提升數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的路徑思考

華云鋒

（鹽城經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校，江蘇 鹽城 224007）

數(shù)學(xué)的發(fā)展起源于計(jì)數(shù)和算術(shù)，隨著古希臘數(shù)學(xué)的興起，突出了對(duì)“形”的研究，形成了對(duì)自然界的高度抽象。數(shù)學(xué)是由數(shù)、符號(hào)、圖形等元素組成的思維性學(xué)科，其中，數(shù)學(xué)公式的抽象性、幾何推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和能揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的模型思想給人們留下了深刻的印象。

以下筆者從“抽象”“推理”“建模”等關(guān)鍵能力提升路徑方面簡述自己在教學(xué)過程中的一些思考。

一、訓(xùn)練“抽象能力”的基本路徑

數(shù)學(xué)抽象是指從情境（或原型）中把數(shù)、式或形的共同特征概括出來的一種思維活動(dòng)。如一組數(shù)3，5,9，……，你能發(fā)現(xiàn)其中的變化規(guī)律嗎？也許你能通過分析發(fā)現(xiàn)第4個(gè)數(shù)是17，但這不屬于抽象，如果你發(fā)現(xiàn)了這組數(shù)的一般規(guī)律可以用2n+1表示（n為正整數(shù)），運(yùn)用了代數(shù)式的符號(hào)功能，這種由具體到一般的思維活動(dòng)過程就屬于數(shù)學(xué)抽象。

我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)過程中如何培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力呢？

1.在概念教學(xué)中訓(xùn)練學(xué)生的抽象能力

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，學(xué)生從起點(diǎn)邁出的第一步就是要理解實(shí)際問題的背景意義，然后是去“情境化”，教者通過自身學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)或者教學(xué)經(jīng)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生分析、綜合，從而幫助學(xué)生引出一個(gè)數(shù)學(xué)概念。

例如，當(dāng)學(xué)生不能從食品包裝盒、奶瓶、籃球等實(shí)物中抽象出點(diǎn)、線、面、體時(shí)，教師就可以借助微視頻形式呈現(xiàn)視覺變化過程：具體實(shí)物—隱藏文字—隱藏顏色—呈現(xiàn)線條—標(biāo)注字母，這種從具體到抽象的動(dòng)態(tài)展示，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，訓(xùn)練了學(xué)生的思維轉(zhuǎn)換模式，原來抽象的內(nèi)容也能“可視化”。

再如，在“函數(shù)”概念教學(xué)中，書本上能找到的實(shí)際背景有很多，如隨時(shí)間的不斷增加勻速行駛的汽車路程也不斷增加，蠟燭燃燒后余下的長度變化等，教者如何啟發(fā)學(xué)生在一組組關(guān)系量中思考它們的共性問題：都有常量、變量嗎？有幾個(gè)變量？變量之間存在怎樣的變化關(guān)系？某一天中氣溫隨著時(shí)間的變化而變化，符合以上共性嗎？這需要教者有一個(gè)符合學(xué)生體驗(yàn)認(rèn)知的教學(xué)設(shè)計(jì)，才能使學(xué)生從情境中對(duì)“函數(shù)”概念進(jìn)行“理解—抽象—再理解”。

2.在公式推導(dǎo)中訓(xùn)練學(xué)生的抽象能力

數(shù)學(xué)公式大多是由特殊到一般的歸納和抽象產(chǎn)生的，如冪的乘方、積的乘方公式就是由數(shù)的運(yùn)算演變到字母的一般性表示，也有的公式是根據(jù)定義特別設(shè)定的，比如方差的定義，為了更加客觀地反映一組數(shù)據(jù)的離散程度，用每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的偏差的平方的平均數(shù)來表示一組數(shù)據(jù)的方差，于是運(yùn)用符號(hào)語言表示成：

對(duì)于數(shù)學(xué)公式的學(xué)習(xí)與運(yùn)用，不同的學(xué)生感受是不一樣的。有的學(xué)生喜歡公式的直接運(yùn)用，快捷簡便；有的學(xué)生煩惱的是對(duì)公式不理解，記不牢，用了容易錯(cuò)；少數(shù)特別厲害的學(xué)生不愿意記憶繁瑣的數(shù)學(xué)公式，需要時(shí)自己能推導(dǎo)公式。教師在平時(shí)的教學(xué)中要把公式的“兩面性”向?qū)W生說明白：“好用不好記?！币虼藢?duì)學(xué)生要進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)，不能死記硬背，要有推導(dǎo)公式尋找公式來源的求源求真精神。

3.在讀題審題中訓(xùn)練學(xué)生的抽象能力

一道數(shù)學(xué)問題呈現(xiàn)的形式往往是多樣的，對(duì)于代數(shù)中的文字信息題，教者在教學(xué)過程中要培養(yǎng)學(xué)生反復(fù)讀題的耐心，如方程問題，關(guān)鍵是仔細(xì)審題找出題中“隱藏”的相等關(guān)系，再由關(guān)系簡單的量中挑選一個(gè)量設(shè)立未知數(shù)。這種用符號(hào)、等式把問題轉(zhuǎn)化的能力就是分析問題的能力，就是抽象思維的能力。正如蘇霍姆林斯基所說，學(xué)生思考算術(shù)題的能力，取決于他們掌握抽象結(jié)論的能力。

例如，某校擬組織開展一次全市教育主題研討活動(dòng)，預(yù)計(jì)將有200至400名人員參加會(huì)議，為了確保參會(huì)人員都有座位，問該校至少要準(zhǔn)備多少個(gè)座位？有的學(xué)生說至少準(zhǔn)備200個(gè)，有的說準(zhǔn)備200到400個(gè)之間的任意整數(shù)個(gè)，這就是同學(xué)們?cè)跊]有直接體驗(yàn)條件下的“憑空想象”，缺乏深度審題，少了自我追問，于是很難得到正確結(jié)果：至少要準(zhǔn)備400個(gè)座位。

所有的數(shù)學(xué)運(yùn)算都是基于運(yùn)算法則或者性質(zhì)的，因此對(duì)于計(jì)算、化簡類問題的教學(xué)，教者要千方百計(jì)讓學(xué)生真正理解算理，教師如果要求學(xué)生“強(qiáng)記”課本結(jié)論，就會(huì)出現(xiàn)各種奇葩的錯(cuò)誤。

對(duì)于幾何圖形類問題，當(dāng)題中已知信息很多時(shí)，如何尋找思維入口，如何進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼?，這里需要給學(xué)生授之以“漁”：是“順藤摸瓜”還是“倒扒魚鱗”，還是二者兼顧。

二、提升“推理能力”的基本路徑

學(xué)生進(jìn)入七年級(jí)，數(shù)學(xué)不再是單純的計(jì)算，隨著內(nèi)容的拓寬、知識(shí)的深化，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)入一個(gè)關(guān)鍵期[1],其中培養(yǎng)同學(xué)們的推理能力就是一項(xiàng)很重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容。在教學(xué)過程中如何培養(yǎng)學(xué)生的推理能力呢？

1.第一步：培養(yǎng)幾何直觀能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，“幾何直觀”主要在于利用圖形描述和分析問題，幾何直觀這種依靠視覺的思維方式可以為我們的學(xué)習(xí)與生活提供很多便利。

教師在組織幾何推理的教學(xué)過程中，要教會(huì)學(xué)生邊讀題、邊看圖，并且把相關(guān)數(shù)據(jù)標(biāo)注在圖形中，體現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”思想。如果沒有圖形，首先要根據(jù)題中條件畫出圖形，充分體現(xiàn)圖形的“可視化”效果。

形是抽象的存在。學(xué)會(huì)畫圖也是一種能力，我們多給學(xué)生訓(xùn)練和糾錯(cuò)機(jī)會(huì)，必要時(shí)要強(qiáng)化訓(xùn)練動(dòng)態(tài)問題的幾何圖形，讓學(xué)生在“一題多圖”中感受圖形的魅力和幾何結(jié)論的美妙。

圖1

圖2

2.第二步：幫助理清解題思路

數(shù)學(xué)是思維的體操，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理和理性思維方面的能力顯得尤為重要，應(yīng)從問題分析開始：要證明的結(jié)論是什么？已知條件有哪些？條件與結(jié)論有直接聯(lián)系嗎？從哪個(gè)（或者哪些）條件入手？沿著知識(shí)鏈展開聯(lián)想，并向著目標(biāo)的方向探索。如果方向不明，則要從結(jié)論逆推，這叫“執(zhí)果索因”。當(dāng)從條件到結(jié)論的思路，與從結(jié)論到條件的思路有碰撞時(shí)，完整的解題思路就算暢通了。如果始終無法碰撞，可以嘗試添加輔助線來創(chuàng)造條件，重新構(gòu)思。

圖3

3.第三步：規(guī)范學(xué)生書寫步驟

推理與證明是數(shù)學(xué)的本質(zhì)和有力的部分。幾何證明題要用好“因?yàn)椤薄八浴钡耐评砀袷剑龅讲讲接袚?jù)。

有的是一個(gè)條件對(duì)應(yīng)一個(gè)結(jié)論（簡稱“一對(duì)一”），如“同位角相等兩直線平行”；有的是多個(gè)條件得出一個(gè)結(jié)論（簡稱“多對(duì)一”），如“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等”，在書寫條件時(shí)要寫全三個(gè)，即角相等和兩個(gè)垂直；有的是一個(gè)條件對(duì)應(yīng)多個(gè)結(jié)論（簡稱“一對(duì)多”），如“矩形的性質(zhì)定理”；還有“多對(duì)多”，如“三角形中位線的性質(zhì)”。無論哪一種形式，書寫都要嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范，既不能漏步，也不能條件零散地呈現(xiàn)、缺乏條理性。

三、培養(yǎng)“數(shù)學(xué)建?！钡幕韭窂?/h2>

法國的布爾巴基學(xué)派認(rèn)為，數(shù)學(xué)是“研究結(jié)構(gòu)的科學(xué)”。數(shù)學(xué)建模就是把錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問題簡化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程,屬于一種數(shù)學(xué)的思考方法、解題策略，它是借助于特定的條件構(gòu)建而成的新模型，初中數(shù)學(xué)中常見的有方程模型、函數(shù)模型、概率（數(shù)據(jù)）模型、圖形（變換）模型等，我們?cè)谡n堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生建模意識(shí)的基本路徑有哪些呢？

1.教會(huì)學(xué)生用好“方程思想、函數(shù)思想”等有力工具

知識(shí)是形成素養(yǎng)的載體，思想與方法是“知識(shí)”背后的“知識(shí)”，是學(xué)科的精髓與靈魂。[2]在教學(xué)中要指導(dǎo)學(xué)生當(dāng)問題中出現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，如甲的速度比乙的2倍少20千米每小時(shí)、甲班人均捐款比乙班人均捐款多20%、2輛大車與6輛小車一次可以運(yùn)貨23噸等，就要想到引入“未知數(shù)”，用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)未知量，再根據(jù)相等關(guān)系構(gòu)建方程，這就是方程思想的運(yùn)用；還如銷售問題中成本、售價(jià)、銷售量以及銷售利潤出現(xiàn)兩個(gè)未知量時(shí)，通?？梢栽O(shè)出兩個(gè)參數(shù)（其中一個(gè)是自變量），建立函數(shù)關(guān)系，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)解決問題。

像以上這種通過設(shè)未知數(shù)或自變量，建立方程或函數(shù)解決問題的基本思想是數(shù)學(xué)應(yīng)用中比較典型的數(shù)學(xué)建模，有了“模型意識(shí)”就相當(dāng)于學(xué)生得到了解決問題的重要法寶。

2.給學(xué)生充分自主實(shí)踐的機(jī)會(huì)

自信來自于成功的體驗(yàn)。在數(shù)學(xué)解題中學(xué)生有了模型意識(shí)，教師就要組織學(xué)生大膽“try”。建模也是一種創(chuàng)新，如由三角函數(shù)的實(shí)際問題考查學(xué)生構(gòu)造直角三角形解決問題的能力，通過求“最短距離”考查對(duì)“兩點(diǎn)之間線段最短”“垂線段最短”的等量轉(zhuǎn)化、圖形建模和圖形創(chuàng)新能力。

例如，已知：如圖4,在直角三角形ABC中，AB=5,BC=3,∠C=90°，D是以A為圓心、半徑為2的圓上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD,點(diǎn)T為BD的中點(diǎn)，則線段CT長度的最大值為____。

本題可以構(gòu)造三角形中位線模型求解。如果教師能夠給學(xué)生介紹“瓜豆原理”這個(gè)幾何模型，豈不是又多了一個(gè)有力的解題工具。題中點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑是半徑為2的圓A,我們可以得到BD的中點(diǎn)T的運(yùn)動(dòng)路徑也是一個(gè)圓，即“圓生圓”，如圖5。那么這個(gè)圓的圓心在哪里呢？圓的半徑又是多少呢？這些問題可以留給學(xué)生親歷探究過程，這樣便于加強(qiáng)問題理解和模型意識(shí)的形成。

圖4

圖5

還要指導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題方法。數(shù)學(xué)模型意識(shí)的形成需要學(xué)生解題實(shí)踐，更需要解題反思或方法總結(jié)。依托模型思想解題，如果學(xué)生理解為數(shù)學(xué)解題有固定的“套路”可循，那就是錯(cuò)誤的或者荒謬的[3]，事實(shí)上數(shù)學(xué)是思維性學(xué)科，題型復(fù)雜多變，除了基礎(chǔ)題可以直接運(yùn)用公式或者定理之外，大多數(shù)問題是需要大腦的思維推演，也就是先弄清題量關(guān)系，包括數(shù)據(jù)分析、圖形演變，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆椒ㄟx擇，精巧的思路來源于不斷總結(jié)反思形成的思維悟性。如果數(shù)學(xué)老師每上完一節(jié)課，都引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)方法或?qū)W習(xí)技能，長期下去，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的感悟以及模型意識(shí)的養(yǎng)成將會(huì)大有幫助。

如何在課堂教學(xué)中提升指向數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)鍵能力，值得各位思考和研究。培養(yǎng)能力，提升素養(yǎng)，像浸潤、融合，久久為功，無法速成?！?/p>