去偽呈真：人教版“23.1圖形的旋轉(zhuǎn)”的修訂建議*

☉江蘇省如皋市石莊鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 印冬建

在人教版教材中，“旋轉(zhuǎn)”被安排在九年級(jí)上冊(cè).本章共安排了“圖形的旋轉(zhuǎn)”“中心對(duì)稱”“課題學(xué)習(xí)：圖案設(shè)計(jì)”等三節(jié)教學(xué)內(nèi)容.其中，“23.1圖形的旋轉(zhuǎn)”是本單元的核心內(nèi)容，它是學(xué)生認(rèn)知“特殊的旋轉(zhuǎn)圖形”——中心對(duì)稱圖形的基礎(chǔ).因而，幫助學(xué)生準(zhǔn)確理解旋轉(zhuǎn)的定義、探索旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就成為了教學(xué)的關(guān)鍵.然而，人教版教材“23.1圖形的旋轉(zhuǎn)”中的諸多“瑕疵”不利于上述目標(biāo)的達(dá)成，需要教材再版時(shí)修訂完善.現(xiàn)呈現(xiàn)這些“瑕疵”并談一些修訂建議，希望能為完美教材的建設(shè)提供參考.

一、教材存在的問題

1.探究失真，不利于深度學(xué)習(xí)

教材再現(xiàn)：教材第60頁(yè)“探究”：

在硬紙板上，挖一個(gè)三角形洞，再另挖一個(gè)小洞O作為旋轉(zhuǎn)中心，硬紙板下面放一張白紙，先在紙上描出這個(gè)挖掉的三角形圖案（△ABC），然后圍繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動(dòng)硬紙板，再描出這個(gè)挖掉的三角形（△A′B′C′），移開硬紙板.

△A′B′C′是由△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到的. 線段OA和OA′有什么關(guān)系？∠AOA′和∠BOB′有什么關(guān)系？△ABC和△A′B′C′的形狀和大小有什么關(guān)系？

緊跟“探究”的是對(duì)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的“歸納”：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.

圖1

問題分析：探究中，要求學(xué)生沿著三角形洞的邊沿描出△ABC，待旋轉(zhuǎn)一定角度后，再沿著三角形洞的邊沿描出△A′B′C′.這樣的“描圖”操作，只要有些許生活經(jīng)驗(yàn)的人都懂得“根據(jù)同一個(gè)‘模子’，描出的兩個(gè)圖形應(yīng)該是一樣的”的道理.顯然，接下來(lái)教材給出的三個(gè)問題完全無(wú)視學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，硬是“逼著”學(xué)生沿著“線段—角—三角形”的順序展開性質(zhì)探索，“歸納”三個(gè)結(jié)論.這樣的探究，看似以學(xué)生已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，實(shí)則不然，編者給出的看似合理的“描圖”操作成為學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基本途徑，他們獲得旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)依賴于這種沒有思維深度的操作與觀察，“知識(shí)快餐”的形成讓學(xué)生無(wú)法深刻體會(huì)到旋轉(zhuǎn)過程中的“變與不變”，幾乎每一個(gè)個(gè)體的學(xué)習(xí)都停留在淺表層面上，沒有深度和廣度，也就談不上數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升了.

2.問題不清，不利于理解概念

教材再現(xiàn)：

題1：教材第59頁(yè)練習(xí)3：如圖2，杠桿繞支點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)撬起重物，杠桿的旋轉(zhuǎn)中心在哪里？旋轉(zhuǎn)角是哪個(gè)角？

圖3

圖2

題2：教材第61頁(yè)練習(xí)3：找出圖3中扳手?jǐn)Q螺母時(shí)的旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角.

題3：教材第62頁(yè)習(xí)題23.1第2題：說(shuō)出如圖4所示的壓水機(jī)的旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角.

圖4

問題分析：這些練習(xí)都要求學(xué)生“找（說(shuō)）出圖中的旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角”.對(duì)于圖中的旋轉(zhuǎn)中心，學(xué)生根據(jù)定義是可以順利找出的，這一點(diǎn)筆者沒有異議.關(guān)于旋轉(zhuǎn)角，教材是把一個(gè)平面圖形繞平面內(nèi)某一點(diǎn)O“所轉(zhuǎn)動(dòng)的角”叫作旋轉(zhuǎn)角.顯然，旋轉(zhuǎn)角并不一定就是某一個(gè)能看得見的角，它應(yīng)該是整個(gè)圖形所轉(zhuǎn)動(dòng)的角，可以用具體的數(shù)據(jù)（度數(shù)）來(lái)表示.對(duì)此，多處教材有此陳述：教材第59頁(yè)，結(jié)合圖23.1-1（即圖5）中時(shí)針的旋轉(zhuǎn)給出了“旋轉(zhuǎn)角是60°”，這里的旋轉(zhuǎn)角是一個(gè)角度；教材第59頁(yè)練習(xí)第2題，時(shí)鐘的時(shí)針在不停地旋轉(zhuǎn)，從上午6時(shí)到上午9時(shí)，時(shí)針的旋轉(zhuǎn)角是多少度？問題“時(shí)針的旋轉(zhuǎn)角是多少度”同樣將旋轉(zhuǎn)角定位為一個(gè)度數(shù)；教材第60頁(yè)“旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)”第2條“與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角”，這里說(shuō)的是“等于旋轉(zhuǎn)角”，而不是“是旋轉(zhuǎn)角”.因此，如果說(shuō)我們可以將題1中的杠桿抽象成一條線段用∠AOA′表示旋轉(zhuǎn)角，而題2和題3都是復(fù)雜物體的旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角理應(yīng)是整個(gè)物體轉(zhuǎn)動(dòng)的角，想要讓學(xué)生從整體的角度來(lái)獲得旋轉(zhuǎn)角是不容易的.此外，對(duì)旋轉(zhuǎn)角的分析應(yīng)基于一個(gè)完整的轉(zhuǎn)動(dòng)過程，這在題1和題2的圖中有很好的體現(xiàn)，然而，不知編者作何考慮，題3所呈現(xiàn)的圖片中手壓桿在出水位置，并沒有如另外兩題那樣顯示手壓桿的起始位置.因而，要學(xué)生根據(jù)這樣一幅靜態(tài)的圖片來(lái)明晰變換中的旋轉(zhuǎn)角，顯然是不太可能的.

3.情境不公，不利于普遍發(fā)展

教材再現(xiàn)：教材第62頁(yè)習(xí)題23.1第2題，題目略.

問題分析：本題圖片（圖4）中所展示的是壓水機(jī)出水的情形，壓水機(jī)在我國(guó)農(nóng)村曾經(jīng)被廣泛使用.選用這幅圖，顯然是考慮到了壓水機(jī)曾經(jīng)的“輝煌”，這與“呈現(xiàn)內(nèi)容的素材應(yīng)貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)”的教材編寫要求是基本吻合的.正是由于壓水機(jī)的大范圍、普遍性使用，在最初看到這幅圖片時(shí)，身在農(nóng)村的我覺得還是與教學(xué)內(nèi)容挺匹配的.因?yàn)樯碓谵r(nóng)村，我無(wú)法考證城里的學(xué)生是否認(rèn)識(shí)這個(gè)壓水機(jī)，所以，也就一直持有“城里的孩子是不是認(rèn)識(shí)它”的疑慮.時(shí)至今日，自來(lái)水迅速入戶，壓水機(jī)淡出了農(nóng)村學(xué)生的視野，這時(shí)我已不只是糾結(jié)于城里孩子了，面對(duì)圖4，我不得不追問：農(nóng)村孩子還認(rèn)識(shí)它嗎？暫不論題目的解題要求上存在的問題，僅就壓水機(jī)的使用而言，學(xué)生如果沒有使用的經(jīng)歷也就談不上生活的經(jīng)驗(yàn)了，那么，讓一群沒有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的孩子去“猜想”旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角，與有著豐富生活經(jīng)驗(yàn)的孩子相比，問題情境的設(shè)置顯然是不公平的.筆者認(rèn)為，像這種帶有明顯時(shí)代特征和區(qū)域特征的圖片在教學(xué)中使用是不公平的，一線教師是無(wú)法借助教材推動(dòng)所有學(xué)生發(fā)展的.尤其是人教版教材，其使用范圍大，影響區(qū)域廣，編寫教材時(shí)應(yīng)充分考慮創(chuàng)設(shè)情境的數(shù)學(xué)味和生活味，要選擇那些普適性強(qiáng)、區(qū)域特征弱、認(rèn)可度高的生活情境融入教材，使教材最大程度上實(shí)現(xiàn)其公平教學(xué)的價(jià)值.

圖5

二、修訂建議

1.改編教學(xué)流程，設(shè)置梯度追問

為了改變?cè)薪滩闹刑骄俊笆д妗钡那樾?，筆者建議教材再版時(shí)對(duì)本節(jié)課的教學(xué)流程進(jìn)行改編.筆者才疏學(xué)淺，無(wú)法如編者那樣呈現(xiàn)文、圖、符高度關(guān)聯(lián)的教材語(yǔ)言，這里所呈現(xiàn)的是我心中的探索歷程，僅供參考.

（1）觀察圖形，歸納概念.

利用圖6、圖7，讓學(xué)生感知“旋轉(zhuǎn)是一種有規(guī)則的轉(zhuǎn)動(dòng)”，并在對(duì)“規(guī)則”的追問中，分別歸納圖形的旋轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角的定義.

圖6

圖7

（2）抽象圖形，形成結(jié)論.

基于圖7，進(jìn)行追問：如果我們將時(shí)針的針尖抽象為點(diǎn)P，你能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述一下圖7中的旋轉(zhuǎn)嗎？旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P、P′到旋轉(zhuǎn)中心O的距離有怎樣的關(guān)系？旋轉(zhuǎn)角可以怎么表示？如果我們將時(shí)針抽象為線段OP，圖7中的旋轉(zhuǎn)又可以怎樣描述？OP與OP′有怎樣的關(guān)系？進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生歸納結(jié)論：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.

（3）遞進(jìn)作圖，探索性質(zhì).

學(xué)生活動(dòng)：按下列要求分別作圖：

①作出點(diǎn)A繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)60°后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′；

②作出線段AB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)80°后的圖形；

③作△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)任意角度（說(shuō)明：角度自己確定）后的圖形.

在學(xué)生給出了③的結(jié)果（圖1）后，進(jìn)行追問：圖1中的兩個(gè)三角形有怎樣的關(guān)系？為什么？然后便是對(duì)全等緣由的詳細(xì)分析.學(xué)生首先應(yīng)利用（2）中歸納的結(jié)論證明△AOB≌△A′OB′，△BOC≌△B′OC′，△AOC≌△A′OC′，再?gòu)倪@三對(duì)全等三角形中提取出能證明△ABC≌△A′B′C′的條件，從而得出結(jié)論：旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.

改編說(shuō)明：與教材相比，筆者設(shè)計(jì)的教學(xué)活動(dòng)讓學(xué)生在已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)之上獲得新知，與學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)狀和發(fā)展規(guī)律是較為契合的.筆者對(duì)教學(xué)流程的改編，是從教材給出的鐘面和風(fēng)車這兩幅圖開始的.對(duì)這兩幅圖的抽象和追問，意在讓學(xué)生體會(huì)“旋轉(zhuǎn)是‘有規(guī)則’的圖形變換”，并歸納出這種“規(guī)則”，從而形成旋轉(zhuǎn)的定義.由于在小學(xué)時(shí)學(xué)生已經(jīng)積累了一定的作圖經(jīng)驗(yàn)，所以在學(xué)生獲得了“對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等”和“對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角”的結(jié)論后，筆者安排學(xué)生按照“點(diǎn)→線段→三角形”的順序作圖并探索旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，這與學(xué)生積累的平移、翻折的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)是高度契合的.這樣改編，讓學(xué)生立足舊知學(xué)新知，由易到難展開深度探究，與原教材的流程編排及“探究”設(shè)計(jì)相比，這里對(duì)原教材中“拉著三角板轉(zhuǎn)動(dòng)作圖探索”經(jīng)歷的“只發(fā)現(xiàn)結(jié)論，不證明結(jié)論”的做法進(jìn)行了提升：證明△ABC≌△A′B′C′，不僅及時(shí)鞏固了新學(xué)結(jié)論，還明晰了“旋轉(zhuǎn)前、后的兩個(gè)三角形全等”的真正緣由.其作用，并不止于旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的獲得，還應(yīng)在“學(xué)生不僅知其然，且知其所以然”的意蘊(yùn)外，向?qū)W生傳遞“述之有據(jù)，言之有理”的數(shù)學(xué)特有的價(jià)值理念.

2.調(diào)整練習(xí)問題，明確解答方向

關(guān)于上文中所述的教材練習(xí)設(shè)置問題，筆者認(rèn)為可以調(diào)整原練習(xí)中的問題，將其由“找（說(shuō)）出圖中的旋轉(zhuǎn)角”改為：請(qǐng)?jiān)趫D中畫出一個(gè)能表示旋轉(zhuǎn)角的角.兩者相比，新的表述指向更為明確.以圖2為例，學(xué)生在解答“找（說(shuō)）出圖中的旋轉(zhuǎn)角”時(shí)，很多人認(rèn)為“旋轉(zhuǎn)角是∠AOA′與∠BOB′”，這樣的表述很容易讓學(xué)生誤認(rèn)為“一次旋轉(zhuǎn)中有兩個(gè)甚至無(wú)數(shù)個(gè)旋轉(zhuǎn)角”，這顯然與旋轉(zhuǎn)角的定義是偏離的；對(duì)于新問題，用“∠AOA′、∠BOB′都可以表示旋轉(zhuǎn)角”來(lái)作答是完全可行的.這樣的解題要求調(diào)整，不僅有利于學(xué)生深入理解“轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫旋轉(zhuǎn)角”，還能讓他們真正領(lǐng)會(huì)到“旋轉(zhuǎn)過程中，旋轉(zhuǎn)前、后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的變換規(guī)律即為整個(gè)圖形的變換規(guī)律”的旋轉(zhuǎn)“事實(shí)”，從而為接下來(lái)深入認(rèn)知旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)奠定了重要的基礎(chǔ).此外，關(guān)于旋轉(zhuǎn)角的教學(xué)，筆者還有一個(gè)建議：在明確了“轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫作旋轉(zhuǎn)角”和對(duì)應(yīng)點(diǎn)的定義后，結(jié)合圖7明確“我們可以用對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角來(lái)表示旋轉(zhuǎn)角，即∠POP′”.不知當(dāng)否，還請(qǐng)編者斟酌.

3.改變問題情境，打造公平教材

打造公平教材，應(yīng)是教材編者的普遍追求.因而，對(duì)于筆者在上面所說(shuō)的問題的情境設(shè)置問題，我們同樣應(yīng)進(jìn)行針對(duì)性調(diào)整.具體可以有兩種調(diào)整方法：第一種是不考慮壓水機(jī)的使用情況所帶來(lái)的認(rèn)知差異，增加有助于學(xué)生理解圖形旋轉(zhuǎn)的問題情境，也就是如圖2和圖3那樣，用虛線畫出壓水機(jī)手壓桿的起始位置，或者展示手壓桿的原始位置和出水位置的兩幅圖片，這樣可以將因不熟悉壓水機(jī)工作原理所帶來(lái)的學(xué)習(xí)偏差最大限度縮?。坏诙N是將圖4換為學(xué)生所熟悉的場(chǎng)境圖片，如一只腳轉(zhuǎn)動(dòng)的圓規(guī)、轉(zhuǎn)動(dòng)的水龍頭等.至于新圖的使用，筆者同樣建議呈現(xiàn)出旋轉(zhuǎn)的起始位置和終極位置，一般學(xué)生能感知圖形旋轉(zhuǎn)的過程，為準(zhǔn)確確定旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)中心掃清障礙.

三、寫在最后

呈現(xiàn)完美的教材，既是教材編者的追求，也是一線教師的期待.然而，由于教材編寫、出版、應(yīng)用及修訂需要一個(gè)較長(zhǎng)的時(shí)間周期，這在很大程度上讓我們所使用的教材很難做到與時(shí)代發(fā)展完全同步.那么，在教材無(wú)法“同步”的情況下，一線教師該如何做呢？筆者認(rèn)為，除了如本文這樣“大聲疾呼”，更多的應(yīng)是腳踏實(shí)地創(chuàng)造性使用教材，即將對(duì)教學(xué)不適的教材內(nèi)容進(jìn)行本土化重組，設(shè)計(jì)出與本班學(xué)生發(fā)展同步的探究情境與教學(xué)流程，為學(xué)生獲取“四基”提供一切便利.當(dāng)然，這種重組應(yīng)建立在對(duì)原教材充分尊重的基礎(chǔ)之上，畢竟我們對(duì)教材的理解是局部且有限的，教材中所存在的這些“瑕疵”是不足以撼動(dòng)教材的工具性地位的.教材的教學(xué)化，應(yīng)基于教材，活用教材.以上，僅為個(gè)人在教材使用過程中的體會(huì)與感悟，所提建議未必準(zhǔn)確，不當(dāng)之處，懇請(qǐng)同行專家、教材編者批評(píng)指正.F