在“聯(lián)”和“通”中構(gòu)建新系統(tǒng)獲得新見解
——關(guān)于《立體圖形的表面積和體積總復(fù)習(xí)》同課異構(gòu)帶來的思考

蔣守成（特級教師）

據(jù)統(tǒng)計，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)時間大約有五分之一是用在整理和復(fù)習(xí)上的，相應(yīng)地，教材編寫的“整理與復(fù)習(xí)”也占有一定的篇幅，既有單元的整理復(fù)習(xí)，也有整冊書的整理復(fù)習(xí)，教材在六年級下冊還用近一半的篇幅編排小學(xué)數(shù)學(xué)知識的“整理和復(fù)習(xí)”。我們該如何定位學(xué)生的整理和復(fù)習(xí)？在我看來，復(fù)習(xí)就是對已學(xué)過的知識進行重新學(xué)習(xí)，這種重新學(xué)習(xí)并不是對已學(xué)知識的簡單重復(fù)，而是進行更高層次的再學(xué)習(xí)，正如孔子所說：溫故而知新，可以為師矣。通過復(fù)習(xí)，把教材中的各部分知識進行歸納整理，綜合拓展，以達到鞏固提高、融會貫通的目的。那整理和復(fù)習(xí)教學(xué)的核心是什么？就是要幫助學(xué)生從認識事物的本質(zhì)進而認識事物之間的有機聯(lián)系，讓學(xué)生充分經(jīng)歷整理、分類、概括提升的過程，逐步完善學(xué)生已有的認知結(jié)構(gòu)，促進學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化的思維方式，提升思維品質(zhì)。杭州市和睦小學(xué)的胡勝平和常州市金壇區(qū)朝陽小學(xué)的譚亞鵬兩位教師同課異構(gòu)蘇教版六年級下冊《立體圖形的表面積和體積總復(fù)習(xí)》一課，從整體的設(shè)計思路上明顯不同，但又帶著一些共性，他們都關(guān)注立體圖形內(nèi)在的關(guān)聯(lián)，關(guān)注畢業(yè)復(fù)習(xí)課課型的特點，他們的設(shè)計從不同角度給我們以啟發(fā)與思考。

一、關(guān)注聯(lián)結(jié)，重視體系，促進學(xué)生編織屬于自己的知識類結(jié)構(gòu)

結(jié)構(gòu)性是數(shù)學(xué)知識的重要特點，整理和復(fù)習(xí)教學(xué)的核心目標(biāo)之一是要讓學(xué)生平時所學(xué)的零碎知識系統(tǒng)化、條理化、清晰化，形成完善的認知結(jié)構(gòu)，促使學(xué)生對知識有全面的、系統(tǒng)的認識與理解。

因此教學(xué)時胡老師和譚老師都注重構(gòu)建系統(tǒng)，突出知識間的關(guān)聯(lián)，讓原本孤立的各個立體圖形的表面積和體積“拉幫結(jié)派”，展現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)樣態(tài)，有力擴張學(xué)生的認知世界，讓學(xué)生站在系統(tǒng)的角度明晰聯(lián)系、關(guān)注區(qū)別，促進學(xué)生系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的思維方式的形成。但他們構(gòu)建系統(tǒng)的路徑不一樣，胡老師基于主題在以式想形中形成結(jié)構(gòu)化的思維方式，譚老師基于學(xué)生的經(jīng)驗在分類思考中建構(gòu)。

1.在以式想形中溝通內(nèi)在關(guān)聯(lián)，無中生有。

學(xué)生學(xué)習(xí)過的知識有些是“碎片”化的，有些是圍繞某一主題相互聯(lián)系起來形成一定的知識單元存在。數(shù)學(xué)家華羅庚說，“找另一條線索把舊的東西重新貫穿起來，這也是一種有利的溫習(xí)方法”。胡老師通過立體圖形的體積和表面積公式為線索來梳理、溝通內(nèi)在的聯(lián)結(jié)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀愿望，將碎片納入到主題結(jié)構(gòu)，發(fā)展學(xué)生的思維能力，形成新的結(jié)構(gòu)體系，其教學(xué)通過三個流程來創(chuàng)造了學(xué)生主動思考的事件。

（1）以式想形，獨立思考。看到這兩個公式：V=Sh S=S側(cè)+S底×2，你想到了可以求哪些圖形的體積和表面積？請你寫在練習(xí)紙上。

（2）聚焦體積，分享思考。通過資源呈現(xiàn)，信息綜合后學(xué)生形成一致觀點，不光“圓柱、長方體、正方體”的體積可以用“V=Sh 的方法來求，只要是上下底面大小相等的直柱體都可以用這個公式求體積。

（3）聚焦表面積，形成新系統(tǒng)。教師出示學(xué)生作品，這三個立體圖形雖然形狀不同，但相互之間有著密切的聯(lián)系，都是直柱體，所以它們的體積和表面積都可以用相同的方法來計算！

“以式想形”將原本“形”不相同的立體圖形聯(lián)系到了一起，從整體上建立知識間的縱橫聯(lián)系和層次結(jié)構(gòu)， 構(gòu)建起具有生長活力的認知結(jié)構(gòu)和知識體系。這樣的復(fù)習(xí)方式打破了我們一貫的圖形分類，聯(lián)系和區(qū)別這樣物以類聚的思考模型，給學(xué)生們找到“以法類聚，無中生有”這樣另一種思考模型，豐富了學(xué)生自我建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)的路徑。

2.在分類思考中構(gòu)建知識體系，觸類旁通。

認知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，主體是學(xué)生自己，譚老師為學(xué)生提供了“哪些立體圖形能和圓柱歸為一類？”作為自主梳理知識的線索，請學(xué)生在研究單上寫一寫分類的理由，教師呈現(xiàn)學(xué)生的現(xiàn)實資源，通過如下四次學(xué)生資源交流，讓學(xué)生自主思辨，分類完善。

交流一：圓柱、圓錐、球為一類，因為它們都可以由一個平面圖形通過旋轉(zhuǎn)得到。

交流二：圖形運動除了旋轉(zhuǎn)還有平移。長方體、正方體、圓柱都可以由一個平面圖形通過平移得到。所以長方體、正方體、圓柱這三個圖形為一類。

交流三：長方體、正方體可以和圓柱歸為一類，因為它們的體積都可以用底面積乘高來計算，它們的表面積和側(cè)面積的計算方法也是一樣的。

交流四：追問，長方體、正方體、圓柱歸為一類的，那除了計算方法和平移外，這三個圖形還有什么共同特征呢？揭示像這些直直的，上下兩個面完全相同，而且上下粗細完全一樣的立體圖形，也叫做直柱體。

譚老師通過四次互動交流，幫助學(xué)生進行整體類化，并以旋轉(zhuǎn)、平移、計算、特征等方式再現(xiàn)和強化了立體圖形的內(nèi)涵，很好地完成了知識橫向和縱向結(jié)構(gòu)化，發(fā)現(xiàn)和理解五種立體圖形的內(nèi)在聯(lián)系。學(xué)生在分類的過程中，不斷地讓知識在大腦中重組、排列、整合，逐漸形成網(wǎng)絡(luò)體系，也許最初看是雜亂無章的陳列，但在分類方法的幫助下，標(biāo)準(zhǔn)不同，圖形呈現(xiàn)出的分類情況也多樣化。圖形間那些千絲萬縷的聯(lián)系逐漸清晰，形成立體圖形表面積和體積內(nèi)在的關(guān)聯(lián)系統(tǒng)。

二、凸顯融通，利用結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生揭示知識內(nèi)在聯(lián)系

鄭毓信教授提出：基礎(chǔ)知識貴在求聯(lián)，基本技能貴在求通?！罢砗蛷?fù)習(xí)”的核心目標(biāo)之二是要讓學(xué)生在自我思考的基礎(chǔ)上，揭示知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時知識與知識相互關(guān)聯(lián)過程中衍生出的新知識，能夠觸類旁通學(xué)數(shù)學(xué)，融會貫通用結(jié)構(gòu)。這就需要我們對教材中割裂的、相互封閉的知識進行比較、融通、整合，利用內(nèi)在結(jié)構(gòu)獲得新收獲。

1.利用關(guān)聯(lián)，在解決問題中貫通方法。

胡老師設(shè)計了兩個連續(xù)性的情境化問題，讓學(xué)生在解決問題的過程中能夠利用立體圖形內(nèi)在的關(guān)聯(lián)，化繁為簡，貫通方法?！澳膫€積木的涂色面積更大？”呈現(xiàn)的問題教師進行了有意的設(shè)計，而大部分學(xué)生還是選擇了直接計算（如下圖），這是情理之中的。因為高相等比較容易觀察，但是底面周長相等卻不是那么容易可以發(fā)現(xiàn)的。所以大多數(shù)學(xué)生還是愿意選擇直接計算。

我也欣喜地發(fā)現(xiàn)有學(xué)生關(guān)注到了底面周長（如下圖）。雖然沒寫完，卻已經(jīng)有了這方面的意識。通過這份學(xué)生的作品引發(fā)全班學(xué)生的思考：他想表達什么意思？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)酌嬷荛L相等、高也相等時，要比較表面積的大小，我們只需要比較底面積的大小即可。胡老師讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩個立體圖形的表面積大小不但可以用以前的公式直接計算，還可以用S=Ch+S底×2 來比較。

“哪個積木的體積更大？”在比較體積時，有了前面比較表面積的經(jīng)驗，我在課堂發(fā)現(xiàn)有將近一半的學(xué)生在比較時會有方法上的選擇。

上圖中，學(xué)生先選擇了三個等高的直柱體進行比較，通過底面積的大小比較出正方體的體積最大，然后算出圓錐的體積，最后進行兩者的比較。這是大多數(shù)學(xué)生選擇的方法，這也和胡老師的預(yù)設(shè)相符：有的可以直接比，有的必須要經(jīng)過算一算才能得出結(jié)果。

也有的學(xué)生先選擇了等底的圓柱和圓錐進行比較，判斷出圓錐的體積大。有的學(xué)生利用了“方中圓”，快速地比較出了正方體和圓柱的體積大小。最讓人意外的是，還有的學(xué)生不僅觀察到圖形的特征，還觀察到了數(shù)據(jù)的特征（如下圖），認為不需要完全計算完圓錐的體積，只需要在代入數(shù)據(jù)后就能發(fā)現(xiàn)，四個算式（或四個圖形）都有一個共同的數(shù)據(jù)“4”，只需要比較“16＞5π＞15＞4π”即可，選擇了更為靈活的方法比較出了四個圖形的體積大小。

兩個問題的解決，給了學(xué)生思維能力提升的一次好機會，他們的思維方式不再受到限制，思考的角度更多元，解決問題策略更多樣，并能選擇合理的方法進行計算。學(xué)生在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識、解決實際問題的過程中，真正做到了觸類旁通。

2.用好結(jié)構(gòu)，在系統(tǒng)思考中觸類旁通。

譚老師在兩個板塊中安排了兩個教材中沒有觸及的問題，讓學(xué)生在已有認知結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上再建構(gòu)的內(nèi)容，觸類旁通學(xué)數(shù)學(xué)。

“求三棱柱的表面積、體積和圓柱的方法一樣嗎？”譚老師在學(xué)生形成類結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上讓學(xué)生自我探究，建構(gòu)了直柱體的方法結(jié)構(gòu)，最后通過微視頻再現(xiàn)的方式形成完整的研究過程。

把上面左圖中的三棱柱在高一半處切開，拼成一個近似的長方體，此時這個近似長方體的底面積是2S，高是所以三棱柱的體積也可以用底面積乘高來計算。三棱柱的側(cè)面展開也是一個長方形，底面是兩個一樣的三角形，側(cè)面積公式也是一致的。然后再做進一步的思考，發(fā)現(xiàn)求三棱柱等所有直柱體的體積和表面積的方法是一致的。

“圓柱的體積還可以用側(cè)面積的一半乘半徑?！弊T老師在學(xué)生掌握了直柱體體積一般方法的基礎(chǔ)上，設(shè)計了“草莓大棚內(nèi)的空間有多大”的現(xiàn)實問題情境，在解決問題的過程中豐富解決問題的方法，打通了圓柱和長方體內(nèi)在的關(guān)聯(lián)。

譚老師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：如果將長方體的前面做底面，長方體的底面相當(dāng)于圓柱側(cè)面積的一半，長方體的高相當(dāng)于圓柱的半徑。長方體的體積=底面積×高，那圓柱的體積就等于側(cè)面積的一半×半徑。公式變了，但其求體積方法的本質(zhì)沒有變。

“如何求三棱柱的表面積和體積”和“圓柱的體積還可以怎么求”這兩個問題“觸”及“圓柱”，“通”至“長方體、正方體”。將原本在每節(jié)課里獲得的“散裝”的知識與方法，在形成結(jié)構(gòu)的背景下進行重新組織和構(gòu)建，將原來彼此分割開來的方法聯(lián)結(jié)成新的統(tǒng)一的整體，在此過程中獲得新知識，產(chǎn)生新見解。

兩位教師的總復(fù)習(xí)課值得我們欣賞和分享的是他們都通過“聯(lián)”和“通”將建構(gòu)認知結(jié)構(gòu)放在首要位置，因為認知結(jié)構(gòu)越穩(wěn)固，越有利于吸納新的知識；他們精心安排學(xué)生學(xué)習(xí)活動，學(xué)生學(xué)會觸類旁通學(xué)數(shù)學(xué)、融會貫通用結(jié)構(gòu)，新系統(tǒng)中學(xué)生獲得新知識、產(chǎn)生新見解，提升了學(xué)習(xí)力。

一節(jié)課不可能集結(jié)所有的精華，但不同的思考就會有不同的切入點和不同的課堂教學(xué)架構(gòu)，從重構(gòu)的角度來思考，我們也可以用思維導(dǎo)圖的方式從學(xué)生自我整理開始，在過程中貫通面積和體積的統(tǒng)一方法，由此拓展到直柱體和圓柱的新方法；也可以用主題研究的方式進行，以一張白紙為主題，通過折、卷、轉(zhuǎn)，變與不變等方式將立體圖形的表面積和體積等問題貫通起來；當(dāng)然也可以由現(xiàn)實的具有挑戰(zhàn)性的問題解決開始，在解決問題的過程中聚焦方法、形成系統(tǒng)。

不同的架構(gòu)只是我們課堂開始的觸點不一樣，我們的目標(biāo)是一樣的， 構(gòu)建知識體系，揭示內(nèi)在聯(lián)系，不斷促進學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化的思維方式。對于整理復(fù)習(xí)課我們還可以做更系統(tǒng)的思考，“如何上好單元復(fù)習(xí)課”“如何上好期末復(fù)習(xí)課”“如何上好畢業(yè)復(fù)習(xí)課”，期待更多的人一起來實踐、來探討，敢于在不同階段的復(fù)習(xí)課上突破積習(xí)，推陳出新，對于下一節(jié)復(fù)習(xí)課，我們就有了努力的新方向。