“一名一角”在三角函數(shù)經(jīng)典題型中的應(yīng)用

孫鵬飛

縱觀近5年的高考試題，對(duì)三角函數(shù)的考查主要圍繞三角函數(shù)的圖像及其變換，三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)。考題多以中檔難度出現(xiàn)，有時(shí)也會(huì)以解答題形式進(jìn)行考查，不僅要求考生熟練掌握三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，還要求考生注意三角恒等變換，切割化弦，名稱(chēng)不同化同名，角不同化同角，降冪等，最終化成，，型，簡(jiǎn)稱(chēng)“一名一角”。利用整體代換、數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，在解題時(shí)明方向、巧轉(zhuǎn)化、化繁為簡(jiǎn)，達(dá)到事半功倍的效果。

一、三角函數(shù)的周期

二、三角函數(shù)的奇偶性

歸納感悟：（1）在三角函數(shù)中，判定奇偶性的前提是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，奇函數(shù)-般可化為y=Asinwx或y=AtanWx的形式，而偶函數(shù)-般可化為y=Acoswx+b的形式。

（2）已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)時(shí)，充分利用三角函數(shù)的性質(zhì)化歸到y(tǒng)=sinx，y=cosx，y=tanx簡(jiǎn)單函數(shù)模型上去。對(duì)于y=Asin（wx+φ），若為奇函數(shù)，則φ=kπ，k∈Z;若為偶函數(shù)，則φ=，k∈Z。對(duì)

三、三角函數(shù)的單調(diào)性

例3

分析：將函數(shù)f（x）化簡(jiǎn)為f（x）=Asin（wx+φ）+k，“一名一角”的形式后，利用整體換元思想及正弦函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)

歸納感悟：（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡(jiǎn)化原則，將函數(shù)解析式化成“一名一角”，并注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律“同增異減”。

（3）已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)時(shí)，先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求解。

例4

分析：先確定三角函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，再根據(jù)集合的包含關(guān)系確定函數(shù)的最大值。

歸納感悟：函數(shù)y=Asin（wx+φ）+B（A>0，w>0）的性質(zhì)：

四、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例5

歸納感悟：本題求解的關(guān)鍵在于將三角函數(shù)f（x）進(jìn)行正確的“化一”，即“一名一角”，以及轉(zhuǎn)化之后角的范圍的確定，因此求解時(shí)要準(zhǔn)確運(yùn)用三角公式，并借助三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)去確定函數(shù)f（x）的最值。

例6

歸納感悟：在解決三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，需先將y=f（x）化為“一名一角”的形式，再借助簡(jiǎn)單三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題。如三角函數(shù)的零點(diǎn)、方程、不等式等問(wèn)題。

總之，整體代換、化歸與轉(zhuǎn)換、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類(lèi)討論等思想在解決三角函數(shù)問(wèn)題中能夠起到意想不到的效果。