接長(zhǎng)方形問(wèn)題.如圖4所示，利用勾上小直角三角形(青冪)、股上小直角三角形(朱冪)以及整個(gè)直角三角形兩兩之間的相似性，可得

(3)

故已知a1，b1，a2，b2，a和b中的三個(gè)，可求得其他未知項(xiàng).第17-20、22-24諸題均通過(guò)上述方法求解.

5 結(jié)語(yǔ)

根據(jù)以上分析，我們得到如下結(jié)論：《九章算術(shù)》勾股章的問(wèn)題是以第1題(已知勾、股求弦)為出發(fā)點(diǎn)，通過(guò)條件操作、目標(biāo)操作和對(duì)稱(chēng)互換三種策略編制而成，體現(xiàn)了精彩的一題多變的變式思想；所有測(cè)量問(wèn)題均利用“相似直角三角形對(duì)應(yīng)邊成比例”這一性質(zhì)來(lái)解決，體現(xiàn)了一法多用的變式思想.劉徽在推導(dǎo)勾股容方和勾股容圓公式時(shí)采用了不同的方法，體現(xiàn)了一題多解的變式思想.因此，在我國(guó)，數(shù)學(xué)教育中的變式思想至遲可以上溯至《九章算術(shù)》成書(shū)的時(shí)代.

在劉徽之后，中算家們繼續(xù)運(yùn)用變式思想，不斷提出和解決新的勾股問(wèn)題，形成了一個(gè)獨(dú)特的課題，即“勾股算術(shù)”.因此，變式思想在我國(guó)數(shù)學(xué)教育史上歷史悠久、綿延不絕.至此，我們不難理解為什么變式教學(xué)是我國(guó)傳統(tǒng)的教學(xué)方式了.追溯變式思想的歷史淵源，我們也獲得了重要的啟示，一個(gè)國(guó)家或民族的數(shù)學(xué)教育特色，必定是傳承歷史的結(jié)果；只有民族的，才是世界的.