課內(nèi)導(dǎo)學(xué)課外研學(xué)
——《正方體的展開(kāi)圖》教學(xué)實(shí)踐與思考

牛獻(xiàn)禮（特級(jí)教師）

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版五年級(jí)下冊(cè)《正方體的展開(kāi)圖》。

【教學(xué)思考】

在五年級(jí)的練習(xí)或測(cè)試中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)遇到判斷一個(gè)圖形是不是正方體表面的展開(kāi)圖的題目（如下所示）。

判斷：下面幾幅圖中，哪幾幅是正方體表面的展開(kāi)圖？

這樣的判斷題，學(xué)生的出錯(cuò)率很高。不得已，不少學(xué)生自發(fā)地“發(fā)明”了一些辦法，比如把展開(kāi)圖描在紙上或者模仿著畫(huà)出圖來(lái)，再剪下來(lái)親手折一折，用親身實(shí)踐來(lái)驗(yàn)證能不能圍成正方體，真是費(fèi)時(shí)又費(fèi)力！怎么幫助學(xué)生“擺脫困境”呢？于是，筆者萌發(fā)了針對(duì)“正方體的展開(kāi)圖”專門上一節(jié)課的念頭，期望通過(guò)對(duì)“正方體展開(kāi)圖”的研究，不僅讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)正方體和長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖的若干樣式，并能進(jìn)行正確地判斷，更能促進(jìn)學(xué)生空間觀念與直觀想象素養(yǎng)的培育。

正方體的展開(kāi)圖一般可以分為4 大類共11 種形狀：“一四一型”“二二二型”“一三二型”“三三型”。如果只是把這11 種圖式借助教師的示范操作或課件演示，讓學(xué)生看懂并記下來(lái)，應(yīng)對(duì)“解題”也沒(méi)有大的問(wèn)題。但是，這樣將教學(xué)目標(biāo)歸于“解題”的教學(xué)，學(xué)生最終還是靠“死記”來(lái)學(xué)習(xí)知識(shí)，與“圖形與幾何”內(nèi)容教學(xué)的核心素養(yǎng)——指向“空間觀念的培養(yǎng)”相去甚遠(yuǎn)，直觀想象素養(yǎng)和推理素養(yǎng)的培育得不到很好的落實(shí)。況且，這樣“死記硬背”式的知識(shí)的教學(xué)，學(xué)習(xí)方式注定是被動(dòng)接受式的，學(xué)生也不會(huì)喜歡，記憶也不會(huì)長(zhǎng)久，時(shí)間一久自然也就忘卻了。

那么，怎樣指導(dǎo)學(xué)生去研究“正方體的展開(kāi)圖”呢？一節(jié)課短短的40 分鐘時(shí)間夠用嗎？顯然，如果給學(xué)生提供充分的“悟”的空間與時(shí)間，課堂時(shí)間是不夠用的。于是，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，筆者確定了“課內(nèi)導(dǎo)學(xué)——?jiǎng)邮植僮髋c推理想象相結(jié)合，重點(diǎn)研究一四一型展開(kāi)圖”與“課外研學(xué)——以探究性作業(yè)的形式呈現(xiàn)，重點(diǎn)研究正方體其他類型的展開(kāi)圖”的教學(xué)思路。

方向一旦明確，目標(biāo)也隨之清晰。

【教學(xué)過(guò)程】

●教學(xué)片斷一

先讓學(xué)生在課前自己準(zhǔn)備的正方體紙盒上標(biāo)出“上、下、左、右、前、后”，再按照要求沿著畫(huà)有紅線的棱剪開(kāi)，得到正方體的展開(kāi)圖（如圖1）。然后讓學(xué)生把展開(kāi)圖重新折成正方體，仔細(xì)辨別展開(kāi)圖中的各個(gè)面分別是正方體中的哪個(gè)面。

圖1

師：請(qǐng)大家仔細(xì)觀察這個(gè)正方體的展開(kāi)圖，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)正方體原來(lái)相對(duì)的面現(xiàn)在都是隔開(kāi)的，比如上面和下面隔著一個(gè)后面，左面和右面也隔著一個(gè)后面。

師：想一想，相對(duì)的面可能連在一起，變成相鄰的面嗎？

生：不可能。

生：我發(fā)現(xiàn)，前、后、上、下四個(gè)面排成一列，左面和右面在兩邊，整個(gè)展開(kāi)圖正好是一個(gè)軸對(duì)稱圖形。

師：左、右兩個(gè)面有點(diǎn)像你臉上的哪個(gè)部位？

生：兩只耳朵。

師：想一想，這兩只“耳朵”還可以長(zhǎng)在哪里？大家想象一下。

生：兩只耳朵還可以長(zhǎng)在最上邊或者最下邊（如圖2、圖3）。

圖2

圖3

師：這兩個(gè)圖形其實(shí)是同一種，只不過(guò)擺放的方向不同。想象一下，這個(gè)圖形能折成正方體嗎？

生：可以，因?yàn)檫B排的4 個(gè)正方形可以看成前、后、上、下四個(gè)面，而兩只“耳朵”正好是左面和右面。

師：如果左、右兩只耳朵長(zhǎng)得不對(duì)稱（如圖4），這個(gè)圖形還能折成正方體嗎？

圖4

生：能，連排的4 個(gè)正方形可以看成前、后、上、下4 個(gè)面，而兩只“耳朵”還是左面和右面。

（師生共同動(dòng)手操作，進(jìn)行驗(yàn)證）

師：像這樣，兩只“耳朵”不對(duì)稱的展開(kāi)圖還有哪些情況？請(qǐng)畫(huà)出示意圖。

（學(xué)生獨(dú)立畫(huà)圖，小組討論交流）

出示圖5：

圖5

師：這個(gè)圖（圖5）是一個(gè)新的展開(kāi)圖嗎？

引導(dǎo)學(xué)生將圖5和圖4進(jìn)行對(duì)比，認(rèn)識(shí)到圖5是圖4旋轉(zhuǎn)而成的，實(shí)際上就是同一幅圖，不能算一種新的展開(kāi)圖。

出示圖6：

圖6

師：這幅圖（圖6）是一種新的展開(kāi)圖嗎？

再次引導(dǎo)學(xué)生將圖6與圖4進(jìn)行對(duì)比，認(rèn)識(shí)到圖6是圖4翻轉(zhuǎn)得到的，實(shí)際就是同一幅圖，也不能算一種新的展開(kāi)圖。

最后，學(xué)生確認(rèn)還有以下3種形狀（如圖7、圖8、圖9）也能折疊成正方體。

圖7

圖8

圖9

師：如果圖形中有4 個(gè)連排的正方形，兩只“耳朵”在同一邊可以嗎？（如圖10、圖11）想一想，和同學(xué)議一議。

圖10

圖11

生：圖10不能圍成正方體，因?yàn)? 個(gè)連排的正方形可以看作前、后、上、下四個(gè)面，左邊的兩個(gè)正方形都是左面，重疊在一起了。

生：圖11也不行，它有兩個(gè)右面，缺一個(gè)左面。所以不能圍成正方體。

師：看來(lái)中間4 個(gè)連排的正方形的展開(kāi)圖只有幾種呀？

生：6 種。

師：你能給這6 種展開(kāi)圖起個(gè)名字嗎？

生：它們都是左邊一排有1個(gè)正方形，中間是4 個(gè)，右邊也只有1 個(gè)，可以叫作“一四一型”。

師：不知道大家想過(guò)沒(méi)有，為什么“一四一型”展開(kāi)圖，只要中間4 個(gè)正方形不動(dòng)，上面和下面的正方形不管擺在哪個(gè)位置，都能圍成正方體呢？

生：“一四一型”中間是4 個(gè)正方形，正好圍成一圈，這樣兩邊的2 個(gè)正方形就像兩個(gè)蓋子，不管原來(lái)連在哪一個(gè)正方形上，都能蓋上去。

（教師演示操作，學(xué)生直觀地看到并理解了“一四一型”展開(kāi)圖都能圍成正方體的原理）

課上到這里就要結(jié)束了，給學(xué)生留的課后作業(yè)是：正方體的展開(kāi)圖除了剛才發(fā)現(xiàn)的“一四一型”的6 種之外，還會(huì)有其他的樣式嗎？請(qǐng)你認(rèn)真研究一下，并在作業(yè)紙畫(huà)出每一種樣式的示意圖。

【思考：“正方體的展開(kāi)圖”主要依靠想象與推理來(lái)尋找答案。想象是在頭腦里改造記憶的表象而創(chuàng)造新形象的過(guò)程?！跋胂罅Ρ戎R(shí)更重要，因?yàn)橹R(shí)是有限的，而想象力概括著世界上的一切，推動(dòng)著進(jìn)步，并且是知識(shí)進(jìn)化的源泉?！睈?ài)因斯坦的這段對(duì)想象的高度評(píng)價(jià)絲毫都不過(guò)分。

但是，實(shí)事求是地講，對(duì)于五年級(jí)的小學(xué)生而言，僅憑自己的想象來(lái)判斷“正方體的展開(kāi)圖”比較困難，親自動(dòng)手操作一番再加以確認(rèn)還是十分必要的?？梢允窃谙胂蠡顒?dòng)之前通過(guò)操作、觀察，建立一個(gè)正方體（或長(zhǎng)方體）展開(kāi)圖的初步表象，也可以是學(xué)生想象之后的操作驗(yàn)證活動(dòng)。而對(duì)展開(kāi)圖更為豐富和深刻的理解還是要通過(guò)推理與想象來(lái)完成，也就是在推理過(guò)程中豐富對(duì)展開(kāi)圖的理解和認(rèn)識(shí)，探尋展開(kāi)圖的分布規(guī)律，獲得解決問(wèn)題的方法與策略。如果過(guò)度依賴直觀（動(dòng)手操作），反而會(huì)導(dǎo)致學(xué)生想象能力的弱化?！?/p>

●教學(xué)片斷二

第二天的數(shù)學(xué)課上，讓學(xué)生來(lái)做“小老師”，借助實(shí)物投影儀向全班學(xué)生介紹自己的研究成果。

生：昨天我們研究的展開(kāi)圖都有4 個(gè)連排的正方形，我就想，如果只有3 個(gè)連排的正方形呢？就畫(huà)出了這樣的展開(kāi)圖：

圖12

然后我把它剪下來(lái)折一折，發(fā)現(xiàn)能夠圍成正方體。我就想：如果是2 個(gè)連排的正方形呢？于是就畫(huà)出了第二幅圖：

圖13

也剪下來(lái)折一折驗(yàn)證了一下，發(fā)現(xiàn)也是能夠圍成正方體的。接著，我想，剛才的展開(kāi)圖都是分成了三行，如果分成兩行可以圍成正方體嗎？6÷2=3（個(gè)），每行是3 個(gè)正方形，我就畫(huà)出了第三幅圖，驗(yàn)證后也是正確的。（圖14）

圖14

師：你很會(huì)思考！又找出了3種展開(kāi)圖，真了不起！其他同學(xué)還有補(bǔ)充嗎？

生：我也是先找到了中間有3 個(gè)正方形連排的展開(kāi)圖（圖15），然后我固定中間的3 個(gè)正方形和下面的2 個(gè)正方形，再把上面的1 個(gè)正方形向右平移一格，就得到了一個(gè)新的展開(kāi)圖（圖16），驗(yàn)證后是正確的，再向右平移一格，又得到了一個(gè)新的展開(kāi)圖（圖17），驗(yàn)證后也是正確的。

圖15

圖16

圖17

師：他的思考方法很有價(jià)值！通過(guò)平移上面的正方形，由一個(gè)展開(kāi)圖推理出了2 種新的展開(kāi)圖，是一個(gè)很會(huì)思考的學(xué)生！現(xiàn)在我們找到的中間是3 個(gè)正方形的展開(kāi)圖有3 種，能給這3 種展開(kāi)圖起個(gè)名字嗎？

生：一三二型。

師：如果把圖中下面的2 個(gè)正方形也向左平移一格（如圖18），想一想，這個(gè)圖形能折成正方體嗎？

圖18

學(xué)生的意見(jiàn)不一，教師演示折疊過(guò)程，發(fā)現(xiàn)圖18不能圍成正方體。

師：看來(lái)，圖形中“田”字型的是不能圍成正方體的?，F(xiàn)在梳理一下我們的研究成果，大家一共找到了幾種正方體的展開(kāi)圖？

生：11 種。

師：這么多種展開(kāi)圖，你有什么好辦法能記下來(lái)，不重復(fù)、不遺漏呢？

（學(xué)生討論后，全班交流）

生：“一四一型”一共有6 種，我先記兩只“耳朵”對(duì)稱的有2種，不對(duì)稱的先畫(huà)出一種，然后把其中一只“耳朵”不斷平移，就得到了另外幾種；“一三二型”也是這樣，只要畫(huà)出一種，再把一只“耳朵”不斷平移就可以找到另外2 種了。

師：這種思考很有序，不容易重復(fù)，也不容易遺漏。

（板書(shū)：有序思考）

……

【思考：讓學(xué)生在課外繼續(xù)探究，完成“探究性作業(yè)”，“課已停而思未止”。課內(nèi)組織學(xué)生交流“研究成果”，讓學(xué)生講述自己想象與推理的過(guò)程，講述研究過(guò)程中的曲折與發(fā)現(xiàn)，創(chuàng)新的火花不時(shí)閃現(xiàn)。教師在關(guān)鍵處質(zhì)疑、追問(wèn)，澄清學(xué)生的模糊乃至錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生反思經(jīng)驗(yàn)、總結(jié)方法，學(xué)生的思維品質(zhì)和自主學(xué)習(xí)能力都得到了提升。

上述案例也再次說(shuō)明，設(shè)計(jì)并實(shí)施一節(jié)有價(jià)值的課，需要教師準(zhǔn)確把握學(xué)科概念的實(shí)質(zhì)與結(jié)構(gòu)體系，同時(shí)了解學(xué)生學(xué)習(xí)的知識(shí)基礎(chǔ)與心理基礎(chǔ)。在這兩方面的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)有意義、有價(jià)值、有層次的學(xué)習(xí)活動(dòng)，在學(xué)生自主思考、自主活動(dòng)（解決問(wèn)題）的過(guò)程中適時(shí)引導(dǎo)、提煉以增進(jìn)學(xué)生的體驗(yàn)與實(shí)際獲得。這樣的教學(xué)才能讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生，讓核心素養(yǎng)真正落地。】