合作學(xué)習(xí)：從“數(shù)學(xué)交流”走向“互助學(xué)習(xí)”

☉江蘇省蘇州市吳江區(qū)松陵第一中學(xué) 陳 明

最近讀到福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院李祎教授的《別被理念綁架教學(xué)》（見參考文獻(xiàn)［1］），文中指出：“我們?nèi)粘Ｋ^的數(shù)學(xué)合作學(xué)習(xí)，其實(shí)是數(shù)學(xué)交流，數(shù)學(xué)交流僅僅是數(shù)學(xué)合作學(xué)習(xí)中的一個(gè)環(huán)節(jié)，并非數(shù)學(xué)合作學(xué)習(xí)的全部．”合作學(xué)習(xí)是指“學(xué)生在小組或團(tuán)隊(duì)中為了完成共同的任務(wù)，有明確的責(zé)任分工的互助性學(xué)習(xí)”．近年來，筆者在“合作學(xué)習(xí)”的課題研究過程中，對(duì)李教授的上述觀點(diǎn)深有感觸、引發(fā)共鳴．本文將結(jié)合課題研究實(shí)踐過程中積累的一些案例，例談合作學(xué)習(xí)要注意從“數(shù)學(xué)交流”走向“互助學(xué)習(xí)”．

一、“互助學(xué)習(xí)”的案例與解讀

案例1：探究?jī)蓚€(gè)三角形全等的條件

三角形全等的判定方法是非常重要的幾何知識(shí)，義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)將“邊邊邊”“邊角邊”“角邊角”作為基本事實(shí)給出，教學(xué)時(shí)如何組織這些判定方法的情境創(chuàng)設(shè)考驗(yàn)著不少教師的教學(xué)基本功．經(jīng)過多次實(shí)踐，筆者覺得適時(shí)運(yùn)用合作學(xué)習(xí)、互助學(xué)習(xí)能有效提升課堂教學(xué)效率．以下整理筆者關(guān)于“邊邊邊”判定方法的教學(xué)活動(dòng)：

教學(xué)活動(dòng)：同學(xué)們剛剛通過作圖確認(rèn)了在兩個(gè)三角形中，只給定一個(gè)元素相等，或兩個(gè)元素分別相等，兩個(gè)三角形不一定全等，大家畫出的三角形“各不相同”，下面我們給定三個(gè)元素再來作圖.比如，第一小組的同學(xué)作三邊長(zhǎng)分別是2cm、3cm、4cm的三角形，第二小組的同學(xué)作三邊長(zhǎng)分別是3cm、4cm、5cm的三角形，第三小組的同學(xué)作三邊長(zhǎng)分別是3cm、3cm、4cm的三角形，第四小組的同學(xué)作三邊長(zhǎng)分別是1.5cm、2.5cm、3cm的三角形，在各組作好三角形之后，由各小組組長(zhǎng)檢查對(duì)比本組同學(xué)所畫三角形的形狀與大小，可以確認(rèn)小組內(nèi)作出的三角形都是全等的．從而給出基本事實(shí)：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等．簡(jiǎn)記為“邊邊邊”或“SSS”．

說明：上述教學(xué)活動(dòng)充分發(fā)揮了分組學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)的優(yōu)勢(shì)，讓不同小組做不同的嘗試，用不同的邊長(zhǎng)畫圖，分別確認(rèn)，這樣可以有效節(jié)約課堂教學(xué)時(shí)間，因?yàn)槊總€(gè)小組的作圖任務(wù)的思維含量、數(shù)學(xué)技能的層級(jí)是一致的，所以這樣的分組合作學(xué)習(xí)就是有效的．事實(shí)上，在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)研究“邊角邊”“角邊角”判定方法時(shí)，也可采用同類的教學(xué)方法，開展小組合作學(xué)習(xí)，這也就從簡(jiǎn)單交流走向了互助學(xué)習(xí)．另外，在圓周角性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)與證明過程中，也可安排小組合作學(xué)習(xí)，讓不同小組對(duì)同弧所對(duì)圓周角展開探究，小組內(nèi)先交流各自發(fā)現(xiàn)，然后組織大組交流展示，最終確認(rèn)圓周角的性質(zhì)．

案例2：探索發(fā)現(xiàn)一元二次方程“根與系數(shù)的關(guān)系”

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）雖然是選學(xué)內(nèi)容，但由于在高中階段有著廣泛的運(yùn)用，而目前初中生有大多數(shù)都將升入高中學(xué)習(xí)，所以在平時(shí)教學(xué)中，教師都不會(huì)淡化這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)．那么，如何引出一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系呢？筆者有如下的實(shí)踐：

教學(xué)活動(dòng)：先將學(xué)生分成4個(gè)小組，小組長(zhǎng)從教材或近期作業(yè)中選出4道左右有代表性的一元二次方程題，列表對(duì)比這些方程兩根之和與兩根之積．然后小組內(nèi)交流各自的發(fā)現(xiàn)，形成意見后全班交流，猜想歸納得出根與系數(shù)的關(guān)系．教師在學(xué)生“分組實(shí)驗(yàn)”的基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué)生猜想發(fā)現(xiàn)才邁出重要一步，雖然在各組分工研究過程中沒有發(fā)現(xiàn)“反例”，但是并不能保證它的正確性或一般性，需要進(jìn)行證明才能確認(rèn)這一性質(zhì)，于是讓學(xué)生“回到定義”，需用求根公式證明韋達(dá)定理．

說明：現(xiàn)在不少地區(qū)推行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，而且把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)簡(jiǎn)單化理解為一些折紙操作的動(dòng)手實(shí)驗(yàn)活動(dòng)．事實(shí)上，像上面分組探究一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系也是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的重要內(nèi)容，但是分組合作、動(dòng)腦計(jì)算、猜想發(fā)現(xiàn)之后還需要啟發(fā)學(xué)生走上“一般證明”之路，“有了證明才是真數(shù)學(xué)”，否則與其他科學(xué)類課程傳遞的實(shí)驗(yàn)教學(xué)區(qū)別不大．類似地，反比例函數(shù)圖像的位置的探索，也可以運(yùn)用類似的分組合作學(xué)習(xí)的方式，讓不同小組將探究到的反比例函數(shù)圖像的位置、特點(diǎn)與性質(zhì)進(jìn)行交流，最后大家討論確定反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì).在這個(gè)過程中，也要注意從圖形直觀的實(shí)驗(yàn)走向理性說明，比如，充分考慮反比例函數(shù)解析式中“分式”的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)自變量、函數(shù)值都不可能為0，這樣就可充分解釋雙曲線與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)等性質(zhì)，也可讓學(xué)生感受到數(shù)與形之間的和諧、一致與數(shù)形互助思想．

案例3：寫出兩個(gè)正多邊形的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)

進(jìn)行正多邊形的教學(xué)時(shí)，筆者曾設(shè)計(jì)如下一道習(xí)題：給出正五邊形、正六邊形（如圖1），寫出它們的相同點(diǎn)、不同點(diǎn)（至少各寫3點(diǎn)）.

圖1

教學(xué)組織：考慮到答案的豐富多樣，安排學(xué)生先獨(dú)立思考，然后分組合作，互助學(xué)習(xí)，在小組內(nèi)匯報(bào)交流各自發(fā)現(xiàn)，然后派出代表到講臺(tái)上講解他們小組的發(fā)現(xiàn)，再安排幾個(gè)學(xué)生在黑板上類比收集，寫在黑板上相應(yīng)的位置.待各個(gè)小組都匯報(bào)展示之后，引導(dǎo)學(xué)生思考為什么有這么多答案，大家是從哪些角度思考的，并在此基礎(chǔ)上小結(jié)出研究一個(gè)幾何對(duì)象的套路，如定義、要素（邊與角）、相關(guān)要素（外角、對(duì)角線）、對(duì)稱性質(zhì)（軸對(duì)稱與中心對(duì)稱）、外接圓與內(nèi)切圓（中心、邊心距）等，讓這道開放式習(xí)題的教學(xué)功能得到強(qiáng)化，而不只是滿足于多樣化答案的獲得.

案例4：銳角三角函數(shù)起始課的探究情境

銳角三角函數(shù)的概念引出是很多教師感到困惑的一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，因?yàn)椴煌滩纳系姆绞礁鞑幌嗤?，多?shù)版本的教材采取的是生活現(xiàn)實(shí)情境，從中抽象出直角三角形，分析各邊之比定義銳角三角函數(shù).筆者經(jīng)過對(duì)比，采取如下合作學(xué)習(xí)的方式，引出新知：

圖2

圖3

圖4

進(jìn)一步安排學(xué)生分組研究這3條直線，在這些直線上任意取點(diǎn)P、Q，研究點(diǎn)P的坐標(biāo)之間的比值在各自圖形中是否變化.學(xué)生分組交流確認(rèn)不變之后，抽象出圖5，走向一般，得出變量α與比值之間的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而對(duì)照函數(shù)概念，定義銳角三角函數(shù)（先定義正切函數(shù)，再生成正弦函數(shù)、余弦函數(shù)）.

圖5

說明：基于坐標(biāo)系定義銳角三角函數(shù)有一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，即有利于將來高中階段將三角函數(shù)進(jìn)一步擴(kuò)充、完善，同時(shí)是基于學(xué)生 “最近發(fā)展區(qū)”（正比例函數(shù)的圖像）而設(shè)計(jì)的一個(gè)“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”．安排學(xué)生分組研究，匯總各組的發(fā)現(xiàn)可以確認(rèn)和歸納出一些性質(zhì)，從而引導(dǎo)學(xué)生對(duì)照函數(shù)定義（變化過程中，兩個(gè)變量，單值對(duì)應(yīng)）生成新的概念．

二、關(guān)于合作學(xué)習(xí)的進(jìn)一步思考

1.基于教學(xué)內(nèi)容想清“合作學(xué)習(xí)”是否必要

為了防止合作學(xué)習(xí)流于形式，教師在備課階段就要針對(duì)教學(xué)內(nèi)容想清教學(xué)組織形式，針對(duì)一些合作學(xué)習(xí)的環(huán)節(jié)想清辨明是否存在分組合作的必要，對(duì)于一些可有可無的合作形式，能精減則精減，寧可多安排學(xué)生獨(dú)立思考、探索.特別是對(duì)一些解題活動(dòng)，考慮到數(shù)學(xué)解題步驟之間連續(xù)性、關(guān)鍵步驟的獲得，不宜過多安排合作討論，因?yàn)樵诤献饔懻摃r(shí)，往往是優(yōu)秀學(xué)生展示“破題”方法，其他學(xué)生看似領(lǐng)悟、學(xué)會(huì)，實(shí)質(zhì)上關(guān)鍵步驟的獲得“得來全不費(fèi)功夫”，不利于他們對(duì)解題重點(diǎn)和難點(diǎn)的掌握.而對(duì)于一些“等價(jià)”的探索活動(dòng)，如上文案例1～2中，作三角形、不同一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系就適合分工合作進(jìn)行“實(shí)驗(yàn)”，然后匯總“實(shí)驗(yàn)”結(jié)果，提出猜想并證明性質(zhì).

2.基于教學(xué)效率預(yù)設(shè)“合作學(xué)習(xí)”操作要義

課堂教學(xué)時(shí)間十分寶貴，為了確保一定的教學(xué)容量，我們需要恰當(dāng)運(yùn)用合作互助學(xué)習(xí)的方式來提高教學(xué)效率，上面提供的一些案例都是提高教學(xué)效率的有效活動(dòng).具體來說，針對(duì)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，預(yù)設(shè)合作學(xué)習(xí)的方式、時(shí)間、節(jié)點(diǎn)，并相機(jī)融入教師的指導(dǎo)、追問與點(diǎn)評(píng)，都對(duì)教師的課堂駕馭能力提出較高的要求，這就是所謂“怎么教”的研究課題.當(dāng)然，還可提及弗賴登塔爾倡導(dǎo)的“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造”，對(duì)有些低效的合作學(xué)習(xí)需要?jiǎng)h減，可以用教師的啟發(fā)式講授或指導(dǎo)取而代之，以提高課堂教學(xué)效率.總之，合作學(xué)習(xí)在課堂教學(xué)中需要相機(jī)而行，既要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，又要兼顧課堂教學(xué)效率，在這個(gè)意義上說，教學(xué)也是一種“平衡”的藝術(shù).