以靜制動(dòng)，動(dòng)靜結(jié)合，合理化歸，解決問(wèn)題──“動(dòng)圓問(wèn)題”教學(xué)策略的實(shí)踐與探究

☉江蘇省張家港市梁豐初級(jí)中學(xué) 許凌燕

靜非不動(dòng)的意思，靜和動(dòng)只是相對(duì)而言.“動(dòng)”中求“靜”，“動(dòng)”“靜”結(jié)合，是解決幾何圖形中有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的常用方法.“動(dòng)圓問(wèn)題”作為中考的常見題型，是一個(gè)難點(diǎn)，題目的信息量較大，圖形結(jié)構(gòu)復(fù)雜，需要結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想、空間想象和化歸思想來(lái)研究圖形的變化，其實(shí)數(shù)學(xué)中有關(guān)“動(dòng)態(tài)”問(wèn)題都有通用的解決方法：以“靜”制“動(dòng)”，找到“臨界狀態(tài)”，利用靜態(tài)圖形，尋找到合理的代數(shù)關(guān)系式、數(shù)量關(guān)系解決問(wèn)題.基于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題在中考中的地位，著眼于中考命題改革的方向，根據(jù)學(xué)生對(duì)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的掌握和學(xué)習(xí)情況，筆者精心準(zhǔn)備了一節(jié)圓的專題復(fù)習(xí)課“動(dòng)圓問(wèn)題”，教學(xué)重點(diǎn)是遇到動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)如何以“靜”制“動(dòng)”，對(duì)“動(dòng)圓問(wèn)題”在思想方法上進(jìn)行總結(jié)提煉，主要圍繞探究直線（線段、射線）和圓的位置關(guān)系中的相切，揭示問(wèn)題的本質(zhì)，讓學(xué)生在探究過(guò)程中領(lǐng)悟解決此類問(wèn)題的一般方法.

本節(jié)“動(dòng)圓問(wèn)題”的專題課，整體分為三個(gè)模塊，逐步遞進(jìn)，螺旋上升.課堂教學(xué)主要圍繞學(xué)生個(gè)人展評(píng)、自主探究和小組合作交流等方式展開.

一、引例探究，初步領(lǐng)悟

引例是筆者自己編制的題目，難度不大，但是涵蓋了直線（線段、射線）和圓的位置關(guān)系中相切的動(dòng)圓問(wèn)題的三類基本題型.基于學(xué)校的“自主展評(píng)式”課堂教學(xué)模式，首先布置學(xué)生回家預(yù)習(xí)引例部分.新課伊始，由三名學(xué)生依次當(dāng)起“小老師”，手持教鞭，上臺(tái)講解（利用實(shí)物投影儀投影解題過(guò)程）自己的思路.

引例：如圖1，∠ACB=30°，D是邊AC上一點(diǎn)，CD=10cm.

（1）以點(diǎn)D為圓心、2cm為半徑作⊙D，若⊙D以1cm/秒的速度沿直線AC向左運(yùn)動(dòng)，

①運(yùn)動(dòng)多少秒后，⊙D與邊CB相切？

②運(yùn)動(dòng)多少秒后，⊙D與直線CB相切？

（2）以點(diǎn)D為圓心、1cm為半徑作⊙D，若⊙D的半徑以1cm/秒的速度擴(kuò)大，問(wèn)：經(jīng)過(guò)多少秒后，⊙D與邊CB相切？

圖1

（3）以點(diǎn)D為圓心、1cm為半徑作⊙D，若⊙D的半徑以1cm/秒的速度擴(kuò)大，同時(shí)⊙D以2cm/秒的速度沿直線AC向左運(yùn)動(dòng)，問(wèn)：經(jīng)過(guò)多少秒后，⊙D與邊CB相切？

（1）①學(xué)生展示：

生1：將圓心D向左運(yùn)動(dòng)直至⊙D1和射線CB相切，假設(shè)切點(diǎn)為E1（如圖2）.

在Rt△CD1E1中，D1E1=2，sin ∠E1CD1=，所以CD1=4，DD1=6，所以t=6s.

圖2

圖3

（1）②學(xué)生展示：

第②問(wèn)是和直線CB相切，①是情況之一，情況之二是圓心D繼續(xù)往左運(yùn)動(dòng)越過(guò)點(diǎn)C直至⊙D2與直線BC相切，假設(shè)切點(diǎn)為E2（如圖3）.

在Rt△CD2E2中，D2E2=2，sin∠E2CD2=，所以CD2=4，DD2=14，所以，t=14s.

綜上所述，t=6s或t=14s時(shí)，⊙D與邊CB相切.

師：還有“小老師”來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題嗎？

生2：我開始時(shí)第②問(wèn)不會(huì)，聽了他的解答，我發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D1和D2關(guān)于C點(diǎn)對(duì)稱，這樣算起來(lái)更容易.

師：這位同學(xué)說(shuō)得非常好，我們要善于利用圖形的性質(zhì).

（2）學(xué)生展示：

生3：⊙D的位置不動(dòng)，半徑逐漸變大至與邊CB相切，設(shè)切點(diǎn)為F（如圖4）.

在Rt△CDF中，CD=10，∠ACB=30°，所以ED=CD·sin30°=5，從而t=4s.

（3）學(xué)生展示：

生4：當(dāng)⊙D向左運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，假設(shè)圓心D運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)D3時(shí)，⊙D3與邊CB相切，設(shè)切點(diǎn)為G（如圖5）.

圖4

圖5

在Rt△CD3G中，CD3=10-2t，D3G=1+t，∠ACB=30°，所以10-2t=2（1+t），解得t=2s.

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖：引例是將圓的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題放置在幾何圖形——角的背景下，研究動(dòng)圓和射線、直線相切的位置關(guān)系，由學(xué)生講解，將動(dòng)圓的實(shí)質(zhì)性問(wèn)題做了剖析和歸納.圓的動(dòng)態(tài)過(guò)程可以分為三類，決定元素是圓心和半徑，一位置變，大小不變；二位置不變，大小變；三位置變，大小也變.解決問(wèn)題的策略是：利用勾股定理、三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，建立方程或數(shù)量關(guān)系.輔助工具：圖像，主要構(gòu)造出臨界位置時(shí)的靜態(tài)圖像，其實(shí)也是運(yùn)動(dòng)過(guò)程分解圖.思想方法：方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想.和學(xué)生一起歸納梳理的過(guò)程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)對(duì)于相切問(wèn)題，最后的靜態(tài)圖像都是圍繞以切點(diǎn)和圓心為端點(diǎn)的線段構(gòu)成的直角三角形來(lái)展開研究的，這點(diǎn)對(duì)于處于摸索階段的學(xué)生很有幫助，也是“點(diǎn)睛”之筆.以“靜”制“動(dòng)”，找到“臨界狀態(tài)”，利用靜態(tài)圖形中的數(shù)量關(guān)系解決問(wèn)題.

二、典題實(shí)踐，自主提升

進(jìn)行了引例探究教學(xué)后，進(jìn)入教學(xué)實(shí)踐環(huán)節(jié)，筆者選取了一道“動(dòng)圓和菱形結(jié)合在一起”的中考題進(jìn)行改編，原題的第（2）問(wèn)為：“以P為圓心、PQ的長(zhǎng)為半徑作圓，請(qǐng)問(wèn)：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，t為怎樣的值時(shí)，⊙P與邊BC分別有1個(gè)公共點(diǎn)和2個(gè)公共點(diǎn)？”顯然與本節(jié)課的相切主題不太契合，故做了修改：以P為圓心、PQ的長(zhǎng)為半徑作圓，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，t為怎樣的值時(shí)，⊙P與邊BC第一次有1個(gè)公共點(diǎn)？同時(shí)本題采用的教學(xué)形式是學(xué)生自主探究，考查學(xué)生能否將前面總結(jié)的方法學(xué)以致用，進(jìn)一步提升了學(xué)生的思維能力.

例1如圖6，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2cm，∠DAB=60°.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以cm/s的速度，沿AC向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動(dòng)；與此同時(shí)，點(diǎn)Q也從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度，沿射線AB作勻速運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P、Q都停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.

圖6

（1）當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)A、C時(shí)，請(qǐng)說(shuō)明PQ∥BC；

（2）以點(diǎn)P為圓心、PQ的長(zhǎng)為半徑作圓，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，t為怎樣的值時(shí)，⊙P與邊BC第一次有1個(gè)公共點(diǎn)？

對(duì)于此題的（1）這里不分析，學(xué)生在思考了一定時(shí)間以后，上臺(tái)展示自己的探索成果，生5將圖像投影出來(lái)，出現(xiàn)了意想不到的狀況，她畫的⊙P此時(shí)與邊BC相切，說(shuō)明她領(lǐng)悟到題中將“⊙P與邊BC第一次有1個(gè)公共點(diǎn)”轉(zhuǎn)為“⊙P邊BC相切”，但是她呈現(xiàn)的圖像⊙P與邊AB也相切了，生6馬上站起來(lái)否定了生5的結(jié)論，并闡述了他的觀點(diǎn)：

生6：若⊙P與邊AB相切，則PQ⊥AB，由第（1）問(wèn)的結(jié)論知道PQ∥BC，則可以得出∠AQP=∠ABC=90°，而由菱形的性質(zhì)可知∠ABC=120°，所以⊙P與邊AB不相切.圖像應(yīng)該改為這樣（如圖7）.易證△APQ為等腰三角形，所以AQ=PQ=r=t，CP=2-t. 在Rt△CPR中，∠PCR=30°，所以PR=t.再利用PR=PQ，可得t=t，解得t=4-6.

圖7

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)本題的研究，讓學(xué)生在較為復(fù)雜的幾何背景下，自主探究“動(dòng)圓問(wèn)題”.學(xué)生初探時(shí)只研究出⊙P與邊BC相切，沒(méi)有研究清楚⊙P與邊AB的位置關(guān)系，這是正?，F(xiàn)象，學(xué)生對(duì)于運(yùn)動(dòng)圖像的整體分析和把握能力還是有欠缺的.通過(guò)此題，學(xué)生發(fā)現(xiàn)動(dòng)態(tài)問(wèn)題的輔助工具圖形的重要性，而且體會(huì)到能準(zhǔn)確、恰當(dāng)、合理、簡(jiǎn)潔地畫出臨界的靜態(tài)圖像的重要性.

三、拓展延伸，活學(xué)活用

拓展延伸環(huán)節(jié)，筆者提高了題目的難度，也是采用的中考題改編題，主要考查在平面直角坐標(biāo)系背景下的動(dòng)圓和矩形相結(jié)合問(wèn)題，題中切線也發(fā)生了變化，對(duì)學(xué)生的分類討論、空間想象、直覺(jué)思維，提出了更高的要求，同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)利用好圖形的特性，如特殊角、特殊圖形、圖形的特殊位置等，在解決動(dòng)圓問(wèn)題中的作用.

例2如圖8，點(diǎn)A（-5，0）、B（-3，0），點(diǎn)C在y軸的正半軸上 ，∠CBO=45°，CD ∥AB，∠CDA=90°.點(diǎn)P從點(diǎn)Q（4，0）出發(fā)，沿x軸向左以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.以點(diǎn)P為圓心、PC的長(zhǎng)為半徑作⊙P，⊙P的大小隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化.當(dāng)⊙P與四邊形ABCD的邊（或邊所在的直線）相切時(shí)，求t的值.

師：在變化的過(guò)程中，⊙P先與四邊形ABCD的哪條邊相切？

生：邊DC（邊BC）.

師：究竟是哪一條呢？邊DC、邊BC與⊙P都有一個(gè)公共點(diǎn)C，則點(diǎn)C就是切點(diǎn)，半徑CP就是與切線垂直的半徑，那么，你們看看在點(diǎn)P從點(diǎn)Q（4，0）出發(fā)的過(guò)程中，半徑CP和誰(shuí)先垂直呢？下面請(qǐng)六個(gè)小組分別進(jìn)行討論，給出這道題的完整答案.

圖8

……

小組1代表：我們小組研究的結(jié)果是先和邊BC相切，再和邊CD相切，最后與邊AD相切.

①⊙P與邊BC相切時(shí)（如圖9），∠PCB=90°，則∠PCO=45°，OP=3，可得t=1.

圖9

圖10

②⊙P與邊CD相切時(shí)（如圖10），PC⊥CD，P和O重合，t=4.

③⊙P與邊AD相切時(shí)（如圖11），AP=PC，（9-t）2=（t-4）2+32，可得t=5.6.

綜上，t的值為1、4或5.6.

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖：本拓展研究題有難度，大多數(shù)學(xué)生在自主探究時(shí)會(huì)存在一定的困難，故先由教師提出問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生合理探究，再采用小組合作的方式探究完成.通過(guò)本題的研究，學(xué)生的分類討論意識(shí)更強(qiáng)，對(duì)于如何分類更加清楚了，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、邏輯推理能力和分析問(wèn)題并解決問(wèn)題的能力有了很大的提升.

圖11

四、領(lǐng)悟方法，反思策略

筆者通過(guò)這節(jié)課的設(shè)計(jì)和課堂教學(xué)實(shí)踐，厘清了“動(dòng)圓問(wèn)題”的有關(guān)教學(xué)策略.“動(dòng)圓問(wèn)題”作為動(dòng)態(tài)幾何題的一個(gè)點(diǎn)，表象是滲透運(yùn)動(dòng)變化的試題，探究其實(shí)質(zhì)，揭示了“一般”和“特殊”、“運(yùn)動(dòng)”和“靜止”的內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)課堂實(shí)踐，讓學(xué)生體會(huì)它們之間的相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，知道如何讓運(yùn)動(dòng)著的點(diǎn)在特殊位置或特殊時(shí)刻靜止下來(lái)，達(dá)到“以不變應(yīng)萬(wàn)變”之效.在中考中，壓軸題的創(chuàng)新性越發(fā)顯著，“動(dòng)圓問(wèn)題”也成為創(chuàng)新題型的重要對(duì)象，對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力提出了更高的要求.所以更需要一線教師通過(guò)教學(xué)實(shí)踐，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、想象、推理等探究過(guò)程，善于發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以及其中包含的一些特殊圖形的幾何特征，化動(dòng)為靜，抓住臨界的狀態(tài)，從一般到特殊，合理作圖，理性分類，解決問(wèn)題.

1.以動(dòng)制靜，尋求突破

學(xué)生的困惑在于尋找“動(dòng)”中之“靜”，不能抓住“分界點(diǎn)”畫出臨界圖像加以剖析.所以在“動(dòng)態(tài)”問(wèn)題中，引導(dǎo)學(xué)生尋找有價(jià)值的“靜態(tài)元素”顯得尤為重要.結(jié)合教師引導(dǎo)，學(xué)生自主探究、合作交流等不同的途徑，讓學(xué)生經(jīng)歷認(rèn)知的沖突，經(jīng)歷想象、推理、動(dòng)手實(shí)踐的過(guò)程，將外在的理解轉(zhuǎn)化為內(nèi)在的領(lǐng)悟，突破自我，實(shí)現(xiàn)“動(dòng)態(tài)”問(wèn)題探究的第一個(gè)突破口——作出臨界圖像.

2.合理分析，用好背景

幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題，必定會(huì)置于一定的特殊幾何背景（特殊角、特殊四邊形、圖形的特殊位置關(guān)系）中，在例題的設(shè)置上，筆者從角、菱形、矩形到平面直角坐標(biāo)系，引導(dǎo)學(xué)生善于利用好特殊幾何圖形的性質(zhì)和位置關(guān)系，如切線和過(guò)切點(diǎn)的半徑形成的直角三角形等，建立數(shù)量關(guān)系，從而解決問(wèn)題.

3.領(lǐng)悟方法，感受魅力

本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程中，筆者注重引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想，從“形”的直觀切入，到“數(shù)”的理性分析，體驗(yàn)了用平時(shí)所學(xué)的坐標(biāo)、方程、解直角三角形及三角函數(shù)等知識(shí)服務(wù)于動(dòng)圓和直線的相切問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷了“幾何問(wèn)題”到“代數(shù)問(wèn)題”再回歸“幾何問(wèn)題”的轉(zhuǎn)化過(guò)程，感知轉(zhuǎn)化的具體應(yīng)用.追悟方法，原來(lái)數(shù)形結(jié)合就是“數(shù)”和“形”雙向轉(zhuǎn)化，思維在兩者之間相互切換，尋求突破信息，使得整個(gè)解題的過(guò)程呈螺旋式上升，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)思維的轉(zhuǎn)換能力.

4.適度拓展，彰顯本質(zhì)

通過(guò)題目適度的對(duì)比（如引例（1）中邊BC和直線BC）、追問(wèn)、拓展等，激發(fā)了學(xué)生的求知欲，拓寬了學(xué)生的視野，豐富了學(xué)生的認(rèn)知，引導(dǎo)學(xué)生追尋“動(dòng)圓問(wèn)題”的本質(zhì)，開啟思維探究的旅程.只有感知、領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，才能自如地運(yùn)用好所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，才能把握好數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，才能領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的魅力，促進(jìn)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的提升.

毋庸諱言，通過(guò)對(duì)“動(dòng)圓問(wèn)題”的探究，運(yùn)用“以靜制動(dòng)”的教學(xué)思想，將動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)問(wèn)題有效轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問(wèn)題進(jìn)行處理，不失為破解動(dòng)態(tài)問(wèn)題的關(guān)鍵途徑，對(duì)學(xué)生今后繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，尤其是逐步樹立方程思想、分類討論思想、數(shù)學(xué)結(jié)合思想起著良好的鋪墊作用，同時(shí)為學(xué)生高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，特別是動(dòng)態(tài)幾何題的學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).