基于蒙特卡羅模擬的概率求解問題研究

袁佳婧

摘 要：蒙特卡羅模擬是通過計(jì)算機(jī)模擬實(shí)際發(fā)生的事情。通過蒙特卡羅模擬能計(jì)算出相應(yīng)事件發(fā)生的概率，模擬與計(jì)算過程有效、可行、易理解。其基本思想是，將各種隨機(jī)事件的概率特征與模擬聯(lián)系起來，用試驗(yàn)的方法確定事件的相應(yīng)概率與數(shù)學(xué)期望。應(yīng)用蒙特卡羅模擬方法解決了實(shí)際概率問題，為解決用傳統(tǒng)方法不能解決的問題，提供了有意義的參考。主要介紹蒙特卡羅方法及基本原理，并通過實(shí)例說明蒙特卡羅方法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：蒙特卡羅模擬;隨機(jī)試驗(yàn);正態(tài)分布;數(shù)學(xué)建模

中圖分類號(hào)：TB 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.11.106

1 蒙特卡羅方法與基本原理

蒙特卡羅方法又稱為計(jì)算機(jī)模擬方法，它是以概率統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ)的一種方法。該方法與一般數(shù)值計(jì)算方法有本質(zhì)區(qū)別，蒙特卡羅模擬采用的是頻率近似概率的數(shù)學(xué)思想，來解決物理、數(shù)學(xué)、生產(chǎn)管理或工程技術(shù)等方面的問題。蒙特卡羅方法的起源，最早可以追溯到18世紀(jì)下半葉時(shí)，由Buffon提出的用試驗(yàn)的方法求值，即：蒲豐投針問題。蒲豐投針問題的解決方法就是蒙特卡羅模擬的典型運(yùn)用。當(dāng)時(shí)的投針試驗(yàn)是利用人工進(jìn)行實(shí)際操作，然后統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果，最后得出結(jié)論。但是人工進(jìn)行大量實(shí)際的隨機(jī)試驗(yàn)，一方面成本較高;另一方面統(tǒng)計(jì)結(jié)果的準(zhǔn)確率較低，因此只能稱Buffon試驗(yàn)只能稱為近代統(tǒng)計(jì)模擬的雛形。隨著現(xiàn)今計(jì)算機(jī)技術(shù)的高速發(fā)展，蒙特卡羅模擬實(shí)驗(yàn)已不再需要人工實(shí)際操作，通過計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬更加方便快捷，所得的估計(jì)值也更精確。

蒙特卡羅模擬方法求解概率問題的基本思想是：當(dāng)所求問題的解是某個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望或者某個(gè)事件的概率，或者是與數(shù)學(xué)期望、概率有關(guān)的量時(shí)，通過試驗(yàn)的方法模擬事件的發(fā)生，求出該事件發(fā)生的頻率，計(jì)算所求參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征，最后給出近似值作為問題的解。

2 實(shí)際問題

校車在每個(gè)工作日，都會(huì)在A校區(qū)與B校區(qū)之間擺渡。李華家住B校區(qū)附近。校車從A校區(qū)到B校區(qū)的運(yùn)行時(shí)間服從均值為30分鐘，標(biāo)準(zhǔn)差為2分鐘的正態(tài)隨機(jī)分布。校車大約中午13：00從A校區(qū)出發(fā)，李華大約13：30步行到達(dá)B校區(qū)，校車從A校區(qū)出發(fā)的時(shí)刻及概率如表1所示。

3 問題分析

記T1為校車從A校區(qū)出發(fā)的時(shí)刻，T2為校車從A校區(qū)到B校區(qū)運(yùn)行的時(shí)間，T3為李華到達(dá)B校區(qū)的時(shí)刻。T1、T2、T3均是隨機(jī)變量，且T2～N（30，22），T1、T3的分布律如表所示：其中記中午13時(shí)為時(shí)刻t=0。

通過分析可知，此人能及時(shí)趕上校車的充分必要條件是：T1+T2>T3。由此得到，此人趕上校車的概率是P{T1+T2>T3}。

4 建立模型

利用蒙特卡羅方法隨機(jī)模擬校車出發(fā)時(shí)刻，校車車運(yùn)行時(shí)間，李華到達(dá)B校區(qū)的時(shí)刻。然后判斷多次試驗(yàn)中滿足上述充要條件的試驗(yàn)有多少次。若在n次試驗(yàn)中，有k次成功，則用頻率k/n作為李華能趕上校車的概率。當(dāng)n很大時(shí)，頻率值與概率值近似相等。

設(shè)r1，r2 是（0，1）區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)。則T1，T3的分布律的模擬公式為：

t1=0，0

令 t2 是服從正態(tài)分布N（30，22） 的隨機(jī)數(shù)，則將t2 看成火車運(yùn)行時(shí)間T2的觀察值。

在每次試驗(yàn)中，產(chǎn)生兩個(gè)U（0，1） 的隨機(jī)數(shù)r1，r2，來構(gòu)造 t1，t3。產(chǎn)生一個(gè)N（30，22） 的隨機(jī)數(shù)r3，來構(gòu)造 t2。當(dāng) t1+t2>t3，認(rèn)為試驗(yàn)成功（能夠趕上校車）。若在n次試驗(yàn)中，有k次成功，則用頻率k/n 作為此人趕上火車的概率。當(dāng)n很大時(shí)，頻率值與概率值近似相等。

5 模型求解

下面是利用python語言進(jìn)行蒙特卡羅模擬的程序。其中montefun（）是自定義的蒙特卡羅模擬函數(shù)。

import numpy as np

def montefun（）：

t1 = np.random.rand（）

t2 = np.random.normal（30，2）

t3 = np.random.rand（）

arrtime1=0

arrtime2=t2

arrtime3=0

if t1<0.7：

arrtime1=0

elif 0.7<=t1<0.9：

arrtime1=5

else：

arrtime1 = 10

if t3 < 0.3：

arrtime3 = 28

elif 0.3<= t3 <0.7：

arrtime3 = 30

elif 0.7<= t3 < 0.9：

arrtime3 = 32

else：

arrtime3 = 34

return arrtime1，arrtime2，arrtime3

if __name__ == "__main__"：

t=0

f=0

for i in range（10000）：

t1，t2，t3 = montefun（）

if （t1 +t2） > t3：

t+=1

else：

f += 1

print （float（t）/10000）

程序運(yùn)行的最后結(jié)果為：0.6317，故李華可以趕上校車的概率是0.6317。

6 模型推廣

眾所周知，在實(shí)際生活中有很多概率事件，這些事件可能沒有明確的概率分布。這種情況下，蒙特卡羅模擬是最有效且直接的方法。

我們都玩過套圈圈的游戲：游戲者拿著圈，去套擺放在地上的玩具，如果套中即可拿走。這個(gè)游戲貌似很誘人，但事實(shí)上投圈游戲攤的老板是穩(wěn)賺不賠的?，F(xiàn)在我們用蒙特卡羅模擬計(jì)算能套中的概率，證明這個(gè)事實(shí)。

假設(shè)目標(biāo)物品中心點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0），目標(biāo)物品的半徑為5cm。下面用python代碼畫出目標(biāo)物品坐標(biāo)圖。

import matplotlib.pyplot as plot

import numpy as np

import matplotlib.patches as mpts

target_circle = mpts.circle（[0，0]，radius=5，edgecolor='r'，fill=False）

plot.ylim（-80，80）

plot.xlim（-80，80）

plot.axes（）.add_patch（circle_target）

plot.show（）

代碼運(yùn)行后得到目標(biāo)物品，如圖1所示。

對(duì)此我們假設(shè)投圈的半徑為8cm。投圈中心點(diǎn)圍繞目標(biāo)物品中心點(diǎn)呈二維正態(tài)分布，且假設(shè)其均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：μ=0cm，σ=20cm。模擬1000個(gè)參與游戲者每人投圈1 次，即模擬投圈過程1000次。用python代碼完成模擬的程序如下。

N=1000

u，beta = 0，20

points = u + beta * np.random.randn（N，2）

plot.scatter （ [x[0] for x in points]，[x[1] for x in points]，c=np.random.rand（N），alpha=0.5）

運(yùn)行代碼之后，得到的投圈中心點(diǎn)的分布圖如圖2所示。

計(jì)算1000次投圈的過程中，投圈能夠套住目標(biāo)物品的概率。用python代碼完成計(jì)算：print（len（[xy for xy in points if xy[0] ** 2 + xy[1] ** 2 < （8-5） ** 2]）/N）。

代碼執(zhí)行后輸出的結(jié)果值為0.012?？梢越忉尀橥度?000次，其中只有12次能夠套住物品。這是個(gè)小概率事件，所以不難理解投圈游戲的老板幾乎時(shí)穩(wěn)賺不賠了。

7 總結(jié)

蒙特卡羅方法的發(fā)明，無疑是人類思維史上的重大突破。通過一個(gè)隨機(jī)性的構(gòu)想，它打破了過去的思考空白區(qū)，開啟了人類新的思維空間。

蒙特卡羅方法的使用過程可以歸納為以下三個(gè)主要步驟：

（1）構(gòu)造概率過程：對(duì)于本身具有隨機(jī)性質(zhì)的問題，需要正確地描述和模擬這個(gè)概率過程;對(duì)于本來不是隨機(jī)性質(zhì)的確定性問題，需要事先人為地構(gòu)造概率過程，將不具有隨機(jī)性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)性質(zhì)的問題。

（2）利用概率分布抽樣：各種概率模型可以看作是由各種各樣的概率分布構(gòu)成的，所以實(shí)現(xiàn)蒙特卡羅方法模擬實(shí)驗(yàn)的基本手段是產(chǎn)生已知概率分布的隨機(jī)變量。然后依據(jù)概率分布進(jìn)行隨機(jī)抽樣模擬概率過程。

（3）建立估計(jì)量：實(shí)現(xiàn)模擬實(shí)驗(yàn)后確定一個(gè)隨機(jī)變量，作為所要求的問題的解。蒙特卡羅方法通過構(gòu)造符合一定規(guī)則的隨機(jī)數(shù)來解決各種實(shí)際問題。對(duì)于那些由于計(jì)算過于復(fù)雜而難以得到解析解或者根本沒有解析解的問題，蒙特卡羅方法是一種有效的求出數(shù)值解的方法。

蒙特卡羅模擬方法的優(yōu)點(diǎn)是能夠比較逼真地描述具有隨機(jī)性質(zhì)的事物的特點(diǎn)及物理實(shí)驗(yàn)過程。受幾何條件限制小。程序結(jié)構(gòu)簡單，易于實(shí)現(xiàn)。是中學(xué)生入門數(shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn)的不二選擇。

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