數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：培育學(xué)生學(xué)習(xí)力的課程載體

摘? 要：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，不僅包括學(xué)生的動(dòng)手操作，更包括內(nèi)隱的思維活動(dòng)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能直觀表征思維，能揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，能促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，要拓展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)空間，重塑數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)樣態(tài)，拓展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)價(jià)值。通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，賦予學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)力自然生長的力量。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);學(xué)習(xí)力;課程載體

學(xué)生的學(xué)習(xí)力是學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、思維、能力的“合晶體”。數(shù)學(xué)教學(xué)，說到底就是培育學(xué)生的學(xué)習(xí)力。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，因其能將學(xué)生的手腦融合，形成身體、心智共同在場的學(xué)習(xí)樣態(tài)，因而是培育學(xué)生學(xué)習(xí)力的重要的課程載體。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能有效地整合課程資源，實(shí)現(xiàn)跨學(xué)科、跨領(lǐng)域的知識融合、技能整合，因而是發(fā)展學(xué)生學(xué)力，培育學(xué)生核心素養(yǎng)的動(dòng)力引擎。

一、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：尋繹學(xué)習(xí)力培育的課程價(jià)值

所謂“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”，是指學(xué)生觀察、操作、推理等的學(xué)習(xí)活動(dòng)。這一類學(xué)習(xí)活動(dòng)，往往是以外在操作為表征，以內(nèi)在思維為支撐的。因而，真正意義上的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，不僅是動(dòng)手操作，更包括內(nèi)隱思維活動(dòng)。從這個(gè)意義上來說，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一種具身認(rèn)知。因此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對于培育學(xué)生學(xué)習(xí)力，具有十分重要的意義和價(jià)值。

1. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能直觀表征思維

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，就是“做數(shù)學(xué)”。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，往往忽視學(xué)生“動(dòng)手做”，而重視讓學(xué)生動(dòng)筆、動(dòng)紙。這樣的學(xué)習(xí)方式，有利于學(xué)生數(shù)理邏輯思辨，卻不利于學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，不僅重視學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)表達(dá)，同時(shí)也重視學(xué)生的數(shù)學(xué)操作。因此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)茏寣W(xué)生內(nèi)隱思維得到直觀表征。這種直觀表征，是發(fā)展學(xué)生“學(xué)力”的重要依托。比如教學(xué)《平行四邊形的面積》，筆者課前布置學(xué)生做一個(gè)平行四邊形框架。課上，將平行四邊形一拉，演變成長方形，學(xué)生能直觀看到“周長不變，面積變大”;再將長方形拉成平行四邊形，學(xué)生又直觀看到“周長不變，面積變小”。直觀活動(dòng)，自然能引發(fā)學(xué)生思維性的猜想：平行四邊形的面積與斜邊無關(guān)，與底和高相關(guān)，從而助推學(xué)生展開更為深入的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。

2. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多知識的數(shù)學(xué)本質(zhì)不是依靠教師灌輸、說教就能領(lǐng)悟的，而是要求學(xué)生通過自己的探究，自然地去感受、領(lǐng)悟。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，有助于揭示數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。在數(shù)學(xué)學(xué)科中，有一類知識是比較特殊的，這就是內(nèi)隱性知識、緘默性知識。這類知識有時(shí)往往難以言說，甚至不可言說，但卻可以借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)揭示出來。比如復(fù)習(xí)《分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)——分?jǐn)?shù)的大小比較》（浙教版六下），有這樣一道題：一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母和分子同時(shí)加上一個(gè)不為零的數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)發(fā)生了怎樣的變化？舉例子，有一種“不完全歸納”的遺憾;用字母推導(dǎo)，學(xué)生往往聽得云里霧里。于是筆者在教學(xué)中嘗試了一個(gè)“糖水實(shí)驗(yàn)”的模型，即在一杯糖水（相當(dāng)于原來的分?jǐn)?shù)）中加入糖（相當(dāng)于加上一個(gè)不為零的數(shù)），含糖率變高了（相當(dāng)于分?jǐn)?shù)值變大）。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，形象化地揭示出數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。

3. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為學(xué)生搭建了一個(gè)開放性的學(xué)習(xí)平臺，提供了一個(gè)開放性的學(xué)習(xí)時(shí)空。通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生能主動(dòng)觀察現(xiàn)象，主動(dòng)提煉、歸納數(shù)學(xué)結(jié)論，因而能有效地促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生在做中玩、在做中學(xué)、在做中創(chuàng)。比如教學(xué)《認(rèn)識厘米》（浙教版一下），在學(xué)生認(rèn)識了“厘米”、建立了“1厘米”長度表象后，筆者讓學(xué)生小組合作，用手中的“1厘米小棒”去測量橡皮、筆、桌面的長等。剛開始，有的小組學(xué)生還一根小棒一根小棒地量。后來，學(xué)生想到同小組的成員應(yīng)該相互合作，于是他們將小棒串聯(lián)起來，用“直尺雛形”去測量。許多學(xué)生都為自己的創(chuàng)造而自豪。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，激活了學(xué)生的創(chuàng)造潛質(zhì)，他們儼然一個(gè)個(gè)小小數(shù)學(xué)家了。

二、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：探尋學(xué)習(xí)力培育的教學(xué)路徑

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，是學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)的一種活動(dòng)。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)由“教”向“學(xué)”轉(zhuǎn)變，是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的最為主要的目的。教學(xué)中，教師要以學(xué)生的數(shù)學(xué)理解為原點(diǎn)，以學(xué)生的能力發(fā)展為坐標(biāo)，以學(xué)生的學(xué)力生成為旨?xì)w，不斷提升數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的品質(zhì)。

1. 以促進(jìn)理解為原點(diǎn)，拓展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)空間

“理解”是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的重要目標(biāo)之一。很多數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，從根本上說都是為了促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。數(shù)學(xué)知識是抽象的，但數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)卻能化抽象為形象，化抽象為直觀。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，借助外在的活動(dòng)，形象地反映數(shù)學(xué)原理，因而能實(shí)現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)認(rèn)知的同構(gòu)共生。

比如對于“將一個(gè)物體放置在一個(gè)盛水的容器中（完全浸沒），物體的體積就是上升的水的體積”，學(xué)生普遍感到理解困難。為了將這一抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論直觀地表征出來，筆者和學(xué)生一起做了一個(gè)《測量石塊的體積》的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。首先，讓學(xué)生觀察、測量量杯中原來有多少水;然后將石塊放置到杯子中，水面達(dá)到了一個(gè)新的高度，再讓學(xué)生觀察、測量量杯中有多少水。通過水的前后比較，適時(shí)追問學(xué)生：石塊的體積與什么有關(guān)？借助感性的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，有學(xué)生認(rèn)為，石塊的體積與量杯中水的高度有關(guān);有學(xué)生認(rèn)為，石塊的體積與量杯中上升的水的體積有關(guān);有學(xué)生認(rèn)為，石塊的體積就是用量杯中現(xiàn)在的水的體積減去原來的水的體積等。外在的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，成了學(xué)生數(shù)學(xué)理解的物質(zhì)原型。應(yīng)該說，這樣的實(shí)驗(yàn)對于學(xué)生理解體積、解決物體完全浸沒液體或者不完全浸沒液體問題都具有十分重要的意義和價(jià)值。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，既指向?qū)W生的數(shù)學(xué)思維對象，又根植于學(xué)生的思維心理。換言之，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)既能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有挑戰(zhàn)性，又能讓學(xué)生懷有濃烈的思維興趣和解決問題的欲望。通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生較為形象、較為直觀地理解了抽象化的數(shù)學(xué)知識。

2. 以能力發(fā)展為坐標(biāo)，重塑數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)樣態(tài)

數(shù)學(xué)教學(xué)要培育學(xué)生的核心素養(yǎng)，而其中包括兩個(gè)維度：一是必備品格，二是關(guān)鍵能力。以學(xué)生的關(guān)鍵能力為坐標(biāo)，能重塑學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)樣態(tài)。具體而言，學(xué)生的關(guān)鍵能力主要包括分析、比較、猜想、驗(yàn)證、抽象、概括等。這些能力的培育、生成，最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的意義和價(jià)值。

比如教學(xué)《長方形的面積（二）》，筆者提供結(jié)構(gòu)化的素材，引導(dǎo)學(xué)生從感性操作過渡到理性推理。首先，學(xué)生用一個(gè)面積單位的小正方形去擺長方形，在擺的過程中，學(xué)生觀察到長方形的長、寬與小正方形面積單位的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。由此，形成學(xué)生的實(shí)驗(yàn)猜想：長方形的長就是每行小正方形的個(gè)數(shù)，長方形的寬就是行數(shù)，長方形的面積就是小正方形的總個(gè)數(shù)。接著，學(xué)生對自己的猜想進(jìn)行驗(yàn)證，用小正方形去擺更多的長方形。擺的結(jié)果證實(shí)了自己的猜想。在驗(yàn)證了自己的猜想后，學(xué)生根據(jù)長方形的長、寬，通過計(jì)算直接求出面積。在這一過程中，學(xué)生跨越感性認(rèn)識，進(jìn)入到理性認(rèn)識層次。并且在這個(gè)過程中，學(xué)生建立起長方形面積公式的操作表象，將長方形面積的操作表象與長方形的長、寬、面積等建立關(guān)聯(lián)。學(xué)生的做思對接，外在化操作與內(nèi)隱化思維交融、共生。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，不是要讓學(xué)生停留在感性認(rèn)知的層面上，而是要借助感性操作，達(dá)到對理性數(shù)學(xué)的自主建構(gòu)、創(chuàng)造。從數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引發(fā)猜想逐步過渡到純粹的數(shù)學(xué)推理，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在逐漸“去實(shí)驗(yàn)”的過程中從粗糙走向嚴(yán)密，從感性走向理性。

3. 以學(xué)力生成為歸宿，拓展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)價(jià)值

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，是以促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解為原點(diǎn)，以學(xué)生的能力發(fā)展為坐標(biāo)，以學(xué)生的學(xué)習(xí)生成為歸宿的。拓展、延伸數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的價(jià)值，要求數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要從工具理性價(jià)值向?qū)嵺`理性價(jià)值過渡，從實(shí)踐理性價(jià)值向解放理性價(jià)值過渡。換言之，學(xué)生學(xué)習(xí)力的提升、核心素養(yǎng)的發(fā)展、生命的成長是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的旨?xì)w。

教學(xué)《圓錐的體積》，筆者放手讓學(xué)生實(shí)驗(yàn)。由于筆者賦予了學(xué)生自由實(shí)驗(yàn)的時(shí)空，因此學(xué)生群策群力、眾籌眾謀。有小組的學(xué)生先用橡皮泥捏成等底等高的圓柱、圓錐，然后將圓錐捏成圓柱，從而直觀、近似地發(fā)現(xiàn)圓錐的體積是圓柱體積的三分之一左右;有小組的學(xué)生先將等底等高的圓錐形容器倒?jié)M水，然后倒入圓柱中，結(jié)果發(fā)現(xiàn)要倒三次;還有小組學(xué)生用橡皮泥捏成等底等高的圓柱、圓錐后，將圓錐、圓柱放置于電子秤上稱量等。各種不同的實(shí)驗(yàn)方法，彰顯了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)智慧。通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生感性地認(rèn)識到等底等高的圓柱和圓錐之間的關(guān)系。就在實(shí)驗(yàn)即將結(jié)束之際，還有學(xué)生萌發(fā)了這樣一個(gè)了不起的數(shù)學(xué)猜想：“老師，就像圓可以看成由無數(shù)個(gè)扇形組成，無數(shù)個(gè)扇形可以看成無數(shù)個(gè)三角形一樣，圓錐能不能也看成自上而下或者自下而上的無數(shù)個(gè)圓柱呢？”筆者對學(xué)生通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)萌發(fā)的大膽猜想表示肯定，同時(shí)告訴學(xué)生，這就是高中微分幾何所探討的內(nèi)容。

以學(xué)生學(xué)力生成為歸宿，要求教師不回避學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中遭遇的問題，而是對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)給予引導(dǎo)。實(shí)驗(yàn)過程中，既要肯定與數(shù)學(xué)結(jié)論相互印證的數(shù)學(xué)操作，更要抓住契機(jī)，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)視界，從而將學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)力培育真正落到實(shí)處。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一種打通數(shù)學(xué)與學(xué)生經(jīng)驗(yàn)間通道的學(xué)習(xí)方式。通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生能主動(dòng)地觀察、思考、操作、發(fā)現(xiàn)，從而促進(jìn)學(xué)生學(xué)力的生成。作為教師，要拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)空間，重塑數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)樣態(tài)，拓展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)價(jià)值。通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，賦予學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)力自然生長的力量。

作者簡介：胡陳清（1978-），本科學(xué)歷，中小學(xué)一級教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。