非線性-線性聯合結構控制方法減震性能研究

王菁菁， 劉志彬， 浩文明

(1. 廣州大學 土木工程學院，廣州 510006；2. 湖南工業(yè)大學 土木工程學院，湖南 株洲 412000)

結構控制技術能夠有效減小結構地震響應[1]，其中調諧質量阻尼器(Tuned Mass Damper， TMD)在實際工程中應用十分廣泛[2-3]。TMD一般放置在主體結構頂層，理論模型中TMD的附加質量通過線性彈簧和阻尼單元與主體結構相連，由TMD和主體結構組成的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。當TMD與主體結構頻率相調諧時，TMD振動劇烈，消耗系統(tǒng)能量從而減小主體結構響應。真實結構的頻率可能因為環(huán)境和荷載的不確定性、設計與施工之間的差異、以及極端荷載作用下構件發(fā)生損傷而改變，造成TMD與主體結構失調。此時，在初始設計中性能良好的TMD減振性能發(fā)生退化[4]。非線性能量阱(Nonlinear Energy Sink， NES)是一種非線性質量阻尼器，使用非線性彈簧代替TMD中的線性彈簧[5-7]，即NES的恢復力與其位移成非線性關系，具有可變剛度。現有研究中[8-14]將恢復力與位移成三次方關系的NES定義為一型NES。一型NES的恢復力切線剛度隨位移增大而增大，自振頻率也隨之改變，使得NES能夠與較廣范圍的頻率相調諧，對主體結構頻率的變化具有較高的魯棒性。但同時，NES的非線性特點導致其控制性能對輸入能量大小較敏感[15]，即只能在某一能量等級達到有效減振所需的理想剛度。對于能量變化較大的地震作用，NES將無法發(fā)揮其最佳減震性能。為解決上述問題，作者提出了將線性和非線性兩類控制方法聯合使用的結構控制方法，使一個或一組裝置同時具備TMD的線性特點和NES的非線性特點，在脈沖型荷載作用下，線性和非線性聯合的控制方法展現出較強的能量魯棒性和頻率魯棒性[16]。劉良坤等[17]對TMD與NES并聯的控制方法結合復變量平均法并利用多尺度法進行了近似分析，結果表明混合系統(tǒng)既拓寬了頻帶又降低了對初始能量的敏感性。

本文對單質量聯合阻尼器和雙質量聯合阻尼器兩類非線性-線性結構控制方法的減震性能進行了進一步研究，其中單質量聯合阻尼器在一個附加質量的正負運動方向上分別設置非線性和線性恢復力，雙質量聯合阻尼器在兩個附加質量上分別設置非線性和線性恢復力。以兩自由度主體結構為例，本文對脈沖型荷載作用下單質量和雙質量聯合阻尼器的控制參數進行了優(yōu)化，并在一組地震作用下與TMD和一型NES的控制性能進行了對比和分析。結果顯示，兩類非線性-線性聯合控制方法在脈沖型荷載和所考察地震作用下均能達到與TMD和一型NES相似的減振效果，且對輸入能量變化和主體結構頻率變化具有較好的魯棒性。

1 聯合控制方法

1.1 單質量聯合阻尼器

單質量聯合阻尼器(圖中簡稱單聯)在附加質量運動正方向和負方向采用不同的恢復力-位移關系，是一種構造緊湊、占用空間相對較小的非線性-線性聯合控制方法。質量阻尼器放置于主體結構頂層，模型示意圖見圖1。在正方向上，單質量聯合阻尼器遵循三次方恢復力-位移關系，與一型NES相同；在負方向上，遵循線性恢復力-位移關系，與TMD相同(圖2)。

(1)

圖1 單質量聯合阻尼器示意模型

圖2 TMD、NES、單聯恢復力-位移關系

式中：ma為附加質量；ca為附加質量的阻尼系數；kasN和kasT分別為非線性和線性剛度系數；ua為附加質量相對于主體結構頂層的位移；xhost·abs為主體結構頂層的絕對位移。

1.2 雙質量聯合阻尼器

雙質量聯合阻尼器(圖3)使用兩個附加質量，包括一個非線性質量，即一型NES，和一個線性質量，即TMD。兩者均放置于主體結構頂層，同時與主體結構發(fā)生相互作用，兩個附加質量間不直接接觸。

圖3 雙質量聯合阻尼器示意模型

兩附加質量運動方程見式(2)和式(3)

(2)

(3)

式中：maT和maN分別為TMD和NES的質量；caT和caN分別為TMD和NES的阻尼系數；kaN和kaT分別為TMD和NES的剛度系數；uaT和uaN分別是TMD和NES相對于主體結構頂層的位移；xhost·abs為主體結構頂層的絕對位移。

2 控制參數

2.1 主體結構

考慮到后續(xù)試驗對比需要，本文所采用的主體結構根據兩層鋼框架試驗模型(圖4)簡化而成。經系統(tǒng)識別得到第一、二層質量分別為24.3 kg和24.2 kg，第一、二層剛度分別為6 820 N/m和8 220 N/m，模態(tài)阻尼比為0.1%。

該主體結構曾用于單獨使用多種NES和TMD的減震性能研究。NES和TMD的質量比均取為主體結構質量的5%，即2.425 kg。當該附加質量作為頂層質量的一部分即兩者間不存在相對位移時，此時的結構為無控系統(tǒng)，其第一、二階自振頻率分別為1.63 Hz和4.56 Hz。優(yōu)化后一型NES的剛度系數為；TMD為210 N/m。兩控制裝置的阻尼系數通過試驗測定得到，為1.6 N·s/m。本文將采用與一型NES和TMD相同的優(yōu)化方法對兩種聯合質量阻尼器進行優(yōu)化。

圖4 主體結構原型結構

2.2 單質量聯合阻尼器參數

單質量聯合阻尼器質量取為2.425 kg，阻尼系數為1.6 N·s/m，與上述已有研究保持一致。兩個優(yōu)化控制參數為線性和非線性剛度系數。優(yōu)化采用脈沖型荷載，通過對主體結構所有樓層和附加質量設置0.15 m/s的初始速度施加。優(yōu)化目標為使10 s內頂層位移的均方根(Root Mean Square，RMS)達到最小值。優(yōu)化過程在MATLAB中進行，第一步，先確定可能產生最佳減振性能的剛度系數的范圍，通過模擬計算得到響應，根據響應調整范圍；第二步，當參數范圍縮小至同一數量級時調用fmincon命令精確確定最佳參數取值。這種兩步優(yōu)化方法以全局搜索為基礎，可以避免誤取局部極值。模擬結果表明，初始速度的方向對優(yōu)化結果沒有顯著影響。

2.3 雙質量聯合阻尼器參數

雙質量聯合阻尼器由兩個相等附加質量組成，總和為2.425 kg，每個質量的阻尼系數均為0.8 N·s/m，總和為1.6 N·s/m。優(yōu)化參數(線性和非線性剛度系數)、優(yōu)化荷載(0.15 m/s初始速度)和優(yōu)化目標(10 s內頂層位移RMS達到最小值)和優(yōu)化過程(全局搜索與fmincon配合使用)與單質量聯合阻尼器相同。最優(yōu)線性和非線性優(yōu)化結果見圖5，最優(yōu)線性和非線性剛度系數分別為140 N/m 和4.2×105N/m3。剛度系數分別為104 N/m 和9×104N/m3。

2.2.2 黨參總皂苷納米乳藥物含量。選取3批次黨參總皂苷納米乳測定藥物含量，所得結果見表1，納米乳中黨參總皂苷含量為44.75 mg/mL。

圖5 單質量聯合阻尼器剛度優(yōu)化結果

值得說明的是，本文所采用雙質量聯合阻尼器僅考察了非線性質量和線性質量相等的情況，當增大或減小非線性與線性質量比例時可以對應得到非線性程度增強或減弱的雙質量聯合阻尼器。

3 減振性能分析

圖6比較了在優(yōu)化脈沖型荷載(初始速度0.15 m/s)作用下無控系統(tǒng)、TMD系統(tǒng)、一型NES系統(tǒng)(圖中簡稱NES)、單質量聯合阻尼器系統(tǒng)(圖中簡稱單聯)以及雙質量聯合阻尼器系統(tǒng)(圖中簡稱雙聯)的頂層位移響應。通過對比可知，本文新提出的兩類非線性-線性聯合控制方法與TMD和一型NES減振能力相當。單質量聯合阻尼器能夠在五個周期內(約3 s)將位移降至其最大值的三分之一。雙質量聯合阻尼器比其他三種控制裝置更加有效，在兩個周期內(約1 s)就能將位移降低至其最大值的三分之一，展現出極強的減振性能。

圖7顯示了增大荷載(初始速度0.3 m/s)時各系統(tǒng)的頂層位移響應。由于非線性控制裝置的減振性能依賴于輸入能量的大小，此時一型NES的減振效果較初始速度0.15 m/s(圖6)的情況有了明顯退化，且比其他三種控制裝置花費了更長的時間才將位移減小至同一等級(響應降至最大值的1/3，一型NES需要約9 s，其他控制裝置需要約4 s)。TMD系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，其響應大小與激勵大小成線性關系，因此減振效率與圖6相比不發(fā)生變化。單質量和雙質量聯合阻尼器的控制效果與TMD十分接近，受荷載大小變化的影響遠小于一型NES。

圖6 0.15 m/s初始速度下頂層位移響應

圖7 0.3 m/s初始速度下頂層位移響應

圖8顯示了主體結構基本頻率降低25%時各系統(tǒng)的頂層位移響應，降低主體結構頻率是為了考察結構因發(fā)生破壞等導致剛度下降而造成的響應變化。此時，TMD的自振頻率與主體結構不再相調諧，控制能力退化。一型NES對主體結構頻率變化具有較強的魯棒性，9 s時一型NES系統(tǒng)響應約為此時TMD系統(tǒng)的1/2，無控系統(tǒng)的1/3。單質量和雙質量聯合阻尼器系統(tǒng)的響應接近一型NES，能夠在主體結構頻率發(fā)生變化時保持較好的減振性能，具有一定的頻率魯棒性。

圖8 主體結構頻率降低時頂層位移響應

4 減震性能分析

4.1 地震記錄

為考察新提出的兩類聯合控制方法在地震作用下的控制性能，本文對8條Tabas Iran(1978年，7.35級)和4條Kern County(1952年，7.36級)實測地震加速度記錄作用下的結構響應進行了分析?？拐鹪O計應與結構所處環(huán)境和抗震設防烈度相對應，但考慮到控制裝置在優(yōu)化時采用的是脈沖型荷載，而非特定的地震作用，同時為考察控制方法對荷載變化的魯棒性，所以本文未對地震記錄進行調整。

表1列出了12條地震記錄的信息，按地面峰值加速度(PGA)從小到大編號，所考察PGA范圍為0.263 m/s2～4.012 m/s2。

表1 地震記錄信息

4.2 主體結構頻率不變時響應分析

圖9對比了12條地震作用下TMD系統(tǒng)、一型NES系統(tǒng)、單質量聯合阻尼器系統(tǒng)以及雙質量聯合阻尼器系統(tǒng)與無控系統(tǒng)的頂層位移均方根比值。無控系統(tǒng)頂層位移峰值，見表1。觀察可知，除6號、9號和12號地震外，其余地震作用下各控制裝置均能使響應下降至無控系統(tǒng)的0.6以下或略高于0.6(5號地震)，展現出極強的減震性能。

各控制系統(tǒng)中，一型NES系統(tǒng)的減震性能隨地震作用的不同而變化較大，體現在2號、5號、9號、11號和12號地震作用下響應明顯大于其他控制系統(tǒng)。原因在于一型NES恢復力為完全非線性，當所受地震作用過大或過小或者地震作用變化較劇烈時，一型NES所提供的瞬時剛度與該時刻能量等級所要求的理想剛度偏離較遠，導致減震性能下降，表現為較差的能量魯棒性。

TMD為線性質量阻尼器，無論地震作用大小如何變化，自振頻率始終與主體結構頻率相調諧，TMD通過共振增大自身響應減小主體結構響應，體現了線性結構所能達到的最佳減震效果。本文中的兩類聯合質量阻尼器總體減震性能能夠達到甚至略優(yōu)于TMD的減震性能。12條地震中有10條地震(除4號和9號外)作用下單質量聯合阻尼器小于TMD或大于TMD不超過0.05；所有地震作用下雙質量聯合阻尼器均小于TMD或大于TMD不超過0.05。聯合質量阻尼器雖然具有一定的非線性，但在大小變化各異的地震作用下仍具有較好的能量魯棒性，減震效果與TMD相當。

圖9 地震作用下主體結構頻率不變時頂層位移響應比值

在所考察地震作用中，當無控系統(tǒng)頂層位移峰值在0.04 m附近時(3號和8號)，包括一型NES在內的所有控制系統(tǒng)減震性能極佳，與無控系統(tǒng)的響應比值小于0.3。由此可推測無控系統(tǒng)頂層位移峰值達到0.04 m附近這一范圍時所對應的地震輸入能量有可能使完全非線性的一型NES達到最佳減震性能。以2號地震作用為例，圖10和圖11分別對比了原地震作用(無控系統(tǒng)頂層位移峰值為0.013 m)和增大地震作用后(無控系統(tǒng)頂層位移峰值為0.04 m)各系統(tǒng)的頂層位移響應。為清晰表示結果，圖中僅截取了20～40 s主要響應階段?？梢钥闯鯰MD減震性能不受地震作用大小的影響；地震作用大小調整后一型NES的減震性能顯著提升，基本接近其他控制裝置中的最佳水平。兩類聯合阻尼器在地震作用大小改變前后減震性能變化很小，展現出優(yōu)越的減震性能和較強的能量魯棒性。

圖10 2號地震作用下頂層位移響應

圖11 增大2號地震作用后頂層位移響應

4.3 主體結構頻率改變時響應分析

當結構受到劇烈地震作用時，構件發(fā)生破壞，主體結構剛度下降，導致自振頻率降低。此時主體結構特性與優(yōu)化時已有顯著的不同，控制裝置是否能保持較高減震效率有待考察。

圖12顯示了主體結構基本頻率下降25%時，地震作用下各控制系統(tǒng)與無控系統(tǒng)的頂層位移均方根比值。此時無控系統(tǒng)頂層位移峰值見表1。除6號地震外，各地震作用下控制裝置整體的減震性能均較原主體結構頻率時發(fā)生了退化。其中，線性的TMD與現有主體結構不再相調，性能退化較為突出，在2號、3號、5號、7號、9號、10號和12號地震作用下響應比值超過0.6。此時一型NES系統(tǒng)的減震性能基本處于其他控制系統(tǒng)的平均水平，考慮到原主體結構頻率時一型NES系統(tǒng)在各地震作用下減震性能波動較大，可以看出頻率變化對一型NES的影響相對較小，即一型NES具有較好的頻率魯棒性。

整體評價12條地震作用下的響應，兩類聯合質量阻尼器的減震性能均優(yōu)于TMD和一型NES。單質量和雙質量聯合阻尼器分別在8條地震(除3號、6號、7號和9號外)和9條地震(除1號、4號和7號外)作用下減震性能優(yōu)于TMD和一型NES。聯合質量阻尼器由于具有一定程度的非線性，因此能夠適應主體結構頻率的變化，同時，考慮到地震作用的大小對一型NES的減震效果影響較大，兩類聯合質量阻尼器在所考察地震作用下的頻率魯棒性甚至優(yōu)于完全非線性的一型NES。

圖12 地震作用下主體結構頻率改變時頂層位移響應比值

在12條地震中，6號地震作用下各控制系統(tǒng)的減震性能在變主體結構頻率時反而優(yōu)于原主體結構頻率。其原因可能與以下兩點有關。其一，能量變化較頻率變化對非線性質量阻尼器性能的影響更大，當主體結構頻率下降時，無控系統(tǒng)頂層位移峰值增大，與前文分析的使非線性質量阻尼器達到最佳減震效果的0.04 m附近較接近。其二，6號地震所對應的位移反應譜中(圖13)，無控系統(tǒng)一階頻率從1.63 Hz(原-無控一階)降至1.23 Hz(變-無控一階)時，響應顯著增大；而TMD系統(tǒng)一、二階頻率分別從1.37 Hz(原-TMD一階)和1.82 Hz(原-TMD二階)降至1.16 Hz(變-TMD一階)和1.61 Hz(變-TMD二階)時，響應變化相對較小。因此，當使用控制系統(tǒng)與無控系統(tǒng)的響應比值來評價減震性能時，主體結構頻率改變時反而優(yōu)于主體結構頻率不變時。非線性質量阻尼器的自振頻率隨其響應大小而改變，具有連續(xù)變化的特點。圖14中小波變換圖表示主體結構響應在頻譜上的分布，以TMD裝置的自振頻率為參考，當控制裝置自振頻率變化時，主體結構的主要振動頻率(圖14(d)中的細曲線)位于TMD系統(tǒng)的一、二階頻率之間，因此在分析上述反應譜時可統(tǒng)一使用TMD系統(tǒng)的頻率作為參照。

由地震響應分析可見，地震作用具有能量變化大和頻響特性復雜等特點，非線性方法不適用于所有能量等級，而線性方法在某些頻響關系中減震性能較差。相較完全非線性和完全線性的方法，非線性-線性聯合控制方法減震魯棒性更強。

圖14 控制裝置自振頻率與主體結構主要振動頻率間的關系

5 結 論

本文將線性和非線性結構控制方法相結合，得到了兩類聯合控制方法——單質量聯合阻尼器和雙質量聯合阻尼器，用以解決TMD頻率魯棒性差和NES對輸入能量較敏感的問題。基于單質量和雙質量聯合阻尼器運動方程建立了兩自由度主體結構附加該兩類阻尼器的數值模型，并在脈沖型荷載作用下對控制參數進行了優(yōu)化。與TMD和一型NES相比，單質量和雙質量聯合阻尼器可以達到相近的減振效果，且能量魯棒性優(yōu)于一型NES，頻率魯棒性優(yōu)于TMD。同時，通過脈沖型荷載優(yōu)化得到的兩類聯合控制方法還能有效減小結構的地震響應，在所考察的12條地震作用下，其減震效率及減震魯棒性接近甚至優(yōu)于完全線性和完全非線性的控制方法，在結構減震控制方面展現出巨大潛力。