一類(lèi)遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用

王福水

(重慶市第一中學(xué) 400030)

用遞推公式表示的數(shù)列叫做遞推數(shù)列.求解遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法有累加法、累乘法、待定系數(shù)法等不同方法，通常需要較高的變形、轉(zhuǎn)化技巧.學(xué)習(xí)過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)在求數(shù)列的通項(xiàng)公式題目中很多都可通過(guò)轉(zhuǎn)化歸結(jié)為求如下一類(lèi)遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式：

問(wèn)題已知數(shù)列{an}的初始項(xiàng)a1，并滿足

an+1=pan+dqn+kn+b，(n∈N*),

(1)

其中參數(shù)p,q,d,k,b為實(shí)常數(shù).求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

文獻(xiàn)[1-3]針對(duì)k=0,b=0情形進(jìn)行了系列研究，而文獻(xiàn)[4,5]還進(jìn)一步對(duì)d=0情形進(jìn)行了分析，但尚未發(fā)現(xiàn)所有情形下該遞推數(shù)列的完整通項(xiàng)公式.因此，本文將首先推導(dǎo)出該數(shù)列的完整通項(xiàng)公式，再結(jié)合實(shí)例說(shuō)明所得公式的應(yīng)用，以達(dá)到舉一反三、提高解題效率的目的.

1 通項(xiàng)公式推導(dǎo)

根據(jù)參數(shù)p的取值，我們分如下二種情形分別進(jìn)行推導(dǎo).

(一)p=1情形

此時(shí)遞推數(shù)列(1)可變形為

an+1-an=dqn+kn+b，(n∈N*).

利用累加法可得

(2)

由(2)式即可導(dǎo)出此情形下遞推數(shù)列(1)所確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

(二)p≠1情形

同p=1情形類(lèi)似，也分p≠q和p=q兩種情況分別討論.

①p≠q情形

此時(shí)可利用待定系數(shù)法由遞推數(shù)列(1)構(gòu)造出一個(gè)新的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，具體過(guò)程如下：

在遞推數(shù)列(1)兩邊同時(shí)加上c1qn+1+c2(n+1)+c3，其中c1,c2,c3為待定系數(shù)，整理可得

如果

(3)

那么新數(shù)列{bn=an+c1qn+c2n+c3}就是一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為b1=a1+c1q+c2+c3，公比為p.由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得

an+c1qn+c2n+c3=bn

=b1·pn-1=(a1+c1q+c2+c3)·pn-1

從而此情形下遞推數(shù)列(1)所確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

an=[a1+c2+c3]·pn-1+c1q(pn-1-qn-1)-

c2n-c3，(n∈N*).

(4)

②p=q情形

當(dāng)p=q時(shí)，由前述推導(dǎo)過(guò)程知，通項(xiàng)公式(4)將不再適合此時(shí)的遞推數(shù)列

an+1=pan+dpn+kn+b，(n∈N*).

(5)

但經(jīng)過(guò)觀察遞推數(shù)列(1)和(5)，我們發(fā)現(xiàn)它們的形式是類(lèi)似的，因此，應(yīng)用類(lèi)比的思想，我們假設(shè)遞推數(shù)列(5)仍具有與遞推數(shù)列(1)類(lèi)似結(jié)構(gòu)的通項(xiàng)公式.結(jié)合(4)式，我們推測(cè)遞推數(shù)列(5)的通項(xiàng)公式具有如下形式

an=f(n)·pn-1-c2n-c3,

(6)

其中f(n)為待定系函數(shù).

把(6)式代入(5)，得

f(n+1)·pn-c2n-c2-c3

=[f(n)+d]pn-(c2p-k)n+b-c3p.

由(3)式知c2p-k=c2和b-c3p=-c2-c3，從而f(n+1)=f(n)+d.再移項(xiàng)并利用累加法即可得

f(n)=f(1)+(n-1)d.

利用(6)式可知f(1)=a1+c2+c3.因此遞推數(shù)列(5)所確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

an=[a1+c2+c3+(n-1)d]·

pn-1-c2n-c3，(n∈N*).

(7)

事實(shí)上，對(duì)遞推數(shù)列(5)我們也可利用常規(guī)的變形累加及錯(cuò)位求差法等技巧來(lái)求解其通項(xiàng)公式.具體地，對(duì)遞推數(shù)列(5)兩邊同除以pn+1并移項(xiàng)則可變形為

利用累加法可得

(8)

綜合公式(2)、(4)和(7)，我們可歸納總結(jié)得到遞推數(shù)列(1)所有情形下所確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

(9)

其中n∈N*并且c1,c2,c3由(3)式給出.

2 通項(xiàng)公式(9)的應(yīng)用

例在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=pan+qn+1+2n+1，(n∈N*)，分別求(1)p=1,q=1；(2)p=1,q=2；(3)p=2,q=3和(4)p=2,q=2情形下{an}的通項(xiàng)公式.

解注意到題目所給的p,q四種取值分別對(duì)應(yīng)了公式(9)中的四種情況，因此利用遞推數(shù)列(1)中的參數(shù)符號(hào)并代入(9)式即可得

(1)當(dāng)p=1,q=1時(shí)，an=n2+n-1，(n∈N*).

(2)當(dāng)p=1,q=2時(shí)，an=2n+1+n2-4，(n∈N*).

(3)當(dāng)p=2,q=3時(shí)，an=3n+1-3·2n-1-2n-3，(n∈N*).

(4)當(dāng)p=2,q=2時(shí)，an=(2+n)2n-2n-3，(n∈N*).

3 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)文獻(xiàn)[1-5]中的相關(guān)結(jié)論進(jìn)行了推廣并給出了遞推數(shù)列an+1=pan+dqn+kn+b的完整通項(xiàng)公式(9).若能熟記該公式，在解題中定能起到事半功倍的作用.特別值得提出的是，對(duì)p≠1且p≠q情形，比較本文利用類(lèi)比思想提出的待定系函數(shù)法和常規(guī)的變形累加及錯(cuò)位求差法等技巧，我們發(fā)現(xiàn)待定系函數(shù)法更加簡(jiǎn)潔有效.因此，在數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)中，我們也一定要放飛思想，敢于嘗試，再小心求證并歸納總結(jié)，以此逐步提高我們的解題水平和邏輯思維能力.