數(shù)學(xué)實驗工具的設(shè)計與實驗教學(xué)
——以“多功能套尺”的設(shè)計與實驗教學(xué)為例

☉江蘇省睢寧縣高級中學(xué)初中部 王翠玲

☉江蘇省泰州市教育局教學(xué)研究室 錢德春

數(shù)學(xué)實驗是學(xué)生通過動手、動腦“做”數(shù)學(xué)的一種學(xué)習(xí)活動，它以學(xué)生為主體，以學(xué)具、實物模型或計算機等為工具，以實際操作為行為特征，以探究未知結(jié)論、驗證感知結(jié)論、幫助理解結(jié)論為目的，它是一種以實驗為媒介的數(shù)學(xué)思維活動.實驗工具是數(shù)學(xué)實驗的重要載體.筆者在教學(xué)實踐中設(shè)計了數(shù)學(xué)實驗工具“多功能套尺”，獲得了2016年江蘇省數(shù)學(xué)實驗創(chuàng)新大賽一等獎.本文以“多功能套尺”為例，談?wù)劤踔袛?shù)學(xué)實驗工具設(shè)計在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，以及由此對教與學(xué)產(chǎn)生的價值.

一、多功能套尺的設(shè)計緣由

邊與角及它們之間的關(guān)系是三角形、四邊形主要學(xué)習(xí)內(nèi)容.這些知識形成的途徑多樣，一個有效的途徑是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，經(jīng)歷動手操作、觀察、猜想、比較等過程體驗、感悟、理解、掌握和內(nèi)化.多年的教學(xué)實踐，讓筆者不禁思考：能不能制作一種實驗工具，通過操作，更直觀地發(fā)現(xiàn)和理解圖形、邊、角及它們之間的關(guān)系呢？筆者用學(xué)生身邊唾手可得的硬紙板構(gòu)思、設(shè)計了“多功能套尺”.

二、多功能套尺的結(jié)構(gòu)與操作

1.多功能套尺的結(jié)構(gòu)

多功能套尺將刻度尺與量角器融合為一體，是一套自帶刻度的多變工具.

（1）構(gòu)成：多功能套尺由一把固定標(biāo)尺、一把固定角尺和若干把滑動角尺組合而成（如圖1）.角尺是量角器和刻度尺的合體，量角器的零刻度線與刻度尺的刻度線重合，量角器的中心與刻度尺的零刻度重合（這是獲得準(zhǔn)確的實驗數(shù)據(jù)的關(guān)鍵保障）；每一把角尺都可以靈活拆卸.

（2）分類：根據(jù)角尺能否滑動，角尺分為固定角尺（簡稱“定尺”）和滑動角尺（簡稱“動尺”）.

圖1

2.多功能套尺的操作

滑動和旋轉(zhuǎn)是多功能套尺的主要操作方式.借助多功能套尺旋轉(zhuǎn)或滑動構(gòu)造相應(yīng)模型，探究三角形或四邊形所蘊含的邊或角之間的關(guān)系及全等變換、相似變換等.

在定尺的刻度線上有滑槽，動尺可以根據(jù)實驗需要在滑槽內(nèi)滑動，通過滑動動尺，可以改變標(biāo)尺的示數(shù)，以調(diào)整圖形邊的大小；同時，每一把角尺都可以通過旋轉(zhuǎn)，改變其與其他尺子的夾角，從而調(diào)整圖形角的大小.

三、多功能套尺的功能與應(yīng)用

以與三角形有關(guān)的教學(xué)為例.利用多功能套尺可以進行與一般三角形、等腰三角形、直角三角形、相似三角形或全等三角形等相關(guān)知識的實驗探究.根據(jù)數(shù)學(xué)實驗?zāi)康牡牟煌?，其實驗可以分為三種類型：探究型、驗證型和深化理解型.

1.探究未知結(jié)論

實驗1：利用多功能套尺探究三角形全等的條件.

實驗?zāi)康模和ㄟ^實驗，探究兩個三角形全等所需要的條件.

實驗準(zhǔn)備：每名學(xué)生準(zhǔn)備一副多功能套尺.

實驗方式：小組合作（4個或多個學(xué)生一組）.

實驗過程：首先，教師提出問題：當(dāng)兩個三角形具備多少組邊或角相等的條件時，它們就全等呢？

經(jīng)過學(xué)生討論，確定實驗問題：

（1）當(dāng)兩個三角形的一組邊或角相等時，它們?nèi)葐幔?/p>

（2）當(dāng)兩個三角形的兩組邊或角相等時，它們?nèi)葐幔?/p>

（3）當(dāng)兩個三角形的三組邊或角相等時，它們?nèi)葐幔?/p>

（4）當(dāng)兩個三角形滿足什么條件時，它們?nèi)龋?/p>

步驟1：以小組為單位，學(xué)生甲隨機構(gòu)造一個三角形（如圖2），以該三角形為“樣本”.

圖2

步驟2：其他學(xué)生再構(gòu)造一個三角形，使所構(gòu)造的三角形與學(xué)生甲構(gòu)造的三角形的關(guān)系分別滿足以上條件，通過套尺上的標(biāo)尺和量角器的示數(shù)，學(xué)生觀察、比較其余的各組邊、角是否確定對應(yīng)相等（或利用“疊合法”），驗證此時兩個三角形是否能夠完全重合，從而判斷兩個三角形是否全等（如圖3）.

步驟3：歸納實驗結(jié)論：

（1）當(dāng)兩個三角形的一組邊或角相等時，它們不一定全等.

（2）當(dāng)兩個三角形的兩邊及其夾角分別相等時，兩個三角形全等（簡稱為“邊角邊”或“SAS”）.

（3）當(dāng)兩個三角形的兩邊及其中一邊所對的角分別相等時，兩個三角形不一定全等.

（4）當(dāng)兩個三角形的兩角及其夾邊分別相等時，兩個三角形全等（簡稱為“角邊角”或“ASA”）.

（5）當(dāng)兩個三角形的三邊別相等時，兩個三角形全等（簡稱為“邊邊邊”或“SSS”）.

借助多功能套尺進行探究實驗，可以獲得三角形全等的條件：“SAS”“ASA”“SSS”.另外，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，“ASA”的推論——“AAS”也是成立的，所以不需要實驗探究.

對于“HL”，筆者在實驗中設(shè)計以下實驗過程：

（1）觀察圖形，提出問題：當(dāng)兩個三角形的兩邊及其中一邊所對的角分別相等時，兩個三角形不一定全等，那么，當(dāng)兩個三角形再滿足什么特殊條件時它們?nèi)龋?/p>

（2）動手實驗，獲得結(jié)論：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（簡稱“HL”），即相當(dāng)于增加“其中一組邊所對的角是直角”的條件.

在探究三角形全等條件的實驗中，學(xué)生以小組（至少兩人）合作為主要方式，在實驗中思辨、討論、發(fā)現(xiàn)與歸納，獲得三角形全等的條件，使“SAS”等“冰冷的美麗”變成“火熱的思考”.

2.驗證感知結(jié)論

實驗2：利用多功能套尺驗證“等邊對等角，等角對等邊”.

圖3

實驗過程：首先構(gòu)造一個三角形.通過旋轉(zhuǎn)圖中的任意兩把動尺，調(diào)整三角形角的大小.當(dāng)三角形中兩個內(nèi)角相等時（如圖4），學(xué)生根據(jù)刻度尺上的示數(shù)可以發(fā)現(xiàn)：相等的兩個內(nèi)角所對的邊也相等.當(dāng)然，學(xué)生通過旋轉(zhuǎn)標(biāo)尺或滑動量角器，可以調(diào)整三角形各邊的大小.在三角形的兩條邊相等的條件下，觀察量角器的示數(shù)可以發(fā)現(xiàn)：在三角形中，相等的兩條邊所對的角也相等.

另外，通過旋轉(zhuǎn)標(biāo)尺或滑動量角器調(diào)整三角形各邊或角的大小，也可以驗證等邊三角形的性質(zhì)和判定.

類似地，我們可以利用多功能套尺驗證“大角對大邊，大邊對大角”.

該實驗可以分“兩步走”.

第一步：每一名學(xué)生任意構(gòu)造一個三角形，通過旋尺和量角器的示數(shù)獲得三角形各邊、各角的度數(shù).

第二步：學(xué)生在明確“對邊”“對角”的前提下，比較每一個角所對的邊的大小關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)：在三角形中，較大的角所對的邊較大，較小的角所對的邊較小；反之亦成立.

不同的學(xué)生往往構(gòu)造不同的三角形，教師鼓勵同學(xué)之間相互交流，從而獲得更為充分的三角形實例，為探究實驗提供更為豐富的實驗資源.

實驗3：探究“由平行線得相似”.

在三角形套尺的基礎(chǔ)上，再安裝一把動尺.下面，通過兩種操作方式進行探究實驗，以探究相似三角形的判定定理：平行于三角形一邊的直線與三角形的另外兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.

圖4

圖5

方式一：“旋轉(zhuǎn)”.首先旋轉(zhuǎn)標(biāo)尺，調(diào)整量角器的示數(shù)，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，使其中兩把標(biāo)尺平行.學(xué)生根據(jù)標(biāo)尺的示數(shù)可以獲得圖中的兩個三角形各邊的長度，如圖5所示，小三角形的各邊分別為8cm、9cm、11cm，大三角形的各邊分別為16cm、18cm、22cm，通過計算可以發(fā)現(xiàn)8∶16=9∶18=11∶22=1∶2，即這兩個三角形的各邊對應(yīng)成比例，從而初步驗證“平行于三角形一邊的直線與三角形的兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.”

方式二：“滑動”.在保持兩條標(biāo)尺平行的條件下，滑動角尺改變圖中兩個三角形各邊的長度，通過計算得到兩個三角形的各邊對應(yīng)成比例，加深學(xué)生對“由平行線得相似”的理解.

類似地，根據(jù)相似三角形的不同判定條件，學(xué)生通過小組合作，借助一般的三角形套尺，可以構(gòu)造不同的相似三角形模型（如圖6），從而為對應(yīng)實驗提供充分的數(shù)據(jù)，加深學(xué)生對“三角形相似的條件”的理解.

圖6

3.深化理解結(jié)論

實驗4：理解銳角三角函數(shù)的意義與“增減性”.

首先構(gòu)造直角三角形.通過旋轉(zhuǎn)角尺，調(diào)整量角器的示數(shù)，設(shè)置直角三角形中銳角的大小.根據(jù)標(biāo)尺交點的示數(shù)能直接獲知直角三角形各邊的長度，學(xué)生根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念可以求出對應(yīng)的銳角三角函數(shù)值.

如圖7左圖，該直角三角形的一個銳角為30°，此銳角所對的直角邊為7cm，斜邊為14cm，則sin30°=7∶14=.

在保持30°角不變的情況下，滑動角尺，改變30°的角所在的直角三角形各邊的大小，如圖7右圖，此時，該銳角所對的直角邊為9cm，斜邊為18cm，則sin30°=9∶18=1∶2.也就是說，30°角所對的直角邊與斜邊的比值不變，即30°角的正弦值總等于.類似地，我們可以驗證其對應(yīng)的其他銳角三角函數(shù)值也分別不變.通過以上實驗，我們可以獲得結(jié)論：當(dāng)一個銳角的大小確定時，其對應(yīng)的銳角三角函數(shù)值也隨之確定.

圖7

同時，通過直角三角形套尺（如圖8），學(xué)生能充分感知：當(dāng)一個銳角的大小改變時，其對應(yīng)的銳角三角函數(shù)值隨之改變，從而使學(xué)生深刻理解銳角三角函數(shù)的意義.

圖8

通過“旋”“滑”“看”“算”，手、眼、腦并用，把操作實驗與探究計算相結(jié)合，不僅可以對與三角形相關(guān)的一些數(shù)學(xué)結(jié)論進行探究與驗證，還可以對四邊形等多邊形的數(shù)學(xué)結(jié)論進行探究與驗證，如驗證四邊形的不穩(wěn)定性（如圖9）、探究平行四邊形及特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定（如圖10）、任意正多邊形的性質(zhì)與判定（如圖11）等，從而深化學(xué)生對相應(yīng)知識的理解.

圖9

圖10

圖11

四、數(shù)學(xué)實驗工具設(shè)計與運用對教與學(xué)的影響

作為學(xué)校數(shù)學(xué)教研組的一項研究項目，從最初的“硬紙板套尺”到目前的多種透明塑料套尺，伴隨著“多功能套尺”不斷改進、優(yōu)化與完善的過程，學(xué)校的數(shù)學(xué)教師與數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)生了可喜的變化.數(shù)學(xué)教師開發(fā)與應(yīng)用工具進行實驗教學(xué)的熱情得到激發(fā)，教學(xué)理念發(fā)生了新的變化，教學(xué)方式產(chǎn)生了根本性的變革；學(xué)生的學(xué)習(xí)方式得到了優(yōu)化、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣得到了激發(fā)，數(shù)學(xué)思維能力也得到了顯著的提升.

1.激發(fā)了教師實驗教學(xué)的熱情

多功能套尺的成功設(shè)計與教學(xué)的有效應(yīng)用，帶動了學(xué)校數(shù)學(xué)教研組教師數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的熱情，也激發(fā)了他們的工具設(shè)計與開發(fā)的靈感.有的教師制作了木質(zhì)套尺教具，有的教師制作了其他創(chuàng)新型實驗工具，其中，“多變的四邊形尺”在2018年江蘇數(shù)學(xué)實驗創(chuàng)新設(shè)計大賽中獲得一等獎.

2.更新了教師的數(shù)學(xué)教學(xué)理念

皮亞杰的發(fā)生認(rèn)識論認(rèn)為，認(rèn)識的心理發(fā)生既不是來自先天的遺傳，也不是來自后天的環(huán)境，而是來自主體的行動.數(shù)學(xué)實驗強調(diào)在探究活動中，學(xué)生主動參與、自主探究，親身經(jīng)歷規(guī)則、基本事實及推論等的形成過程，強化“做中學(xué)”的意識，真正體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位.

3.變革了教師的數(shù)學(xué)教學(xué)行為

以實驗工具為支撐的數(shù)學(xué)教學(xué)，變傳統(tǒng)的教師“知識講授”“演示實驗”為學(xué)生“自主操作”.學(xué)生借助工具動手操作、動腦思考，自主探索數(shù)學(xué)知識，擁有了創(chuàng)新的機會，體驗了數(shù)學(xué)探究、發(fā)現(xiàn)知識的樂趣.

如“實驗2”中，學(xué)生通過開放性實驗，借助多功能套尺，不僅可以驗證“等邊對等角，等角對等邊”，還能獲得等邊三角形的三個角都是60°等結(jié)論.

4.優(yōu)化了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式

數(shù)學(xué)實驗強調(diào)“做”數(shù)學(xué)的過程，核心思想是以工具為載體，學(xué)生手腦并用，內(nèi)外互動，讓學(xué)生親身經(jīng)歷，以帶給學(xué)生深刻的學(xué)習(xí)體驗和成果.可以說，數(shù)學(xué)實驗工具恰恰提供了支撐數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式變革的載體，它變結(jié)果性知識為過程性知識，變接受性學(xué)習(xí)為探究性學(xué)習(xí).借助多功能套尺等工具進行數(shù)學(xué)實驗，可以有效地優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方式.

以“實驗1”為例.在傳統(tǒng)教學(xué)中，學(xué)生由于沒有經(jīng)歷“三角形全等的條件”的探究過程，只知其然而不知其所以然，往往死記硬背結(jié)論.還有的學(xué)生因為缺少實驗工具，一般需要利用直尺、圓規(guī)，甚至刻度尺、量角器等多種工具畫圖，然后度量、比較，而且由于工具的限制，難以運用“疊合法”，在驗證滿足一定條件的兩個三角形是否全等時，常常只能通過具體的邊、角的大小來確定，實驗效果不明顯.學(xué)生借助多功能套尺進行實驗，可以直觀、高效地探究兩個三角形全等的條件.

5.提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

數(shù)學(xué)實驗是一種將操作、觀察、頓悟等融為一體的數(shù)學(xué)思維活動.學(xué)生在教師指導(dǎo)下，經(jīng)歷操作、觀察、猜想、發(fā)現(xiàn)、驗證等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程，有效促進了數(shù)學(xué)理解，發(fā)展了數(shù)學(xué)思維.

如在“探究平行四邊形及特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定”教學(xué)中，學(xué)生借助多功能套尺進行“四邊形→平行四邊形→矩形（或菱形）→正方形”的操作實驗，較好地理解條件之間的關(guān)聯(lián)性和圖形之間的從屬性，增強了數(shù)學(xué)思維的縝密性.

五、結(jié)語

數(shù)學(xué)實驗工具的設(shè)計與開發(fā)，促進了教師的專業(yè)發(fā)展、教學(xué)水平的提高；數(shù)學(xué)實驗工具在教學(xué)中的應(yīng)用，為學(xué)生通過動手、動腦“做”數(shù)學(xué)提供了可能，引領(lǐng)學(xué)生真正經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程，增強了學(xué)生的手腦協(xié)調(diào)及思維能力.

需要說明的是：數(shù)學(xué)實驗是一種“做”數(shù)學(xué)的活動，而“做”數(shù)學(xué)具有形象、直觀、感性的特點，“證”數(shù)學(xué)則具有抽象、嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯的特點，數(shù)學(xué)教學(xué)只有將實驗的“做”數(shù)學(xué)與推理的“證”數(shù)學(xué)有機結(jié)合，才能使二者優(yōu)勢互補、相得益彰，真正實現(xiàn)將“脖子以上的學(xué)習(xí)”發(fā)展為全身心融合的學(xué)習(xí)［1］.