由圓圍成兩個(gè)圓錐體積和的最大值的討論

趙 虹 王麗新

(長(zhǎng)春師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 130032)

遇到這樣一個(gè)問(wèn)題，在一個(gè)圓上剪去一個(gè)扇形做成一個(gè)正圓錐，發(fā)現(xiàn)剪去的扇形圓心角太大或太小時(shí)做成的圓錐體積都較小，那么一個(gè)很自然的問(wèn)題是剪去的扇形圓心角多大時(shí)做成的圓錐體積最大？這個(gè)問(wèn)題在中學(xué)教學(xué)過(guò)程中也是有可能被學(xué)生問(wèn)到的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題利用均值不等式或高中的導(dǎo)數(shù)知識(shí)不難解決，但余下的扇形也能做成一個(gè)圓錐，若問(wèn)剪去的扇形圓心角多大時(shí)做成的兩個(gè)圓錐體積和最大，卻發(fā)現(xiàn)是一個(gè)稍復(fù)雜的問(wèn)題.本文將對(duì)此進(jìn)行討論.

由以上討論易知余下的扇形做成的圓錐的體積為

則這兩個(gè)圓錐的體積和為

V=V1+V2

下面討論函數(shù)

的最大值.

記1-x=y，則此函數(shù)的最大值轉(zhuǎn)化為求二元函數(shù)

在條件x+y=1下的最大值.

利用條件極值的拉格朗日(Lagrange)乘數(shù)法[1]，設(shè)

令

整理得

或

(1)式兩邊平方可整理為

9(x6-y6)-3(3x2y2+4)(x4-y4)+4(3x2y2+1)(x2-y2)=0，

(x-y)[9(x5+x4y+x3y2+x2y3+xy4+y5)-3(3x2y2+4)(x3+x2y+xy2+y3)+4(3x2y2+1)(x+y)]=0,

或

(x-y)[9(x4(x+y)+x2y2(x+y)+y4(x+y))-3(3x2y2+4)(x2(x+y)+y2(x+y))+4(3x2y2+1)(x+y)]=0,

注意到x+y=1，則上式可繼續(xù)化為

(x-y)(9(x4+x2y2+y4)-3(3x2y2+4)·(x2+y2)+4(3x2y2+1))=0，

又由x+y=1，則

x2+y2=(x+y)2-2xy=1-2xy,

x4+y4=(x2+y2)2-2x2y2

=1-4xy+4x2y2-2x2y2

=1-4xy+2x2y2.

(1)式可最終整理為

(x-y)(18x3y3+30x2y2-12xy+1)=0，

則x-y=0或18x3y3+30x2y2-12xy+1=0.

又

18x3y3+30x2y2-12xy+1=0

為關(guān)于xy的三次方程，利用三次方程的求根公式[2]得三個(gè)根為

由

舍去這個(gè)根，另兩個(gè)根和x+y=1聯(lián)合解得

(其中k1=(xy)1,k2=(xy)3.)

對(duì)應(yīng)的

f(x1)=f(x2)

f(x3)=f(x4)

(2x-1)(18x6-54x5+24x4+42x3-42x2+12x-1)=0

注3若對(duì)一般的(圓)扇形(不一定為整個(gè)圓)，如何分成兩個(gè)或多個(gè)扇形使圍成的兩個(gè)或多個(gè)圓錐體積和最大，也是一個(gè)值得討論的問(wèn)題.