從“減法”到“ 除法”

劉林濤

[摘 要]數(shù)學(xué)知識(shí)是有系統(tǒng)性和關(guān)聯(lián)性的，前面的知識(shí)為后面的知識(shí)做鋪墊，但是有的時(shí)候，前面的知識(shí)卻為后面的知識(shí)帶來負(fù)遷移，所以知識(shí)間的前后照應(yīng)、轉(zhuǎn)化融通是一把雙刃劍，有利也有弊。從減法到除法的轉(zhuǎn)化融通，關(guān)鍵在于算式中要留有“余數(shù)”，每次剩余的余數(shù)將進(jìn)行再次分配，直到分配“干凈”，從而實(shí)現(xiàn)減法與除法完美對接。

[關(guān)鍵詞]除法;減法;應(yīng)用題;操作;分配

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號] 1007-9068（2019）17-0030-02

在教完關(guān)于除法解決問題的應(yīng)用題之后，教師應(yīng)找準(zhǔn)時(shí)機(jī)，引領(lǐng)學(xué)生辨析對比除法和減法之間的異同，然后進(jìn)行抽象、歸納和提升，以促使學(xué)生掌握除法與減法的聯(lián)系與差異，了解除法與減法應(yīng)用題的基本特征，然后做到在練習(xí)中快速辨識(shí)，并選取恰當(dāng)?shù)姆椒谐稣_的算式解決問題，進(jìn)而解決一些關(guān)于四則運(yùn)算的應(yīng)用題。

一、兩道相似應(yīng)用題的碰撞

【例1】 一袋糖果有15顆，分給哥哥7顆，分給弟弟5顆，分給姐姐3顆，問這袋糖果還剩多少顆？

遇到這一類問題，學(xué)生很容易能做出正確分析。一是題干中“分給”的意思明確，即從15顆糖果中取走若干顆，然后分配給哥哥、弟弟、姐姐三個(gè)人;二是“分配”物品的情境在生活中比比皆是，學(xué)生有著豐富的體驗(yàn)和經(jīng)驗(yàn)。因此，學(xué)生對這種分配物品的問題也就不會(huì)感到生疏。但是同樣是分配食品，如果是按照下面這種分配方案，學(xué)生做題就沒那么輕巧容易了。

【例2】 一袋糖果有15顆，現(xiàn)要將其平分給3個(gè)人，每人分到手的糖果數(shù)量是多少？

此題中，一是“3個(gè)人”的條件很抽象，沒有具體指代對象，根本不像例1中的“哥哥、弟弟和姐姐”那樣將分配對象交代得清清楚楚，這樣具體指名道姓的落實(shí)到人，學(xué)生會(huì)形成深刻印象，知道要分成三份;二是“平分給3個(gè)人”這句話容易產(chǎn)生歧義，究竟是按人頭去分糖果，還是按照糖果數(shù)去調(diào)配人員，或者還有其他什么分配法，學(xué)生很難分清這里面的名堂，因此，也就難免犯下“15-3=12”的錯(cuò)誤。但無論如何，要想讓學(xué)生理解專業(yè)的數(shù)學(xué)語言，僅靠教師的口頭解釋很難奏效。譬如，例2中的“平均分”，學(xué)生拿到題目后根本就不該冒失地去計(jì)算。動(dòng)筆前首先應(yīng)該將“平均分”的含義弄清楚。如“爸爸手里有6根香蕉，現(xiàn)在要把它分給疼愛的2個(gè)兒子，你認(rèn)為爸爸會(huì)怎么分呢？”對于此問題，筆者認(rèn)為多數(shù)學(xué)生會(huì)想到每個(gè)兒子分到3根香蕉。因?yàn)樗麄儠?huì)認(rèn)為都是爸爸的寶貝兒子，手心手背都是肉，所以爸爸一定會(huì)一視同仁。于是，6根香蕉平均分成兩份，一份就是3根。至于題中的“3個(gè)人”該怎么理解，就考驗(yàn)著教師的教學(xué)智慧和技巧。教師必須深思熟慮，即在什么時(shí)候（不等分或者不公平分配）應(yīng)該將其具體化為“哥哥、姐姐和弟弟”這樣明確身份的對象，在什么時(shí)候（每人分得的數(shù)量沒有差別的情形下）可以將分配對象視為任意的3個(gè)自然人。這樣教學(xué)，學(xué)生才會(huì)知道什么是平均分。

二、對照操作過程演示分配

筆者覺得，要想穩(wěn)妥解決上述問題，最好的方法莫過于讓學(xué)生自己動(dòng)手實(shí)踐，動(dòng)腦思索，然后動(dòng)筆演算。先由各小組長分配任務(wù)，安排分工，如一位學(xué)生拿出15根小棒，假想成15顆糖果;接著挑選3個(gè)要瓜分糖果的人;然后安排一位分配者來主持分配;再后便是設(shè)計(jì)“分配法則”，制定分配方案和分配程序，即領(lǐng)取糖果的成員每次從口袋里取出糖果前，一定要向分配者提交數(shù)目申請，如果取出的糖果數(shù)與配給量不相符，那么糖果分配者有權(quán)力拒絕交付糖果。而且，即便是分配者已經(jīng)完成糖果交付，那么這個(gè)過程必須經(jīng)過其他3個(gè)人的監(jiān)督認(rèn)證;最后由組長做最后解釋說明。這樣做，兼顧了小組成員的個(gè)體思考和全體成員的集體智慧，既展現(xiàn)了個(gè)人心思又彰顯了集體智慧，從而避免“場上一個(gè)學(xué)生表演操作，下面的學(xué)生圍觀看熱鬧”的窘境。當(dāng)然，小組成員的個(gè)人獨(dú)立操作和團(tuán)結(jié)協(xié)作，有利于培養(yǎng)學(xué)生的民主意識(shí)和團(tuán)隊(duì)精神。接下來就可以進(jìn)入?yún)R報(bào)總結(jié)階段。

師：為了保證分配時(shí)萬無一失，把15顆糖果平分給3個(gè)人，怎么分最合適呢？現(xiàn)在請一個(gè)同學(xué)上來演示一下他的分配過程。

師：你們看清他的分配過程了嗎？

生1：看清了，就是每次分走3顆，一人一顆。

師：對的！為何每次分走3顆呢？

生2：因?yàn)橛?個(gè)人。

師：一次分3顆，就是要從總數(shù)15顆里面分批取走多少？

生3：取走5個(gè)3。

師：取走3顆，應(yīng)該怎么列式計(jì)算？

生4：應(yīng)該用15減去3。

……

教師一邊組織教學(xué)，一邊整理數(shù)據(jù)，列出矩陣（如下圖），引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、概括和總結(jié)。

三、減法到除法的轉(zhuǎn)化融通

由上面的矩陣不難發(fā)現(xiàn)，“平均分”的操作完全能夠通過減法實(shí)現(xiàn)，但前提是每個(gè)減數(shù)都相同。減數(shù)相同的連續(xù)相減，其實(shí)可以簡記成除法算式，即15[÷]3。當(dāng)然，我們還必須指出，連減算式中的“3”代表糖果數(shù)量，而除法算式中的“3”代表的則是人數(shù)，這是為什么呢？因?yàn)榘凑諟p法計(jì)算時(shí)，每次取走的糖果數(shù)“3顆”剛好是按人頭分配，一人一顆，所以3顆糖果對應(yīng)3個(gè)人，因此到除法里，3個(gè)人剛好與3顆糖果調(diào)換概念，實(shí)際上也就是把15顆糖果平均分成3份，求每份數(shù)是多少。

這樣，學(xué)生再用“15-3來計(jì)算這道題，教師也就能夠一眼看出錯(cuò)在哪里。因?yàn)槿绻麑?shù)字3看成糖果數(shù)，說明只進(jìn)行了一次分配，還沒有分完，一次分走了3顆糖果，每人1顆，剩下12顆糖果沒有分完，取走糖果的人也不會(huì)同意。另外，如果將算式中的3看成人數(shù)的話，那么15-3=12的結(jié)果12，用糖果數(shù)減去人數(shù)，這“12”代表的到底是12顆糖果，還是12個(gè)人呢？因此，教師還必須強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)：單位不同的數(shù)字無法進(jìn)行加減運(yùn)算。

綜上所述，從減法到除法的轉(zhuǎn)化融通，關(guān)鍵在于算式中要留有“余數(shù)”，每次剩余的余數(shù)將進(jìn)行再次分配，直到分配“干凈”，這樣才能讓減法與除法完美對接。當(dāng)然，教師提問的時(shí)候，不能光問每個(gè)人應(yīng)得幾顆，最好問清楚每次分配后剩下幾顆沒有分完，直到剩下0顆為止。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 談愛清，紀(jì)美玲.借助操作復(fù)習(xí)整理、探索發(fā)現(xiàn)：以表內(nèi)乘、除法計(jì)算的復(fù)習(xí)為例[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2018（24）：42-43.

[2] 胡秀霞.“帶余除法”教學(xué)的實(shí)踐與反思[J].小學(xué)教學(xué)參考，2018（26）：38-39.

（責(zé)編 黃春香）