在概念內(nèi)涵發(fā)展中提升學(xué)生的備考能力
——以圓和圓的位置關(guān)系為例

☉江蘇省睢寧縣第二中學(xué) 朱 振

學(xué)生進(jìn)入初三，中考備考隨之而來，在初三下學(xué)期數(shù)學(xué)學(xué)科基本上都是復(fù)習(xí)了.為了科學(xué)備考，讓學(xué)生進(jìn)一步明確考向，學(xué)校近期舉行了一次關(guān)于圖形與幾何的公開課，經(jīng)過集體備課后讓青年教師曬課，再集體打磨，讓我校初三數(shù)學(xué)備課組形成了合力.

一、分析近年來數(shù)學(xué)試卷的特點(diǎn)，研究課堂教學(xué)的程序

集體備課時(shí)，我們帶來了近三年的中考數(shù)學(xué)試卷.展開這些中考試卷不難發(fā)現(xiàn)，試題重視對(duì)學(xué)生發(fā)展必需的核心知識(shí)、基本技能的考查的同時(shí)，還注重對(duì)數(shù)學(xué)思考、解決問題能力和數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的考查.其中，圖形與幾何方面的綜合考題植根于圓的性質(zhì)等知識(shí)的整合，以及平面幾何圖形的有關(guān)計(jì)算問題等方面.為此，本節(jié)內(nèi)容選定為圓和圓的位置關(guān)系，從學(xué)習(xí)目標(biāo)、知識(shí)再現(xiàn)和試題突破等環(huán)節(jié)進(jìn)行教學(xué)，由激情四射的青年教師劉老師曬課.

二、課堂實(shí)錄

1.教師通過電子白板向?qū)W生展示學(xué)習(xí)的三維目標(biāo)并解讀

（1）知識(shí)目標(biāo)：通過相交兩圓、相切兩圓的復(fù)習(xí)，發(fā)展學(xué)生對(duì)概念與性質(zhì)的認(rèn)知能力；

（2）能力目標(biāo)：通過相交兩圓、相切兩圓的性質(zhì)探究，提升學(xué)生的讀圖能力和動(dòng)手操作能力；

（3）情感與價(jià)值觀目標(biāo)：體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探究與創(chuàng)新，感受中考數(shù)學(xué)命題蘊(yùn)含著科學(xué)的數(shù)學(xué)思想.

2.通過圖像展示，讓學(xué)生明確兩個(gè)圓的位置關(guān)系的概念，并進(jìn)行展示

［電子白板展示］在圖1中，⊙O與⊙O′是什么位置關(guān)系？

⊙O與⊙O′的圓心連線OO′與公共弦AB是什么關(guān)系？

圖1

學(xué)生在紙上用圓規(guī)畫出兩個(gè)圓，尋找A、B兩點(diǎn)的關(guān)系.然后由生甲進(jìn)行展示：

在圖中，⊙O與⊙O′的位置是相交關(guān)系；⊙O與⊙O′的圓心連線OO′與公共弦AB是垂直關(guān)系.如圖2.

師：建立下列概念并展示相關(guān)知識(shí)體系網(wǎng)絡(luò)（知識(shí)回顧），在學(xué)生再次重溫知識(shí)體系之后思考兩個(gè)圓相切的性質(zhì)規(guī)律并進(jìn)行討論交流.

圖2

圖3

學(xué)生分組討論并交流“當(dāng)兩個(gè)圓相切時(shí)，切點(diǎn)一定在圓心的連線上”的證明過程.

師：通過上面的一些關(guān)系，你們可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圓相交或相切時(shí)一般能作哪些輔助線？

（學(xué)生舉手回答）

生乙：兩圓相交時(shí)常常作的輔助線有：（1）兩圓的公共弦，（2）兩圓圓心的連線，（3）創(chuàng)設(shè)由半徑、公共弦的一半組成的直角三角形；兩圓相切時(shí)常引輔助線有：（1）公共切線，（2）兩圓圓心的連線，（3）創(chuàng)設(shè)由半徑的延長線、公共弦在內(nèi)的直角三角形等.

3.通過電子白板展示例題

例題：如圖4，用半徑R=30mm、r=20mm的玻璃球測量一內(nèi)直徑為d的圓柱形筆筒.測得玻璃球頂點(diǎn)與圓柱形筆筒口所在平面的距離分 別為a=20mm，b=60mm，則圓柱形筆筒的內(nèi)直徑d是多少？

圖4

設(shè)計(jì)目的：通過身邊的常見文具創(chuàng)設(shè)問題情境，有利于激發(fā)學(xué)生探究的動(dòng)力.本例題旨在讓學(xué)生認(rèn)識(shí)兩圓相交常常作的第（3）種輔助線，“創(chuàng)設(shè)由半徑延長線、公共弦在內(nèi)的直角三角形”.再用體現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)思想的勾股定理來進(jìn)行運(yùn)算推理，從而達(dá)成幫助學(xué)生數(shù)學(xué)建模的目的.在課堂上，本例題是在教師的引導(dǎo)后學(xué)生自主探究完成的.最后由學(xué)生通過投影展示結(jié)果：

在圖中作輔助線，如圖5，創(chuàng)設(shè)直角△O1O2A.

則斜邊O1O2=R+r=50（mm），直角邊O2A=r+b-a-R=30（mm）.

根據(jù)勾股定理，另一條直角邊O1A=40mm.

故d=40+R+r=90（cm）.

圖5

3.通過導(dǎo)學(xué)案分組做課堂練習(xí)

習(xí)題1：（江蘇南京）如圖6，⊙O1、⊙O2的圓心O1、O2均在直線l上，⊙O1的半徑為2cm，⊙O2的半徑為3cm，O1O2=8cm.圓O1以1cm/s的速度沿直線l向右運(yùn)動(dòng)，7s后停止運(yùn)動(dòng)，在此過程中，圓O1與圓O2沒有出現(xiàn)的位置關(guān)系是（ ）.

A.外切 B.相交 C.內(nèi)切 D.內(nèi)含

圖6

選題目的：旨在讓學(xué)生理解兩個(gè)圓的關(guān)系：外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含.而這些關(guān)系需要學(xué)生通過兩個(gè)圓心的距離進(jìn)行判斷.

習(xí)題2：（江蘇南通）如圖7，三個(gè)半圓依次相外切，它們的圓心都在x軸上，并與直線相切.設(shè)三個(gè)半圓O1、O2和O3的半徑依次為r1、r2和r3，則當(dāng)r1=2時(shí)，r3是多少？

選題目的：旨在讓學(xué)生靈活運(yùn)用相切圓和圓的相切直線的關(guān)系，通過相似三角形或勾股定理解決數(shù)學(xué)問題.試題涵蓋了一次函數(shù)的性質(zhì)、相切圓的性質(zhì)，讓學(xué)生通過一次函數(shù)的解析式得出直線與x軸的夾角是30°，可以通過作輔助線“三個(gè)圓與直線的切點(diǎn)分別與各圓心的連線”，組成三個(gè)直角三角形，再進(jìn)行推理計(jì)算.

圖7

圖8

習(xí)題3：（江蘇泰安）如圖8，AB、CD是⊙O的兩條互相垂直的直徑，點(diǎn)O1、O2、O3、O4分別是OA、OB、OC、OD的中點(diǎn)，若⊙O的半徑為2，則陰影部分的面積為（ ）.

A.8 B.4 C.4π+4 D.4π-4

選題目的：通過圓與圓相交的位置關(guān)系，和相關(guān)扇形面積的計(jì)算，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)換思想，培養(yǎng)學(xué)生能夠根據(jù)已知條件推斷正方形內(nèi)空白面積的建模能力.由扇形COB中兩空白面積相等，思考陰影部分面積.在建模過程中，要強(qiáng)化輔助線的作法，讓學(xué)生在解題過程中熟悉如圖9所示的方法.

圖9

三、課后打磨

本課是圓和圓的位置關(guān)系復(fù)習(xí)課.在教學(xué)過程中，教師注重對(duì)學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的潛力和自信心的挖掘，培養(yǎng)學(xué)生合作交流的意識(shí)，以及獨(dú)立思考的習(xí)慣，在針對(duì)性較強(qiáng)的中考試題的引領(lǐng)下，讓學(xué)生瞄準(zhǔn)中考考向，是一節(jié)符合學(xué)生心理發(fā)展的示范課.

教師能夠及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題、引導(dǎo)學(xué)生解決問題，從而進(jìn)行正向評(píng)價(jià)，尤其是對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的獨(dú)特的想法或結(jié)論給予鼓勵(lì)性評(píng)價(jià)，讓學(xué)生信心滿滿，積極參與探究活動(dòng).

本節(jié)課是建立在激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的基礎(chǔ)之上的，以促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展為目的，更多體現(xiàn)新課程的三維目標(biāo).

本課美中不足的是所選試題過于經(jīng)典，都來自5年前的江蘇省試題，而近年來的試題學(xué)生基本上已經(jīng)練習(xí)過，建議備課組在近年來江蘇省之外的中考試題中選取，這樣更能拓寬學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)科素養(yǎng).F