基于李雅普諾夫直接法的電液力控制系統(tǒng)穩(wěn)定性研究

陳帥杰，金曉宏,2，黃 浩,2，張邵峰

(1.武漢科技大學冶金裝備及其控制教育部重點實驗室，湖北 武漢，430081；2.武漢科技大學機械傳動與制造工程湖北省重點實驗室，湖北 武漢，430081)

電液力控制系統(tǒng)具有控制精度高、承載能力強、響應速度快等優(yōu)點[1]，被廣泛應用于負載模擬器、材料疲勞試驗機、機器人、飛行器等設備。電液力控制系統(tǒng)又是一種典型的非線性系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)的分子中存在振蕩頻率較低的二階微分環(huán)節(jié)[2]，因此在實際應用中易處于不穩(wěn)定狀態(tài)，即使系統(tǒng)受到穩(wěn)定約束，其性能和響應速度也很有可能降低。

研究人員在力控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和精度控制方面做了大量工作。例如，徐敬廣等[3]在電液力控制系統(tǒng)的前向通道串聯(lián)兩個相同的慣性環(huán)節(jié)進行系統(tǒng)校正，并分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Truong等[4]將基于定量反饋理論的在線可調(diào)力控制器應用于負載模擬器，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和抗干擾能力。Li等[5]針對電機驅(qū)動的空氣動力負載模擬器中存在非線性摩擦力、受執(zhí)行器的主動運動擾動和參數(shù)不確定性這三個問題，提出一種結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡和并聯(lián)分布補償?shù)聂敯艨刂破鞑呗裕员ＷC整個閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和跟蹤精度。趙慧等[6]設計出基于線性矩陣不等式的H∞控制器，提高了電液力系統(tǒng)的頻寬，并使系統(tǒng)具有較快的響應速度和較高的穩(wěn)態(tài)精度。Guo等[7]提出一種基于迭代學習機制的輸出反饋動態(tài)面控制方法，通過幾次迭代來優(yōu)化電液力控制系統(tǒng)的期望軌跡，使輸出力收斂到目標曲線，同時還使用李雅普諾夫方法分析了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Shen等[8]所設計的混合控制器結(jié)合前饋補償和在線自適應逆控制的優(yōu)點，提高了電液力系統(tǒng)的穩(wěn)定性，擴展了頻率帶寬，改善了系統(tǒng)動態(tài)特性。上述研究使用先進的控制方法，取得了良好的控制效果，但這些高級控制算法一般比較復雜，在工程應用中難以實現(xiàn)。

本文所研究的電液力控制系統(tǒng)是為了給含有負值彈性剛度負載的位置系統(tǒng)實施加載，負載彈性剛度的變化對系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動態(tài)剛度以及穩(wěn)態(tài)精度等會造成不利影響。為此，筆者從能量耗散角度出發(fā)，采用基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論的設計方法對電液力控制系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析，通過系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)整理出關(guān)于液壓缸輸出力的三階非線性方程，利用李雅普諾夫直接法的反演方式求解系統(tǒng)穩(wěn)定的相關(guān)條件，并且根據(jù)此條件構(gòu)造出相應的物理結(jié)構(gòu)補償模型，來抵消或者削弱不穩(wěn)定因素對系統(tǒng)的影響，提高系統(tǒng)品質(zhì)。同時，文中還比較了分別采用物理結(jié)構(gòu)補償與傳統(tǒng)雙慣性環(huán)節(jié)校正時系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動態(tài)特性。

1 電液力控制系統(tǒng)的基本原理

圖1所示為電液力控制系統(tǒng)的工作原理圖。系統(tǒng)主要由伺服放大器、電液伺服閥、液壓缸和力傳感器構(gòu)成。在指令電壓信號ur作用下，電液伺服閥輸出負載流量進入液壓缸，其進油腔壓力為p1，排油腔壓力為p2，液壓缸兩腔產(chǎn)生與指令信號成比例的壓力差pLp1-p2；在pL的作用下，液壓缸通過活塞桿將輸出力Fg=pLA作用在被控對象上；壓力傳感器將檢測到的輸出力的實測值Fg轉(zhuǎn)換為電壓信號uf，經(jīng)反相后反饋到指令端，通過與指令信號ur比較，得出偏差信號ue，實現(xiàn)閉環(huán)控制。

圖1 電液力控制系統(tǒng)工作原理示意圖

Fig.1 Schematic diagram of working principle of electro-hydraulic force control system

2 電液力控制系統(tǒng)的數(shù)學模型

根據(jù)文獻[9]中電液力控制系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的數(shù)學方程繪制系統(tǒng)控制框圖，如圖2所示。

圖2 電液力控制系統(tǒng)簡化方框圖

Fig.2 Simplified block diagram of electro-hydraulic force control system

對圖2進行等效變化，可求得從閥芯位移Xv到液壓缸輸出力Fg的傳遞函數(shù)：

(1)

式中：m為活塞及負載折算到活塞上的總質(zhì)量，kg；K為負載彈性剛度，N/m；A為液壓缸有效活塞面積，m2；B為運動部件黏性阻尼系數(shù)，N/(m/s)；Ee為油液有效體積彈性模量，Pa；Kq為閥口流量增益，(m3/s)/m；Vt為液壓缸總有效容積，m3；N1=BVt/(4EeA2)+mKce/A2，M1=mVt/(4EeA2)，Z1=KVt/(4EeA2)+BKce/A2+1，V1=KKce/A2，其中Kce為總流量-壓力系數(shù)，(m3·s)/Pa。

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

(2)

式中:Ka為伺服閥放大器增益，A/V；Gsv為伺服閥的傳遞函數(shù);Kf為力傳感器增益，V/N。

通過式(2)整理出電液力控制系統(tǒng)關(guān)于液壓缸輸出力的三階非線性方程：

(3)

式中：a=mVt/(4EeA2)；b=BVt/(4EeA2)+mKce/A2+mKaKfKqGsv/A；c=KVt/(4EeA2)+BKce/A2+BKaKfKqGsv/A+1；d=KKce/A2+KKaKfKqGsv/A；j=-UrKaKqGsv(ms2+Bs+K)/A。

將Fg記為f，則式(3)可抽象為：

(4)

3 李雅普諾夫穩(wěn)定性理論在電液力控制系統(tǒng)中的應用

3.1 電液力控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表示

(5)

此狀態(tài)方程的平衡點為(-j/d，0，0)，通過坐標變換將平衡點移至坐標原點，令f=f-j/d，代入系統(tǒng)方程后得：

+(d1+d2)f=0

(6)

式中：a1=a，b1+b2+b3=b，c1+c2+c3+c4=c，d1+d2=d；b1=BVt/(4EeA2)，b2=mKce/A2，b3=mKaKfKqGsv/A，c1=KVt/(4EeA2)，c2=BKce/A2，c3=BKaKfKqGsv/A，c4=1，d1=KKce/A2，d2=KKaKfKqGsv/A。

由上述定義可知:a1代表慣性力變化引起的壓縮流量對輸出力的影響；b1代表黏性力變化引起的壓縮流量對輸出力的影響；b2代表慣性力變化引起的泄漏流量對輸出力的影響；b3代表系統(tǒng)質(zhì)量的增益對輸出力的影響；c1代表彈性力引起的壓縮流量對輸出力的影響；c2代表黏性力變化引起的泄漏流量對輸出力的影響；c3代表系統(tǒng)阻尼的增益對輸出力的影響；c4代表液壓缸輸出力；d1代表彈性力引起的泄漏流量對輸出力的影響；d2代表系統(tǒng)剛度的增益對輸出力的影響。

(7)

3.2 系統(tǒng)的鎮(zhèn)定

取式(6)的李雅普諾夫函數(shù)為：

V1(x)=(x1+x2)2+(x1+x3)2+(x2+x3)2

(8)

觀察式(8)可知，當x1=-x2、x3=-x1、x2=-x3，即x1=-x1、x2=x1、x3=-x1時，該函數(shù)在除了平衡點(0, 0, 0)之外的點都是大于零的，因此滿足正定條件。

式(8)展開后可得：

(9)

對式(9)求導，并結(jié)合式(7)可得：

=2[2x1x2+3x2x3+x1x3+

(10)

(11)

(12)

(13)

將式(13)代入式(10)，整理得到：

(14)

(15)

(16)

(17)

式中：e1=1；e2=3；e3=3；e4=1；e5=d2=KKaKfKqGsv/A。

本文選用文獻[11]中的系統(tǒng)參數(shù)，取系統(tǒng)負載剛度為60 kN/m，根據(jù)文獻[11]的參數(shù)值求出式(16)的各項系數(shù)值，如表1所示。

表1 式(16)的各項系數(shù)值

由表1可知，b2在二階系數(shù)項中起主導作用，c4在一階系數(shù)項中起主導作用，d1和d2在常值系數(shù)項中起主導作用。故式(16)可以簡化為如下形式：

(18)

由于式(7)是通過系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)且將其平衡點變換至坐標原點后得到的，故這里將式(18)轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式：

(19)

4 電液力控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)補償方案的構(gòu)造及穩(wěn)定性分析

4.1 結(jié)構(gòu)補償方案

假設進油路上的溢流閥起定壓作用，則進油壓力p10保持不變。在不考慮液壓泵的流量脈動、液壓缸內(nèi)外泄漏、管道動態(tài)特性以及活塞和負載的黏性阻尼的情況下，系統(tǒng)動力學方程為：

圖3 二階液壓補償器

(20)

式中：M為補償裝置質(zhì)量，kg；Fg為補償裝置外負載力，N；v為活塞的運動速度，m/s；A0為液壓缸活塞的有效面積，m2；p20、p30分別為液壓缸出油腔壓力和節(jié)流閥出油口壓力，Pa。

通過節(jié)流閥小孔的流量為q0，略去二位二通換向閥泄漏和活塞徑向間隙中的泄漏，于是有

q0=A0v

(21)

取節(jié)流閥小孔的直徑為d、長度為l，液體流過小孔的平均流速為v0，則節(jié)流閥小孔層流沿程阻力損失的計算公式為：

(22)

式中：Re為雷諾數(shù)；ρ為液體密度，kg/m3。

(23)

活塞運動時的阻尼力

(24)

將式(24)代入式(20)后，進行拉普拉斯變換，得到：

Fg-B0v=Mvs

(25)

液壓缸出油腔的液流連續(xù)方程為：

(26)

式中：V20為液壓缸出油腔的容積，m3；Ee為油液有效體積彈性模量，Pa；q20為液壓缸出油流量，m3/s。

節(jié)流閥閥口的流量方程為：

(27)

式中：C0為節(jié)流閥的節(jié)流口流量系數(shù)；w為節(jié)流閥的節(jié)流口面積，m2。

設系統(tǒng)供油壓力ps0由溢流閥調(diào)定為恒值，回油壓力p30為零，不考慮液流在管道中的損失及動態(tài)特性，油的溫度和密度均為常數(shù)，節(jié)流閥的負載壓力及流量特性為：

Δq20=Kq1Δw+Kc1Δp20

(28)

將式(26)線性化并將平衡工作點移至坐標原點，進行拉普拉斯變換可得：

(29)

當系統(tǒng)正常工作時，節(jié)流閥開度變化很小，故可認為Δw=0，于是式(28)可寫為：

Q20=Kc1P20

(30)

以P20A作為輸出量、力控制系統(tǒng)輸出力Fg作為輸入量，將式(25)、式(29)、式(30)整理得補償裝置系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：

(31)

由于二階系統(tǒng)的重要參數(shù)是系統(tǒng)的無阻尼固有頻率和阻尼比，由式(19)可以知道，根據(jù)式(31)所構(gòu)造的二階液壓補償器的無阻尼固有頻率及阻尼比與設計需求相匹配。二階液壓補償器與電液力控制系統(tǒng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)如圖4所示。

4.2 二階液壓補償器的穩(wěn)定性

據(jù)式(31)可知，構(gòu)造的液壓補償器為二階系統(tǒng)，記式(31)的特征多項式為：

圖4 并聯(lián)結(jié)構(gòu)補償方案

α2s2+α1s+α0=0

(32)

式中：α2=1,α1=(B0V20+MEeKc1)/(MV20),α0=B0EeKc1/(MV20)。

在式(32)中，阻尼系數(shù)B0、油液有效體積彈性模量Ee、液壓缸出油腔的容積V20及運動部分質(zhì)量M皆大于零，同時，由于節(jié)流閥的節(jié)流口流量系數(shù)C0和節(jié)流口面積w、節(jié)流閥出口壓差p20-p30均大于0，故Kc1>0,所以系統(tǒng)特征方程的各系數(shù)均大于零。根據(jù)勞斯穩(wěn)定性判據(jù)，二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為α2>0，α1>0，α0>0。由此可知，所構(gòu)造的二階液壓補償結(jié)構(gòu)是穩(wěn)定的。

在液壓缸活塞運動過程中，缸內(nèi)被壓縮的液體會產(chǎn)生與活塞位移成比例的復位力，此時被壓縮的液體可看作是一個線性液壓彈簧，其剛度則為液壓彈簧剛度[12]，該值是隨著活塞位移的變化而改變的。本系統(tǒng)液壓彈簧剛度的計算公式為：

(33)

式中：V1為進油腔容積，m3；V2為出油腔容積，m3。

(34)

根據(jù)式(32)、式(34)及圖2可以畫出加入二階液壓補償器后電液力控制系統(tǒng)的簡化方框圖，如圖5所示。

圖5 加入二階液壓補償器后的系統(tǒng)簡化方框圖

Fig.5 Simplified block diagram of the system with second-order hydraulic compensator

5 數(shù)值仿真分析

根據(jù)電液力控制系統(tǒng)的數(shù)學模型，建立Simulink數(shù)值仿真模型。設置步長為1×10-5s，采用ode45算法，計算相對誤差取1×10-6，按照表2中的參數(shù)進行仿真計算。

表2 液壓系統(tǒng)參數(shù)

從能量耗散的角度來分析，本文所構(gòu)造的二階液壓補償器減小了系統(tǒng)綜合固有頻率ω0處諧振峰值的能量變化，提高了系統(tǒng)的綜合阻尼與液壓阻尼比，并且在動態(tài)過程中隨著彈性負載的變化而產(chǎn)生附加的阻尼作用，負載壓力變化越劇烈，其阻尼作用就越大，從而改善了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。而常規(guī)的雙慣性環(huán)節(jié)設計是在ωm之前串聯(lián)Gc=1/(s/ω1+1)2的校正環(huán)節(jié)，其中ω1為校正系數(shù)[12]。

圖6所示為電液力控制系統(tǒng)在未加入校正環(huán)節(jié)、加入二階液壓補償器和加入雙慣性環(huán)節(jié)后的系統(tǒng)伯德圖。在判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性時，一般情況下系統(tǒng)的相位裕度和幅值裕度越大，系統(tǒng)就越穩(wěn)定。從圖6可以看出，系統(tǒng)加入二階液壓補償器后的幅值裕度為54.8 dB、相位裕度為108°，與加入雙慣性環(huán)節(jié)校正的系統(tǒng)相比(幅值裕度為18.2 dB，相位裕度為60.2°)，系統(tǒng)穩(wěn)定性更強。另外，由于系統(tǒng)開環(huán)增益較小，故系統(tǒng)的穿越頻率僅有0.19 rad/s，從而使該系統(tǒng)的響應速度較慢。

圖6 系統(tǒng)伯德圖

圖7所示為輸入指令力以2 kN為幅值作正弦規(guī)律變化時的系統(tǒng)輸出力與指令力的對比，其中，指令力F01=2sin(6πt) kN，F(xiàn)02=2sin(10πt) kN，F(xiàn)1、F2分別為F01、F02所對應的實際輸出力。圖8為在不同的方波信號指令力作用下，系統(tǒng)的實際輸出力與指令力的對比,其中，指令力F03、F04的周期T=0.5 s，幅值分別為8 kN和2 kN，F(xiàn)3、F4分別為F03、F04所對應的實際輸出力。

圖7 不同正弦信號指令力作用下系統(tǒng)的輸出力

Fig.7 Output forces of the system under different directive forces of sinusoidal signal

圖8 不同方波信號指令力作用下系統(tǒng)的輸出力

Fig.8 Output forces of the system under different directive forces of square signal

從圖7可以看出：正弦信號指令力頻率增大時，系統(tǒng)輸出響應變快，穩(wěn)態(tài)誤差有所增大。當輸入正弦信號頻率為3 Hz時，系統(tǒng)能夠在0.12 s內(nèi)達到穩(wěn)態(tài)，輸出力的幅值誤差穩(wěn)定在2.1%內(nèi)，系統(tǒng)跟蹤性能良好；當輸入正弦信號頻率為5 Hz時，系統(tǒng)能夠在0.09 s內(nèi)達到穩(wěn)態(tài)，輸出力的幅值誤差穩(wěn)定在3.7%內(nèi)，跟蹤性能較好，但是存在發(fā)散的可能。從圖8可以看出：在相同頻率的方波信號指令力作用下，指令力增大會使系統(tǒng)響應品質(zhì)降低。輸入方波信號幅值為8 kN時，系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)后的超調(diào)量最大為5.6%。從以上仿真結(jié)果可以得知，加入二階液壓補償器后的電液力控制系統(tǒng)的響應速度及跟蹤性能良好。

由式(33)可知，當活塞處在液壓缸兩端時，V1、V2取零，此時液壓彈簧剛度極大，液壓固有頻率的值也很大，系統(tǒng)有很好的穩(wěn)定性，但精度很差。所研究的電液力控制系統(tǒng)的液壓彈簧剛度Kh與液壓缸活塞位移y的關(guān)系如圖9所示，可以看出，當活塞處在中間位置時Kh最小，當y=0或y=ymax=100 mm時Kh最大。

圖9 Kh與y的關(guān)系曲線

系統(tǒng)在二階液壓補償器的作用下，當液壓缸活塞在液壓缸右端運動、負載剛度K=60 kN/m時，可計算出活塞位移y為75、85、95 mm處的液壓剛度值Kh分別為73.1、105、249 MN/m。當輸入指令力為2 kN的階躍信號時，不同液壓剛度下系統(tǒng)的輸出力如圖10所示。

由圖10可以看出：當Kh不同時，系統(tǒng)的超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)誤差都發(fā)生改變；系統(tǒng)上升時間都在0.32 s以內(nèi)，最慢在0.86 s內(nèi)達到穩(wěn)態(tài)，穩(wěn)態(tài)誤差最大為0.09%。

當液壓缸活塞位于中間位置時，系統(tǒng)液壓剛度Kh=56.3 MN/m。仿真條件設置為：輸入指令力為2 kN的階躍信號，負載剛度K分別為60、300、600 kN/m。此條件下的系統(tǒng)輸出力如圖11所示。

圖10 不同液壓剛度下系統(tǒng)的輸出力

Fig.10 Output forces of the system with different hydraulic stiffness values

圖11 不同負載剛度下系統(tǒng)的輸出力

Fig.11 Output forces of the system with different load stiffness values

由圖11可以看出：當負載剛度遠小于液壓剛度時，隨著負載剛度的減小，系統(tǒng)響應速度變慢，穩(wěn)態(tài)誤差增大，系統(tǒng)性能變差。當負載剛度為600 kN/m時，系統(tǒng)上升時間為0.09 s，輸出力能夠在0.24 s內(nèi)達到穩(wěn)態(tài)，輸出力幅值誤差穩(wěn)定在0.4%內(nèi)，系統(tǒng)跟蹤性能良好；當負載剛度為300 kN/m時，系統(tǒng)上升時間為0.15 s，輸出力能夠在0.41 s內(nèi)達到穩(wěn)態(tài)，輸出力幅值誤差也能夠穩(wěn)定在0.4%內(nèi)，但是超調(diào)量增加，系統(tǒng)響應變慢；當負載剛度為60 kN/m時，系統(tǒng)上升時間為0.65 s，輸出力在0.86 s內(nèi)達到穩(wěn)態(tài)，輸出力幅值誤差穩(wěn)定在0.51%內(nèi)。

下面對液壓缸活塞在接近于行程終端的位置、液壓剛度Kh=1440 MN/m、負載剛度K=60 kN/m的系統(tǒng)工況進行分析，此工況下系統(tǒng)的動態(tài)特性較差。當輸入指令力為2 kN的階躍信號時，分別加入二階液壓補償器和雙慣性環(huán)節(jié)以及未加入校正環(huán)節(jié)的電液力控制系統(tǒng)的輸出力如圖12所示，系統(tǒng)響應特性如表3所示。

分析表3可以發(fā)現(xiàn)，在輸入指令力為階躍信號時，系統(tǒng)在二階液壓補償器和雙慣性環(huán)節(jié)作用下均能夠準確地跟蹤期望的輸出力。但是與雙慣性環(huán)節(jié)的校正效果相比，系統(tǒng)在二階液壓補償器作用下的上升時間、峰值時間和調(diào)整時間分別縮短了68%、59%和37%，穩(wěn)態(tài)誤差減小了0.1個百分點。

圖12 不同補償器作用下的系統(tǒng)輸出力

Fig.12 Output forces of the system with different compensators

表3 不同補償器作用下的系統(tǒng)響應特性

Table 3 Response characteristics of the system with different compensators

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)補償方案上升時間/s峰值時間/s最大超調(diào)量/%調(diào)整時間/s穩(wěn)態(tài)誤差/%二階液壓補償器0.210.3513.40.860.51雙慣性環(huán)節(jié)0.650.8717.61.360.61未校正0.861.569.90.913.05

6 結(jié)論

(1) 根據(jù)電液力控制系統(tǒng)工作原理建立了系統(tǒng)的三階非線性微分方程，采用李雅普諾夫直接法對系統(tǒng)穩(wěn)定性進行分析，得出滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性的條件，并根據(jù)數(shù)學模型及傳遞函數(shù)構(gòu)造出二階液壓補償器的物理模型。

(2)二階液壓補償器能有效提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性并抑制諧振峰值。與雙慣性環(huán)節(jié)校正效果相比，系統(tǒng)在加入二階液壓補償器后的幅值裕度和相位裕度得到大幅度的提升，分別達到 54.8 dB和108°。

(3)加入二階液壓補償器后，對于不同頻率的正弦輸入信號，系統(tǒng)最慢在0.12 s內(nèi)達到穩(wěn)態(tài)，最大穩(wěn)態(tài)誤差在3.7%以內(nèi)。當系統(tǒng)輸入為頻率相同、幅值不同的方波信號時，系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)后的最大超調(diào)量為5.6%，輸入幅值增大時，系統(tǒng)響應品質(zhì)會降低。

(4)負載剛度相同時，液壓彈簧剛度的改變導致系統(tǒng)超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)誤差均發(fā)生變化，但系統(tǒng)上升時間都在0.32 s以內(nèi)，最慢在0.86 s內(nèi)達到穩(wěn)態(tài)，穩(wěn)態(tài)誤差不大于0.09%。液壓彈簧剛度相同時，在負載剛度遠小于液壓彈簧剛度的范圍內(nèi)，隨著負載剛度的減小，系統(tǒng)響應速度變慢，穩(wěn)態(tài)誤差增大，系統(tǒng)品質(zhì)變差。

(5)當液壓缸活塞接近于行程終端位置時，與雙慣性環(huán)節(jié)校正效果相比，系統(tǒng)在二階液壓補償器作用下的上升時間、峰值時間和調(diào)整時間大幅度縮短，穩(wěn)態(tài)誤差減小，系統(tǒng)響應更快，動態(tài)性能更好。