橡膠彈簧結(jié)構(gòu)強(qiáng)度分析及參數(shù)優(yōu)化

丁智平， 曾家興,， 林 勝， 黃友劍

(1.湖南工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，湖南株洲 412007； 2.株洲時(shí)代新材料科技股份有限公司，湖南 株洲 412007)

隨著軌道交通的迅猛發(fā)展，人們對(duì)車(chē)輛的安全性、舒適性和可靠性的要求越來(lái)越高。橡膠彈性減振元件因其具有良好的減振、隔振性能而廣泛應(yīng)用于軌道車(chē)輛減振系統(tǒng)中，起牽引、懸掛、隔振和緩沖的重要作用。但是橡膠彈性元件在使用過(guò)程中工況復(fù)雜，受到復(fù)雜應(yīng)力和沖擊載荷的作用，其剛度特性及疲勞壽命受到很大影響。所以在橡膠彈性元件設(shè)計(jì)過(guò)程中，剛度及疲勞壽命都是設(shè)計(jì)人員關(guān)注的重點(diǎn)。

目前，國(guó)內(nèi)外已有不少學(xué)者對(duì)橡膠彈性元件的剛度、疲勞以及優(yōu)化進(jìn)行了研究。李志超[1]利用ABAQUS軟件，以最小化最大應(yīng)變能密度為目標(biāo)函數(shù)，對(duì)平板橡膠堆進(jìn)行形狀優(yōu)化，提高了橡膠堆的疲勞壽命。丁智平等[2]利用連續(xù)介質(zhì)損傷力學(xué)概念，建立疲勞壽命預(yù)測(cè)模型，對(duì)軌道交通用橡膠球鉸進(jìn)行壽命評(píng)估，并通過(guò)橡膠球鉸臺(tái)架疲勞試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證，預(yù)測(cè)精度比較理想。Mars等[3]、Saintier等[4]、Verron等[5-6]和Ayoub等[7]進(jìn)行了一系列的橡膠疲勞研究工作，并提出了多種描述橡膠多軸疲勞的損傷參量。譚高詢(xún)等[8]結(jié)合優(yōu)化算法以橡膠懸置幾何參數(shù)為變量，三向懸置剛度曲線為目標(biāo)，完成橡膠懸置結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，并提出一種新的橡膠懸置結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法。張亞新等[9]提出基于等應(yīng)力設(shè)計(jì)理念的優(yōu)化設(shè)計(jì)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，通過(guò)等應(yīng)力理念設(shè)計(jì)的產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，在確保結(jié)構(gòu)獲得等應(yīng)力的同時(shí)，結(jié)構(gòu)的疲勞壽命得到了成倍增加。王偉等[10]對(duì)平衡懸架橡膠彈簧靜剛度特性進(jìn)行了分析，并對(duì)其極限工況下的內(nèi)部應(yīng)力分布進(jìn)行分析，根據(jù)分析結(jié)果對(duì)現(xiàn)有橡膠彈簧結(jié)構(gòu)進(jìn)行了結(jié)構(gòu)優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果理想。趙建才等[11]利用遺傳算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的策略對(duì)橡膠懸置元件的幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。王俊等[12]對(duì)軌道車(chē)輛某型橡膠一系彈簧進(jìn)行了結(jié)構(gòu)優(yōu)化。Zhao等[13]對(duì)汽車(chē)輪子曲軸用橡膠堆的疲勞裂紋問(wèn)題進(jìn)行了理論計(jì)算和試驗(yàn)分析，發(fā)現(xiàn)應(yīng)力集中區(qū)域?yàn)橄鹉z和金屬的接觸面，并通過(guò)改進(jìn)內(nèi)套的結(jié)構(gòu)和橡膠膠料硬度，有效的減小了橡膠和金屬接觸面的應(yīng)力，提高了產(chǎn)品的疲勞壽命。Lee等[14]考慮橡膠制作的光電隔離器的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)行為特性，采用拓?fù)鋬?yōu)化對(duì)光電隔離器進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。

本文針對(duì)一款新型的錐形橡膠彈簧，選取影響其剛度及疲勞壽命的結(jié)構(gòu)參數(shù)，通過(guò)正交試驗(yàn)分析各參數(shù)對(duì)其剛度及最大主應(yīng)變的影響程度，建立優(yōu)化模型進(jìn)行尋優(yōu)求解，獲取最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)。

1 錐形簧結(jié)構(gòu)及工作特性

錐形橡膠彈簧在實(shí)際工作中主要承受垂向載荷，同時(shí)還能承受一定的橫向載荷，起彈性支撐和定位作用，其主要由芯軸、橡膠、隔板和外套組成，見(jiàn)圖1。

錐形簧的承載特性為壓、剪復(fù)合作用，一方面通過(guò)橡膠的剪切效應(yīng)提供大的變形效果，另一方面通過(guò)橡膠的壓縮效應(yīng)提供一定的非線性承載能力，從而使得變形與承載達(dá)到一個(gè)較好的匹配。為提高錐形簧結(jié)構(gòu)的可靠性及承載能力，通常將其設(shè)計(jì)為多層橡膠壓剪復(fù)合結(jié)構(gòu)，這種多層結(jié)構(gòu)具有良好的承載特性[15]，承載性能和疲勞性能見(jiàn)表1[16]。

圖1 錐形簧結(jié)構(gòu)圖

項(xiàng)目工況載荷/kN性能要求垂向剛度/(kN·mm-1)22～300.7(1±12%)疲勞性能(循環(huán)次數(shù))30±9kN2000000

2 橡膠材料的本構(gòu)關(guān)系

橡膠材料是一種典型的超彈性材料，具有明顯的非線性特征，通常采用應(yīng)變能密度函數(shù)來(lái)準(zhǔn)確描述其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。橡膠材料的應(yīng)變能密度函數(shù)W是變形張量不變量I1、I2和I3的函數(shù)。

(1)

式中：λ1、λ2和λ3為3個(gè)主拉伸比。橡膠材料為各向同性幾乎不可壓縮材料，故λ1λ2λ3=1。W可用變形張量不變量的級(jí)數(shù)形式表示

(2)

式中：Cij為常數(shù)。

表示W(wǎng)廣泛采用的是Mooney-Rivlin模型，其表達(dá)式為

W=C10(I1-3)+C01(I01-3)

(3)

該模型能很好的描述橡膠在150%內(nèi)變形的特性。本文在有限元分析中取模型參數(shù)為：C10=0.312，C01=0.087[17]。

3 錐形簧結(jié)構(gòu)強(qiáng)度及其影響因素分析

3.1 錐形簧仿真分析

根據(jù)圖1所示的錐形簧結(jié)構(gòu)，建立如圖2所示的軸對(duì)稱(chēng)有限元分析模型，根據(jù)錐形簧的實(shí)際工況載荷，在芯軸一端施加固定約束，在外套沿Y方向施加30±9 kN的載荷。有限元分析結(jié)果如表2所示。

圖2 有限元分析模型

項(xiàng)目剛度/(kN·mm-1)最大主應(yīng)變范圍ΔLE分析結(jié)果0.6480.6182

文中最大主應(yīng)變范圍是指最大載荷工況下橡膠的節(jié)點(diǎn)主應(yīng)變場(chǎng)數(shù)值與最小載荷工況下橡膠的節(jié)點(diǎn)主應(yīng)變場(chǎng)數(shù)值之代數(shù)差的絕對(duì)值中的最大值。

3.2 結(jié)構(gòu)強(qiáng)度影響因素分析

根據(jù)錐形簧的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和仿真分析，作者考慮大圓弧半徑R、凹槽深度h、型面傾角θ和小圓弧半徑r為其結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的影響因素，見(jiàn)圖1。四個(gè)因素初始值分別為：R=150 mm，h=11.3 mm，θ=50°，r=4.5 mm。

本文采用正交試驗(yàn)法研究四個(gè)因素對(duì)錐形簧結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的影響程度。正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法的優(yōu)點(diǎn)有：①因子水平均衡搭配，數(shù)據(jù)點(diǎn)分布均勻；②大大減少了試驗(yàn)分析次數(shù)；③可用相應(yīng)的極差分析方法、方差分析方法、回歸分析方法等對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，得到有價(jià)值的結(jié)論[18]。分別對(duì)四個(gè)因素均勻取4個(gè)水平，如表3所示。

表3 試驗(yàn)因素及水平Tab.3 Factors and levels of simulation test

由表3可知，正交試驗(yàn)為4因素4水平，本文選用L16(45)正交表設(shè)計(jì)確定了16組試驗(yàn)，進(jìn)行了錐形簧仿真試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果如表4所示。表4中第5列未安排試驗(yàn)因素。

為了分析各個(gè)因素對(duì)錐形簧剛度和最大主應(yīng)變范圍的影響程度，確定各個(gè)因素對(duì)彈簧剛度及危險(xiǎn)單元最大主應(yīng)變范圍影響的貢獻(xiàn)率，對(duì)表4正交試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行方差分析。所得四個(gè)因素對(duì)錐形簧剛度和危險(xiǎn)單元最大主應(yīng)變范圍影響的方差分析結(jié)果見(jiàn)表5和表6,表中F值是指因素平方和與誤差平方和的比值。

表4 正交試驗(yàn)結(jié)果Tab.4 Result of orthogonal test

表5 各影響因素對(duì)錐形簧剛度影響的方差分析結(jié)果Tab.5 The variance analysis results of the influence factors on the conical spring stiffness

表6 各影響因素對(duì)最大主應(yīng)變范圍影響的方差分析結(jié)果Tab.6 The variance analysis results of the influence factors on the conical spring maximum principal strain range

各因素對(duì)剛度和最大主應(yīng)變范圍的影響情況見(jiàn)圖3和圖4，圖中平均數(shù)指的是同一水平下試驗(yàn)指標(biāo)之和與該水平下試驗(yàn)次數(shù)之比。

分析表5和表6的數(shù)據(jù)可知:型面傾角θ和小圓弧半徑r對(duì)錐形簧剛度的影響較大，貢獻(xiàn)率分別為59.999 4%和26.666 8%，大圓弧半徑R和凹槽深度h對(duì)剛度的影響較??；型面傾角θ對(duì)錐形簧危險(xiǎn)單元最大主應(yīng)變范圍的影響最顯著，其貢獻(xiàn)率為88.6848%，大圓弧半徑R、凹槽深度h和小圓弧半徑r對(duì)危險(xiǎn)單元最大主應(yīng)變范圍的影響較小。根據(jù)圖3和圖4也可看出，型面傾角對(duì)剛度和最大主應(yīng)變范圍的影響最為顯著。

圖3 各因素對(duì)剛度的影響情況

圖4 各因素對(duì)最大主應(yīng)變范圍的影響情況

4 錐形簧結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化

為了優(yōu)化錐形簧結(jié)構(gòu)參數(shù)，使錐形簧在滿(mǎn)足剛度要求的前提下，其最大主應(yīng)變范圍最小，本文利用近似模型方法建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，使用Isight軟件結(jié)合ABAQUS有限元分析軟件對(duì)錐形簧結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

4.1 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的建立

以影響彈簧結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的四個(gè)主要因素大圓弧半徑R、凹槽深度h、型面傾角θ和小圓弧半徑r作為設(shè)計(jì)變量，以彈簧剛度k作為約束條件，以橡膠部分的最大主應(yīng)變范圍ΔLE作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型如下：

min ΔLE=f(R，h，θ，r)
s.t. 0.616≤k≤0.784

R=[135，165]，h=[10，13]，θ=[45，60]，r=[3.5，5.5]

由于優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)難以用明確的數(shù)學(xué)表達(dá)式描述，本文采用近似模型方法(Approximation Models)[18]來(lái)構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)。近似模型是用來(lái)模擬一系列輸入變量與輸出響應(yīng)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，主要用于難以用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述的復(fù)雜工程問(wèn)題。其基本思路是：采用DOE方法布置樣本，并得到樣本的響應(yīng)函數(shù)值；然后根據(jù)樣本及其響應(yīng)值，采用擬合和插值方法構(gòu)造近似模型；最后以近似模型為依據(jù)采用優(yōu)化方法獲取最優(yōu)方案。近似模型可用下式來(lái)描述輸入變量和輸出響應(yīng)之間的關(guān)系：

min ΔLE=f(R，h，θ，r)=y(x1,x2,x3,x4)=

響應(yīng)面模型是近似模型中常用的一種模型，它是以試驗(yàn)設(shè)計(jì)為基礎(chǔ)的用于處理多變量問(wèn)題建模和分析的一種統(tǒng)計(jì)處理技術(shù)。構(gòu)造響應(yīng)面模型的最少樣本點(diǎn)數(shù)依賴(lài)于模型階數(shù)和輸入變量個(gè)數(shù)。本文采用二階響應(yīng)面模型，初始化所需的最少樣本點(diǎn)數(shù)為(M+1)(M+2)/2個(gè)。優(yōu)化數(shù)學(xué)模型中有4個(gè)設(shè)計(jì)變量，故構(gòu)造響應(yīng)面模型最少需要15個(gè)樣本點(diǎn)。

4.2 優(yōu)化試驗(yàn)設(shè)計(jì)

為了獲取構(gòu)建優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的試驗(yàn)樣本、提高模型的精確性，選用合理的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)至關(guān)重要。最優(yōu)拉丁超立方設(shè)計(jì)方法是拉丁超立方設(shè)計(jì)方法的改進(jìn)，它能夠使所有的試驗(yàn)點(diǎn)盡量均勻分布在設(shè)計(jì)空間內(nèi)，如圖5所示，具有非常好的空間填充性和均衡性，使因子和響應(yīng)的擬合更加精確真實(shí)。本文使用Isight軟件提供的DOE模塊，采用最優(yōu)拉丁超立方設(shè)計(jì)方法，根據(jù)設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)和取值范圍，設(shè)計(jì)了15組試驗(yàn)樣本作為輸入變量，以剛度和最大主應(yīng)變范圍為輸出響應(yīng)，結(jié)合有限元分析技術(shù)，得到各樣本點(diǎn)響應(yīng)的數(shù)值，見(jiàn)表7。

圖5 最優(yōu)拉丁超立方

試驗(yàn)樣本點(diǎn)R/mmh/mmθ/(°)R/mm剛度k/(kN·mm-1)最大主應(yīng)變范圍ΔLE1141.4311.7158.933.790.6570.71012162.8610.4357.864.070.6510.71343137.1411.551.435.360.6330.574139.291054.644.360.6460.68985152.1410.6450.363.50.6410.65526154.2912.5748.213.640.6270.56537156.4310.2152.55.210.6460.62928143.571355.714.790.6430.57649147.8611.07605.070.6470.76961016511.2947.144.50.6370.606711145.7110.86454.640.6190.57311213511.9349.293.930.6340.590513160.7112.3656.794.210.6450.66614158.5712.1453.575.50.650.71291515012.7946.074.930.6320.5592

4.3 結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化

Isight軟件的全域優(yōu)化算法(Global Optimization)[18]適應(yīng)性強(qiáng)：只評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)點(diǎn)，不計(jì)算任何函數(shù)梯度；具有全局性：能求解全域最優(yōu)解，避免了集中在局部區(qū)域的搜索。全域優(yōu)化算法中的MIGA多島遺傳算法(Multi-Island Genetic Algorithm)具有比傳統(tǒng)遺傳算法更優(yōu)良的全局求解能力和計(jì)算效率。

根據(jù)15組試驗(yàn)樣本的輸入變量和輸出響應(yīng)值，將其輸入到Isight軟件中，由Isight軟件自動(dòng)建立響應(yīng)面模型，并選擇多島遺傳算法作為優(yōu)化算法，以彈簧剛度為約束條件、最大主應(yīng)變范圍為優(yōu)化目標(biāo)對(duì)錐形簧結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。通過(guò)優(yōu)化，得到最優(yōu)解的結(jié)果，如表8所示。

4.4 優(yōu)化結(jié)果驗(yàn)證

根據(jù)表8中的最優(yōu)解，圓整錐形簧結(jié)構(gòu)參數(shù)為R=135 mm，h=13 mm，θ=50°，r=5 mm，然后設(shè)計(jì)錐形簧進(jìn)行產(chǎn)品試驗(yàn)，并進(jìn)行有限元仿真分析，產(chǎn)品試驗(yàn)和仿真分析結(jié)果分別與最優(yōu)解進(jìn)行對(duì)比，見(jiàn)表9。

表8 最優(yōu)解結(jié)果Tab.8 Optimal result

表9 錐形簧結(jié)構(gòu)優(yōu)化對(duì)比Tab.9 Comparison of structure optimization of conical spring

分析表9中的數(shù)據(jù)可知：根據(jù)優(yōu)化結(jié)果對(duì)錐形簧結(jié)構(gòu)參數(shù)圓整后進(jìn)行仿真分析，仿真剛度值和最大主應(yīng)變范圍分別為0.638 kN/mm和0.495 2，與最優(yōu)解的誤差分別為1.75%和3.57%，與原結(jié)構(gòu)相比，最大主應(yīng)變范圍降低了19.9%；錐形簧結(jié)構(gòu)參數(shù)經(jīng)圓整后的產(chǎn)品試驗(yàn)剛度值為0.658 kN/mm，與最優(yōu)解的誤差為4.71%，這可能是由于橡膠材料的非線性特性，導(dǎo)致試驗(yàn)值誤差大于仿真值誤差。

5 結(jié) 論

(1)采用Mooney-Rivlin橡膠超彈本構(gòu)模型，對(duì)錐形橡膠彈簧進(jìn)行有限元數(shù)值模擬，分析了橡膠彈簧的垂向剛度和最大主應(yīng)變范圍。

(2)基于正交試驗(yàn)方法，選取大圓弧半徑R、凹槽深度h、型面傾角θ和小圓弧半徑r為影響因素，進(jìn)行錐形簧仿真試驗(yàn)，并對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行方差分析。分析結(jié)果表明：型面傾角θ對(duì)橡膠彈簧剛度和最大主應(yīng)變范圍影響最大，各因素對(duì)剛度的影響程度依次為θ>r>R=h，對(duì)最大主應(yīng)變范圍的影響程度依次為θ>h>r>R。

(3)基于二階響應(yīng)面模型和最優(yōu)拉丁超立方設(shè)計(jì)方法，以大圓弧半徑、凹槽深度、型面傾角和小圓弧半徑為設(shè)計(jì)變量，以剛度為約束條件，以最大主應(yīng)變范圍為目標(biāo)函數(shù)建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。采用MIGA多島遺傳算法對(duì)錐形橡膠彈簧結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，并將優(yōu)化結(jié)果代入仿真模型進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證，剛度和最大主應(yīng)變范圍試驗(yàn)結(jié)果與最優(yōu)解結(jié)果的誤差分別為1.75%、3.57%，優(yōu)化結(jié)果精度較高，相比原結(jié)構(gòu)最大主應(yīng)變范圍降低了19.9%；試驗(yàn)剛度值與最優(yōu)解剛度值之間的誤差為4.71%，滿(mǎn)足剛度技術(shù)要求。