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    基于學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)的平面圖形面積學(xué)習(xí)調(diào)研

    2019-07-08 03:48:31張秋爽
    小學(xué)教學(xué)研究 2019年5期
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)教育數(shù)學(xué)文化實(shí)施策略

    張秋爽

    【摘要】缺內(nèi)容的數(shù)學(xué)教學(xué)變革,能改善學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)境遇,提升數(shù)學(xué)課程的育人質(zhì)量。本文闡述了數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵,同時(shí)從追問數(shù)學(xué)問題的源頭、剖析數(shù)學(xué)家的品格、詮釋數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵、豐富數(shù)學(xué)原理的變式等維度提出了一些參考策略。

    【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教育 數(shù)學(xué)文化 實(shí)施策略

    五年級(jí)學(xué)習(xí)平面圖形的面積時(shí),教材中先學(xué)平行四邊形,接著學(xué)習(xí)三角形,最后學(xué)習(xí)梯形。教材這樣安排,就沒有新的學(xué)習(xí)順序嗎?要想尋找新的學(xué)習(xí)順序,還需要把握學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn),更需要了解學(xué)生在三年級(jí)學(xué)習(xí)了面積以及長、正方形的面積之后,他們已有的知識(shí)基礎(chǔ)是什么?困惑是什么?他們能走多遠(yuǎn)是我們想知道的。教材安排的順序是唯一的學(xué)習(xí)順序嗎?學(xué)生心中又有怎樣的學(xué)習(xí)順序呢?帶著這樣的疑惑和思考,我進(jìn)行了調(diào)研。

    我們從五年級(jí)、六年級(jí)隨機(jī)抽取了193人進(jìn)行關(guān)于三個(gè)面積學(xué)習(xí)順序的調(diào)研,又從四年級(jí)學(xué)生中對(duì)5名學(xué)生進(jìn)行了訪談,其中4名學(xué)生知道長方形面積的計(jì)算方法,但說不清道理。這是為什么呢?帶著這樣的疑問和思考,我從四年級(jí)抽取一個(gè)班40名學(xué)生對(duì)他們進(jìn)行了調(diào)研。測(cè)查過程的基本環(huán)節(jié)如下:第一步,先讓學(xué)生自己完成題目,完成之后與身邊的老師進(jìn)行簡單的交流和詢問,確認(rèn)每一個(gè)學(xué)生的真實(shí)表達(dá);第二步,再讓每個(gè)學(xué)生匯報(bào)自己的想法;第三步,教師欣賞學(xué)生的作品,揣摩背后的價(jià)值。

    1.調(diào)研過程

    (1)學(xué)習(xí)平面圖形順序的調(diào)研

    五年級(jí)前測(cè):下面這些平面圖形的面積,你能想辦法推導(dǎo)出來嗎?你想先學(xué)習(xí)哪個(gè)圖形的面積?然后學(xué)習(xí)哪個(gè)圖形的面積?請(qǐng)?jiān)趫D形左側(cè)標(biāo)出序號(hào),并在圖形右側(cè)說出你的理由。

    學(xué)習(xí)順序:

    設(shè)計(jì)意圖:五年級(jí)學(xué)生在沒學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形和梯形的面積之前,憑直覺思考學(xué)習(xí)三種平面圖形面積的順序。

    六年級(jí)前測(cè):回憶已經(jīng)學(xué)過的這些圖形的面積計(jì)算公式推導(dǎo)過程(在圖中標(biāo)明)

    你覺得求圖形面積最關(guān)鍵的是什么?

    教師教學(xué)的學(xué)習(xí)順序(寫序號(hào))______________________。

    你覺得還可以有其他的學(xué)習(xí)順序嗎?寫出來,說明理由。

    設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生根據(jù)圖形之間的關(guān)系,思考其他的學(xué)習(xí)順序。

    我們對(duì)未學(xué)過三種平面圖形面積的四年級(jí)學(xué)生和已經(jīng)學(xué)過的五、六年級(jí)學(xué)生一共193人進(jìn)行了調(diào)研,問題是:對(duì)于“平行四邊形、三角形和梯形”三種圖形,你認(rèn)為應(yīng)先學(xué)習(xí)哪種圖形?其中認(rèn)為先學(xué)平行四邊形面積的有117人,占60.6%;認(rèn)為先學(xué)三角形面積的有43人,占22.3%;認(rèn)為先學(xué)梯形面積的有33人,占17.1%。

    先學(xué)習(xí)平行四邊形的理由:三角形和梯形都可以轉(zhuǎn)化為平行四邊形,進(jìn)行面積計(jì)算公式的推導(dǎo)學(xué)習(xí);

    先學(xué)習(xí)三角形的理由:平行四邊形和梯形都可以分成兩個(gè)三角形,所以只要學(xué)會(huì)了三角形的面積計(jì)算,其他兩個(gè)平面圖形的面積計(jì)算就不用學(xué)習(xí)了;

    先學(xué)習(xí)梯形的理由:梯形的上底為0就是三角形,梯形的上底和下底相等時(shí)就是平行四邊形,所以可以學(xué)習(xí)梯形后就能求出這三種圖形的面積了。

    從調(diào)研中,我們看出這三種平面圖形的學(xué)習(xí)是多元的,先學(xué)哪種圖形都行,先學(xué)習(xí)哪種圖形都能根據(jù)圖形之間的聯(lián)系推導(dǎo)出其他圖形的面積計(jì)算公式。

    (2)四年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)面積的前測(cè)調(diào)研題目:

    ①長方形的面積等于長×寬,你能解釋原因嗎?

    設(shè)計(jì)意圖:把握學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn),學(xué)生是否理解了面積概念,程度如何?是否知道長乘寬的具體含義?有哪些思考經(jīng)驗(yàn)和策略方法為后續(xù)學(xué)習(xí)其他平面圖形的面積做好了鋪墊?

    ②學(xué)習(xí)長方形和正方形面積后,你還可以得到哪些圖形的面積?把你的想法寫下來。

    設(shè)計(jì)意圖:在學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)上,學(xué)生能否利用已學(xué)的方法策略解決新問題,看學(xué)生的發(fā)展?jié)摿υ谀睦??他們學(xué)習(xí)平面圖形面積的困難有什么?

    想求出上面這個(gè)圖形的面積,你有什么辦法?可以用鉛筆和尺子畫一畫,尋找到解決問題的思路。

    如果遇到自己不能解決的問題請(qǐng)記在下面。

    設(shè)計(jì)意圖:面對(duì)新情境下的問題,學(xué)生的策略有什么?困難是什么?為后續(xù)學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)活動(dòng)找準(zhǔn)學(xué)生知識(shí)的生長點(diǎn)。

    2.測(cè)試結(jié)果呈現(xiàn)

    (1)學(xué)生基礎(chǔ)

    對(duì)于長方形的面積=長×寬,40名學(xué)生解釋原因,答題情況可以分成三類:

    ①理解面積的含義,知道推導(dǎo)的過程。24名學(xué)生能夠用語言描述面積就是相乘的過程:長擺了幾格,長就是幾,寬擺了幾格,寬就是幾,一共有多少個(gè)格,就是面積;或者在圖形中畫滿了正方形的面積單位。還有一些比較精彩的話語,如下:

    生1:求周長只用外面的邊,用加法;那么求面積要用里面的心,所以用乘法。

    生2:如果把長方形分成許多小格,長分成的小格數(shù)量乘寬分成的小格數(shù)量就可以得到有多少個(gè)小格。

    ②不理解推導(dǎo)過程,言語表述不清晰、有偏差。8名學(xué)生不知道如何解釋,只知其然不知其所以然。

    生1:在圖中標(biāo)了數(shù)據(jù),長是3厘米,寬是2厘米。求周長用(3+2)×2=10厘米,求面積用3×2=6平方厘米。(僅僅呈現(xiàn)了事實(shí))

    生2:因?yàn)殚L×寬是分兩部分的,第一部分是(長+寬);第二部分是×2,合起來是(長+寬)×2,為了便捷就是長×寬。(沒有因果關(guān)系)

    生3:因?yàn)檎叫蔚拿娣e是邊長×邊長得來的,所以我覺得長方形的面積是由正方形的面積得來的。(邏輯錯(cuò)誤)

    生4:長和寬都有兩條邊,一條長和一條寬相乘就是面積。(沒有解釋原因)

    ③沒有表達(dá)自己的想法。有8人既沒有文字描述,也沒有畫小方格;個(gè)別學(xué)生只是在圖中標(biāo)上了數(shù)據(jù),沒寫出想法。

    (2)學(xué)生能走多遠(yuǎn)

    對(duì)于“學(xué)習(xí)長方形和正方形面積后,你還可以得到哪些圖形的面積?把你的想法寫下來”這樣的探究性問題,可以把學(xué)生作品分成三類:一類是不能求出其他圖形的面積有12人,占30%;第二類是想象中能求出梯形、三角形和平行四邊形,但沒有寫出思考過程的有4人,占10%;第三類是自己有想法的有24人,占60%。下面對(duì)有想法的學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并做詳細(xì)說明。

    ①密鋪法。能夠用面積單位去密鋪三角形、多邊形的面積的有6人。如圖:

    從圖1可以看出學(xué)生理解面積的含義,知道用面積單位去密鋪可以求面積,既體會(huì)了面積的本質(zhì)含義,又能把長方形面積的計(jì)算方法遷移到求新圖形的面積當(dāng)中,把密鋪?zhàn)鳛橐粋€(gè)通行方法讓學(xué)生解決更多的問題,但學(xué)生沒有關(guān)注整格和半格,把半格當(dāng)作整格進(jìn)行了計(jì)算。

    ②轉(zhuǎn)化法。能夠利用已學(xué)知識(shí)推導(dǎo)出沒學(xué)圖形的面積的有4人,運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想。

    從圖2能看出學(xué)生通過高把三角形分成兩個(gè)小三角形,從而利用構(gòu)造思想,形成長方形。從圖中的輔助線、虛線可以看出學(xué)生背后的思考。

    對(duì)于直角三角形面積的求法,學(xué)生想到了長方形,兩個(gè)完全一樣的直角三角形能拼成一個(gè)長方形,求出長方形面積的一半就是直角三角形的面積;對(duì)于平行四邊形想到了轉(zhuǎn)化成長方形的有2人,學(xué)生的語言是“把左上角往上一拉,拉成直角”。

    ③分解法。能夠利用整體和部分的關(guān)系求組合圖形面積的學(xué)生有6人。具體分析如下:

    從圖3的左圖可以看出:兩個(gè)完全一樣的等腰直角三角形可以拼成一個(gè)正方形,正方形面積的一半就是直角三角形的面積,學(xué)生能夠應(yīng)用轉(zhuǎn)化的思想方法;從右圖可以看出有分與合的思想,對(duì)于整體和部分之間的關(guān)系了如指掌,為日后學(xué)習(xí)組合圖形的面積時(shí)把多邊形轉(zhuǎn)化為基本圖形做好鋪墊。

    從圖4可以看出學(xué)生能把長方形和正方形的面積組合在一起求。先求大的長方形面積減去小的正方形的面積就是多邊形的面積。這里蘊(yùn)含的分與合思想,體現(xiàn)的是部分和整體的關(guān)系,應(yīng)用的是剛剛學(xué)過的兩個(gè)平面圖形面積的計(jì)算方法。這種綜合應(yīng)用知識(shí)的能力可見一斑。他們能夠利用分與合的思想把復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單,利用長方形、正方形這兩個(gè)基本圖形求出面積。

    還有學(xué)生寫道:我認(rèn)為像多邊形那樣的圖形應(yīng)該先量出每條邊的長度,再把它分成帶有直角的正方形或長方形算出它們的面積,最后把面積加在一起就行了。同樣也能看出學(xué)生具備轉(zhuǎn)化的思想方法,能把未知轉(zhuǎn)化為已知,為學(xué)生推導(dǎo)其他圖形的面積計(jì)算公式提供思考經(jīng)驗(yàn)。

    ④在合情推理中出現(xiàn)了偏差。有2名學(xué)生對(duì)平行四邊形、等邊三角形的面積進(jìn)行了合情猜想,能看出學(xué)生樸素的遷移想法出現(xiàn)了知識(shí)的負(fù)遷移。

    表面上看,對(duì)于三角形求面積和周長容易混淆,實(shí)際上學(xué)生把正三角形和正方形分在一類,用正方形的邊長×邊長遷移得到的,因?yàn)樗鼈兊倪呌泄餐奶攸c(diǎn),都相等;而平行四邊形和長方形一樣,對(duì)邊相等,所以平行四邊形的面積就和求長方形的一樣,這是學(xué)生利用圖形之間的相似特點(diǎn)類比面積的計(jì)算方法。

    學(xué)生能夠用長方形的面積=長×寬,遷移三角形的面積就是底×高。從學(xué)生的思考中,我們看到了學(xué)生對(duì)長方形、三角形這兩種圖形之間的關(guān)系缺乏準(zhǔn)確把握。

    ⑤周長和面積概念混淆。還有6名學(xué)生把周長和面積的概念弄混了,給出了正六邊形、等邊三角形和菱形,標(biāo)出數(shù)據(jù),求的都是周長。

    (3)學(xué)生的想法與困難

    對(duì)于多邊形,標(biāo)了數(shù)據(jù)。讓學(xué)生求它的面積,并寫出困難。40名學(xué)生的作品可以分成四類:第一類——學(xué)生在多邊形中畫了很多小方格,以自己的小格為標(biāo)準(zhǔn),數(shù)出了圖形的面積,沒有關(guān)注到數(shù)據(jù)的多少。這樣的學(xué)生有10人,算出結(jié)果的有5人,還有5人畫了格,不知道怎么數(shù);第二類——有3名學(xué)生把多邊形轉(zhuǎn)化成近似的長方形,求出近似長方形的面積代替多邊形的面積;第三類——有11名學(xué)生想到了把多邊形分割成一個(gè)個(gè)平面圖形,會(huì)求長方形的面積,困難是不會(huì)算三角形的面積,有一名學(xué)生把多邊形分成一個(gè)個(gè)小三角形。在他的習(xí)題單中,我們看到凡是組合圖形,都分解成一個(gè)個(gè)小的三角形。學(xué)生潛意識(shí)里認(rèn)為三角形是一個(gè)基本圖形,而三角形在初中學(xué)習(xí)平面幾何時(shí)有非常重要的地位。

    第四類——剩下的16人,有的只標(biāo)上數(shù)據(jù),沒有想法;有的沒有畫圖,只是做一些沒有邏輯的算式,還有學(xué)生去量線段,不解的是量線段長度是2厘米,為什么標(biāo)的是4呢?學(xué)生做這道題最大的困惑就是沒有數(shù)據(jù)。

    4.我的思考

    (1)大部分學(xué)生具備了面積守恒性、會(huì)分解圖形和簡單的轉(zhuǎn)化思想

    通過調(diào)研得知:60%的學(xué)生能解釋長方形的面積為什么等于長乘寬?是因?yàn)殚L是幾厘米,就鋪了幾列;寬是幾厘米,就鋪了幾行,一共有多少個(gè)方格就是面積。大部分學(xué)生注意到面積的飽和性,能把多邊形分解成單個(gè)平面圖形,還能利用割補(bǔ)、平移等方法對(duì)沒學(xué)過的圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化。學(xué)生能用數(shù)方格的方法求沒學(xué)過的圖形的面積,這里蘊(yùn)含了度量的意識(shí)和累加的思想,為日后學(xué)習(xí)微分做了鋪墊。這是學(xué)生學(xué)習(xí)平面圖形的面積推導(dǎo)時(shí)的生長點(diǎn),教師可以利用學(xué)生已有的知識(shí)起點(diǎn)有針對(duì)性地設(shè)計(jì)活動(dòng)。對(duì)于知識(shí)理解不到位的學(xué)生,需要教師查漏補(bǔ)缺,讓學(xué)生盡可能理解面積的含義和計(jì)算背后的道理。

    (2)學(xué)生在自己探索新圖形的面積過程中,個(gè)性化方法得以外顯,也有局限性

    通過調(diào)研得知:20%左右的學(xué)生在探索過程中,運(yùn)用了合情推理中的類比推理,但出現(xiàn)了一些偏差。如:認(rèn)為等邊三角形的面積和正方形一樣,可以用邊長×邊長來計(jì)算;平行四邊形的面積用鄰邊相乘;等腰三角形的面積是底乘高等。這些都說明學(xué)生在探索知識(shí)的過程中是有想法的,但出現(xiàn)了偏差。我們可以利用學(xué)生的認(rèn)知沖突,讓學(xué)生的思維經(jīng)歷從平衡到不平衡再到平衡的過程,讓學(xué)生經(jīng)歷反思假設(shè)—驗(yàn)證—否定—新結(jié)論的過程。

    教師要帶著欣賞的眼光,利用這些資源。調(diào)研豐富了教師讀懂學(xué)生的經(jīng)驗(yàn),讓課堂從單一走向豐富,從平鋪直敘走向柳暗花明。我們的課堂該怎樣關(guān)注學(xué)生的個(gè)性,讓學(xué)生的思維外顯,在學(xué)習(xí)中有整體的結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知,這是我們調(diào)研的啟示。

    (3)面積學(xué)習(xí)應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注圖形之間的相互轉(zhuǎn)化

    學(xué)習(xí)面積的真正基礎(chǔ)是弄清楚圖形之間的關(guān)系,沒有圖形之間的等積變形就沒有轉(zhuǎn)化的思想方法。所以重視圖形之間關(guān)系的教學(xué)是平面圖形面積推導(dǎo)之前應(yīng)做好的準(zhǔn)備課,為學(xué)生積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和思考經(jīng)驗(yàn)。

    通過調(diào)研,我們深切地感覺到:學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)、思維方法基礎(chǔ)、學(xué)生的興趣、需求啟發(fā)我們思考不能一味地采取一成不變的學(xué)習(xí)順序,除了平行四邊形作為突破口之外,是否可以先學(xué)習(xí)其他圖形呢?

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