3D軟件入課堂，空間直觀提素養(yǎng)

廖小琴 邵貴明

【摘要】《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出直觀想象是高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，是學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力.本文提出使用3D軟件輔助教學(xué)可以展示空間圖形，為學(xué)生理解和掌握圖形幾何結(jié)構(gòu)與特征提供直觀.通過例子闡述3D軟件在數(shù)學(xué)課堂中的作用，并探討了在此技術(shù)的輔助下如何引導(dǎo)學(xué)生提升幾何直觀數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】3D軟件;直觀想象;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

普通高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六大核心素養(yǎng)——數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)分析中，直觀想象是高中學(xué)生必須具有的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.要求學(xué)生會借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題.主要包括：借助空間形式認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題;建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路.[1]高中立體幾何的學(xué)習(xí)主要在培養(yǎng)空間抽象能力的基礎(chǔ)上，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力和空間想象能力.立體幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個難點，學(xué)生普遍反映“幾何比代數(shù)難學(xué)”.其原因就是學(xué)生缺乏直觀想象力.而高一年級是立體幾何學(xué)習(xí)的起始年級.學(xué)生在初中階段接觸的是一些簡單的平面幾何內(nèi)容，他們在這一階段并沒有建立起比較強(qiáng)的空間感，所以學(xué)起來就更加吃力.

而時下中國信息技術(shù)已經(jīng)進(jìn)入了3D時代.3D建模技術(shù)和3D打印技術(shù)實現(xiàn)了用“虛擬”再造“現(xiàn)實”的嶄新境界.3D制作當(dāng)然也離不開考驗制作者的直觀想象力和幾何計算能力.例如，要3D打印一個螺栓和螺帽，那么螺栓圓柱體底面圓的直徑要設(shè)計多大才能對應(yīng)到螺帽呢？大了則套不進(jìn)，小了則會松.所以，在3D打印中，立體幾何的直觀想象變得尤為重要.故此，作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作者，我們有責(zé)任培養(yǎng)出具有直觀想象素養(yǎng)的人才，為學(xué)生以后的發(fā)展做好能力鋪墊.同時，反過來3D軟件也可以為我們的教學(xué)服務(wù)，讓立體幾何教學(xué)更具有生動性、直觀性，有利于學(xué)生認(rèn)清空間事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律;利用3D圖形動態(tài)描述、分析解決數(shù)學(xué)問題，提升幾何直觀數(shù)學(xué)素養(yǎng).下面以例子展開本人在3D軟件輔助教學(xué)的一些體會.

一、巧用軟件認(rèn)清空間事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律

與球組合的幾何體問題，一種是內(nèi)切、一種是外接，這兩種特殊的位置關(guān)系在高考中既是必考題型，又是難點，但學(xué)生往往因缺乏空間想象能力而感到模糊.在“正方體的內(nèi)切球和外接球”這節(jié)課上，內(nèi)切球和外接球的理解和作圖是一個難點.如果我們不做任何的展示，而直接讓學(xué)生生成直觀圖時，會出現(xiàn)有一些學(xué)生把多種球之間的關(guān)系搞混亂：內(nèi)切球畫成了內(nèi)含球，外接球畫成外包球.然而，在傳統(tǒng)教學(xué)中，我們很難找到現(xiàn)成的教具展示給學(xué)生看，到底“切”是怎么切的，而“接”又是怎么個接法.教學(xué)上非常需要一個教具讓學(xué)生從不同的視覺角度觀察球內(nèi)切或外接正方體時正方體的點、線、面與球的球心和半徑等要素之間的關(guān)系.

如果這個時候，教師及時采用3D軟件把球從內(nèi)含到外包的過程進(jìn)行動態(tài)演示，并在過程中點出內(nèi)切球的“切”是跟正方體的面的中心相切，而外接球的“接”是跟正方體的各頂點相接.演示過程中就能非常清晰地把球與正方體之間的位置關(guān)系形象地展現(xiàn)給學(xué)生，而這些動態(tài)展示又恰恰是傳統(tǒng)教學(xué)或?qū)嵨镎故舅荒鼙葦M的！

同時，在這節(jié)課上學(xué)生對外接球直徑是正方體體對角線的理解也是一個難點.怎樣才能體現(xiàn)正方體的體對角線就是外接球的直徑呢？傳統(tǒng)教學(xué)中很難用語言清晰地描述給學(xué)生聽.即使采用作圖法給出了圖1，把正方體畫成內(nèi)接在小圓和大圓搭建的球框架內(nèi)，也會存在有學(xué)生因缺乏空間想象力看不懂直觀圖而無法理解的情況.在傳統(tǒng)教學(xué)上我們是通過正方體外接球?qū)敲娴慕孛鎴D展現(xiàn)給學(xué)生，學(xué)生通過想象還原到正方體當(dāng)中理解.但為什么要畫對角面的截面圖呢？傳統(tǒng)教學(xué)上也是比較難直觀地告訴學(xué)生.但運用3D軟件對實物進(jìn)行360度的旋轉(zhuǎn)展示，就可以直觀地找到如圖2所示的視角，非常清晰地展現(xiàn)正方體對角面上的所有點都在球面上，而球心也在面內(nèi)的對角線上.通過軟件還能進(jìn)一步地在直觀圖上切割出正方體外接球的對角面（如圖3所示），使得學(xué)生獲得更直觀的體驗.

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說：“數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面：一方面，是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這方面看，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué);但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，看起來卻像一門實驗性的歸納科學(xué).”這節(jié)課還可以更有趣的是：再給出一些非正方體的幾何體，讓學(xué)生自己嘗試?yán)?D軟件作出其內(nèi)切球或外接球并通過觀察研究出其半徑.通過3D軟件進(jìn)入課堂，我們可以將抽象的問題具體化，有效地為學(xué)生提供感性材料，化靜為動，具有圖文并茂、形象直觀、動態(tài)逼真等特點.它能充分展示立體知識的形成和思維過程，促使學(xué)生“知其然并知其所以然”.

二、利用3D圖形動態(tài)描述、分析、解決數(shù)學(xué)問題，提升幾何直觀數(shù)學(xué)素養(yǎng)

3D軟件輔助教學(xué)獨特的價值，在于通過整合為學(xué)生提供逼近真實、富有現(xiàn)實意義的學(xué)習(xí)情境，以利于學(xué)生高階思維與積極情感的投入，解決復(fù)雜問題，從而全面提升學(xué)生知識、能力與情意方面的核心素養(yǎng).[3]其實，在解決空間幾何問題時，在直觀圖中許多原本相等、平行、垂直或異面的直線由于“變形”“傾斜”等原因，學(xué)生很難觀察出來，而導(dǎo)致問題解決錯誤或解決不了.但當(dāng)幾何體經(jīng)過“3D轉(zhuǎn)動”后，或許就能把原本難以理解或想象的問題變得更直觀和簡單，同時也能更快地培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生的“立體平面圖的空間感”，迅速提升直觀想象素養(yǎng).

在這道題中，對剛接觸立體幾何的高一學(xué)生來說，由于缺乏空間感，有些學(xué)生就會把AC1與BC理解為相交直線來求，結(jié)果就會出現(xiàn)問題.但如果我們在課堂中嘗試使用3D軟件從不同角度展現(xiàn)該長方體，當(dāng)出現(xiàn)如圖5所示的視角時就能讓學(xué)生看出AC1與BC這兩條直線是異面直線，不相交的關(guān)系，從而引導(dǎo)學(xué)生通過找平行線的方法找出∠AC1B1就是AC1與BC所成的角的平面角.

題意是讓學(xué)生畫出PQR平面截取正方體后的形狀，也就需要學(xué)生把該截面與正方體的其余相交直線畫出來.這道題是對學(xué)生的空間思維能力提出了更高的要求.很多學(xué)生都不能完成.故此，我們可以嘗試使用3D軟件輔助解題.首先，我們可以在3D軟件中建立正方體.

然后，旋轉(zhuǎn)角度連接PQ，并延長PQ，使其與A1B1相交于E點.

再連接RE交B1C1于F點.

此時，不難證出△PQB≌△QB1E≌△B1EF≌△RC1F，所以點F是B1C1中點.而此時相交直線RF與PQ所確定的平面就是我們要找的截面.

如此類推，我們把正方體像骰子般轉(zhuǎn)動，由此而引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考探究.問是否能作出該截面在其他平面上的交線呢？通過引導(dǎo)讓學(xué)生把該截面在正方體其余各面的交線畫出來.最后我們再利用3D軟件中的切割工具對幾何體進(jìn)行切割，很快就可以得出切面.

同時，再把切割平面轉(zhuǎn)正，由此而檢驗學(xué)生作出的平面是否與軟件作出的平面一致，并能直觀地看出所截取的平面就是正六邊形.

一幅幅的3D動態(tài)畫面在展示和推導(dǎo)中能不斷地帶動學(xué)生深入分析問題，使學(xué)生在不斷的觀察和分析中形成直觀想象素養(yǎng).深度教學(xué)領(lǐng)軍人郭元祥教授曾提出：增強(qiáng)課堂的畫面感是促進(jìn)學(xué)生知識理解，獲得知識的意義增值，達(dá)成知識發(fā)展價值的基本途徑.課堂的畫面感通過將知識表征化促進(jìn)學(xué)生對符號知識的深度理解.[4]3D軟件參與解題的過程才能引起學(xué)生豐富多樣的再造想象、創(chuàng)造想象和以后在解題過程中就會自然而然產(chǎn)生的空間幾何聯(lián)想.

直觀想象是解決立體幾何問題的重要核心素養(yǎng).通過3D軟件對幾何體的翻轉(zhuǎn)變換、伸縮變形、切割變化等操作過程有利于提升學(xué)生對幾何體的直觀理解和形成空間想象，降低數(shù)學(xué)解題的門檻，使得復(fù)雜問題直觀化.同時，也會促使學(xué)生在以后解題中能自動生成換位思想和幾何聯(lián)想，直觀想象素養(yǎng)自然而然得到提升.總之，要提升學(xué)生發(fā)展的核心素養(yǎng)，需要師生每一堂課的積累與努力.教師本身要勇于學(xué)習(xí)研究3D軟件、積極實踐，開展學(xué)科課堂教學(xué)改革，才能有效落實和提升學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2]林靜.STEAM教育如何對接核心素養(yǎng)[J].師資建設(shè)，2017（30）：51.

[3]秦德生，孔凡哲.關(guān)于幾何直觀的思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2005（10）：9-11.

[4]郭元祥.增強(qiáng)課堂的畫面感——談?wù)n程改革的深化（5）[J].新教師，2016（5）：13-15.