淺談立體幾何中的創(chuàng)新題

王崇　王超

縱觀高考數(shù)學(xué)試題可以發(fā)現(xiàn)，立體幾何主要考查考生的空間想象能力、計(jì)算及轉(zhuǎn)換能力，以圖形的分割、補(bǔ)形、折疊、展開、平移為依托，在圖形的變式和非標(biāo)準(zhǔn)圖形位置中靈活地運(yùn)用概念、性質(zhì)、定理解決相關(guān)問題，考查方式靈活多變。

一、立體幾何中的截面問題

例1 已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱

所在直線與平面a所成的角都相等，則平面a截此正方體所得截面面積的最大值為（）。

A.

B.

C.

D.

分析：本題主要考查空間直線與平面的位置關(guān)系及其所成角的問題，載體為大家最熟悉的正方體，但考查角度較新穎。利用正方體的性質(zhì)，將每條棱所在直線與平面a所成角轉(zhuǎn)化為共頂點(diǎn)的三條棱所在直線與平面所成角是解決本題的關(guān)鍵，在此基礎(chǔ)上可以利用極限思想和特殊位置的方法解決。

解法1：（直接法）平面ACB符合題.意，如圖1所示。題中的平面a可由平面A.C：B平移得到，如圖2所示，六邊形EFGHMN即為該截面。

設(shè)A1N=x，則有EN=12x，MN=。根據(jù)對(duì)稱性可知，延長(zhǎng)EN，HM相交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)EF，HG相交于點(diǎn)Q，如圖3所示。由相似比可得PN=PM=，

解法2：（特殊位置法）由題可知，截面a應(yīng)與正方體的體對(duì)角線垂直，當(dāng)平面平移至截面為六邊形時(shí)，此時(shí)六邊形的周長(zhǎng)恒定不變，所以當(dāng)截面為正六邊形時(shí)，面積最大，即

探究本題根源：在人教A版教科書《必修2》“2.2.2平面與平面平行的判定”例2及習(xí)題中出現(xiàn)了此題中的面與棱所成角問題，老師當(dāng)時(shí)的講解稍加延伸考生就會(huì)清楚知道截面與正方體各條棱所成的角相等，那么考生有了這樣的認(rèn)識(shí)之后再看到這道題時(shí)應(yīng)該很容易找到切入點(diǎn)。

同類題型：

1.能否用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體，使得截面為五邊形？進(jìn)一步，截面能否為正五邊形呢？

解析：如圖4所示，我們可以用一個(gè)平面截一個(gè)正方體ABCD-A1B1C1D1，使得截面為一個(gè)凸五邊形。I是B1B延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，使得IB=1，E為A1D1的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1上的點(diǎn)，使得，則截面C1EFGH為過直線EF與C1I（這里EF//C1I）的平面與正方體ABCD-A1B1C1D1、相截所得的凸五邊形截面。

用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體所得截面不能是一個(gè)正五邊形。事實(shí)上，若截面可以為一個(gè)正五邊形，則五邊形的五條邊分屬于此正方體的五個(gè)不同的面。我們將正方體的每?jī)蓚€(gè)相對(duì)的面作為一個(gè)抽屜，則上述包含正五邊形的邊的五個(gè)面中，必有兩個(gè)面為相對(duì)的平面，它們是平行的，利用平行平面的性質(zhì)，可知此五邊形中有兩條邊是平行的。但是正五邊形的五條邊是彼此不平行的，矛盾。

2.正四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，O是P在底面上的射影，PO=6，Q是AC上的一點(diǎn)，過Q且與PA，BD都平行的截面為五邊形EFGHL，求該截面面積的最大值。

解析：如圖5，連接AC，BD，設(shè)截面與正四棱錐P-ABCD的底面的交線為EL，AC與EL相交于Q點(diǎn)，由BD//截面EFGHL得LE//BD，AP//截面EFGHL，得AP//QG，那么，EL必定分別與AB，AD相交于E，L，否則，截面將是三角形，則AP//EF，AP//LH，在正四棱錐P-ABCD中BD⊥AP，由LE//BD，AP//QG，知∠GQE是異面直線BD與PA所成角，則QG⊥EL，所以GFEQ和GHLQ是兩個(gè)全等的直角梯形。

面EFGHL的面積取得最大值9。

二、立體幾何中的折疊與展開問題

例2 某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其.三視圖如圖6所示。圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在側(cè)視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為（）。

分析：本題主要考查空間幾何體的三視圖、直觀圖及最短路徑問題。解決空間幾何表面上兩點(diǎn)間的最短路徑問題的常用方法是把空間圖形展為平面圖形，利用兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行求解。

解：三視圖還原幾何體為一圓柱，如圖7，將側(cè)面展開，如圖8，則最短路徑的長(zhǎng)度為M，N連線的距離，所以MN=。故選B。

探究本題根源：在人教A版教科書《必修2》第二章小結(jié)的回顧與思考中指出“空間圖形問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為平面問題。‘確定平面是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的重要條件，而這種轉(zhuǎn)化又是空間圖形中解決部分問題的重要思想方法”。本題既考查了三視圖的知識(shí)，又考查了空間幾何與平面幾何的轉(zhuǎn)化問題，解決此類問題常用展開的方法確定相應(yīng)的平面。

同類題型：

1.如圖9所示，一個(gè)圓臺(tái)的上底半徑為5，下底半徑為10，母線A1A2=20。一只螞蟻從A1A2的中點(diǎn)M繞圓臺(tái)側(cè)面轉(zhuǎn)到下底面圓周上的點(diǎn)A2，求：

（1）螞蟻爬行的最短距離;

（2）螞蟻在爬行過程中（沿最短距離爬行），螞蟻與上底面圓周上的點(diǎn)的最短距離。

解析：我們將圓臺(tái)的側(cè)面沿母線A1A2

（1）連接A2M，如果A2M與扇形A1PA1沒有交點(diǎn)，則線段A'M的長(zhǎng)度即為螞蟻爬行的最短距離。

利用∠A'2PM為直角，可知，故A'2M=50，這時(shí)，我們過P作PD⊥A'2M，D為垂足，則PD=，這表明A'2M與扇形A'PA，沒有交點(diǎn)。所以螞蟻爬行的最小距離為50。

（2）如圖11，設(shè)

PD交弧A'A，于點(diǎn)E，我們證明DE的長(zhǎng)度即為螞蟻在沿最短距離爬行時(shí)，與上底圓周上的點(diǎn)的最小距離。事實(shí)上，設(shè)D'E'為所求的最小距離，則PE'+D'E'≥PD'≥PD=PE+ED=PE'+ED，所以D'E'≥ED這表明，所求的最小距離為ED=4。

三、立體幾何中圓柱、圓錐、多面體和球的問題

例3 如圖12，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切。記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是____。

解析：依題意，球0內(nèi)切于圓柱0.O2，所以圓柱上下底面的半徑等于球的半徑，可設(shè)半徑為R，而圓柱的高也等于球的直徑。由圓柱體的體積公式得V1=。由球的體積公式得V2=。所以。

探究本題根源：在人教A版教科書《必修2》“1.3.2球的體積和表面積”例4中出現(xiàn)了圓柱的內(nèi)切球和圓柱體積比值的問題，可以把題型延伸到球與多面體、圓錐、圓柱外接和內(nèi)切的問題。此類題型在高考中多以填空題或選擇題的形式出現(xiàn)，解題的關(guān)鍵在于抓住球心到多面體各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等，大多是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題進(jìn)行解決。同類題型：

1.在底面半徑為2，母線長(zhǎng)為2/2的圓錐內(nèi)有一個(gè)高為1的內(nèi)接圓柱，則該圓柱的外接球的表面積為____。

解析：圓柱內(nèi)接于圓錐時(shí)，由于對(duì)稱性，畫出過圓錐頂點(diǎn)和底面直徑的剖面圖，如圖13所示，B把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決。

由題可知∠BAC=，AO=2，DF=1，所以AD=，且DF//AO，易得圓柱底面半徑r=1。設(shè)圓柱外接球半徑為R，則由對(duì)稱性可知EF=2R。在Rt△EGF中，EF2=EG2+FG2，即（2R）2=12+22=5。所以該圓柱外接球的表面積S=4πR2=5π。