解讀坐標系中圖形變換規(guī)律

何 萍

(湖北省恩施市龍鳳鎮(zhèn)民族初級中學 445003)

一、舉例

我們在學習位似變換前已經(jīng)接觸過平移變換、軸對稱變換以及旋轉變換等，這幾類變換在中考中經(jīng)常放在一起考查，一不留神就會出錯，主要原因是沒有理解圖形變換的規(guī)律，把圖形變換的方向與坐標的符號弄錯.下面舉一例對圖形變換的規(guī)律進行剖析.

例如圖1，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點都在格點上，點A的坐標為(2，4)，請解答下列問題：

(1)畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1，并寫出點A1的坐標；

(2)將△A1B1C1先向下平移2個單位，再向右平移5各單位，得到△A2B2C2，畫出這個三角形，并說出點A2的坐標；

(3)以圓心O為位似中心作出△A2B2C2的位似圖形△A3B3C3，要求△A2B2C2與△A3B3C3的相似比為2∶1．

二、解析

這道例題我們分下面三步來思考.

1.關于軸對稱和中心對稱

對稱規(guī)律是：點P(x，y)關于x軸對稱的點P1的坐標為(x,-y)；關于y軸對稱的點P2的坐標為(-x,y)；關于原點對稱的點P3的坐標為(-x,-y).可歸納為：與誰對稱誰不變，另一個變號，關于原點對稱，橫變縱也變．

方法一：如圖2所示，根據(jù)軸對稱圖形的對應點的連線段被對稱軸垂直平分，找出A、B、C三點關于y軸的對稱點A1、B1、C1的位置，再順次連接，可得關于y軸對稱的圖形△A1B1C1.然后根據(jù)圖形寫出點A1的坐標(-2，4).

方法二：根據(jù)圖形和點A的坐標(2，4)，分別找出點B和點C的坐標B(1，2)、C(5，3)，再根據(jù)軸對稱規(guī)律，分別找出A、B、C三點關于y軸的對稱點的坐標A1(-2， 4)、B1(-1，2)、C1(-5，3)，再順次連接，可得關于y軸對稱的圖形△A1B1C1.

2.關于平移

平移規(guī)律是：左右移動時，橫坐標左減右加，縱坐標不變；上下移動時，縱坐標上加下減，橫坐標不變.

方法一：圖形的平移與圖形上某點的平移相同，將點A1、B1、C1先向下平移2個單位，再向右平移5個單位，得到點A2、B2、C2的位置，再順次連接，可得平移后的圖形△A2B2C2.從圖上可直接寫出A2的坐標是(3，2)，依次計算出B2、C2的坐標，連線(如圖2)即畫出所求△A2B2C2.

方法二：觀察圖形和A1點的坐標(-2，4)，根據(jù)點的平移規(guī)律“左減右加、上加下減”直接計算，得A2(-2+5，4-2)即A2(3，2)，B2(-1+5，2-2)即B2(4，0)，C2(-5+5，3-2)即C2(0，1).由坐標確定點A2、B2、C2的位置，再順次連接，可得平移的圖形△A2B2C2.

3.關于位似變換

位似的規(guī)律：兩個位似圖形是指它們的每組對應點所在的直線都經(jīng)過同一點的特殊的相似圖形.

利用圖形變化確定點的坐標，關鍵是掌握點的坐標的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的性質找到各點的對應點位置，順次連接可得變化后的圖形.

對稱變換:成軸對稱的兩個圖形中，其中一個圖形上的所有點關于對稱軸的對稱點都在另一個圖形上，軸對稱圖形的對應點的連接線段被對稱軸垂直平分.對應線段相等，對應角相等.對應線段或其延長線相交，那么交點在對稱軸上.

旋轉變換:圖形通過旋轉，圖形中每一點都繞著旋轉中心沿相同的方向旋轉了同樣大小的角度，任意一對對應點與旋轉中心的連線的夾角都與旋轉角相等，對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等，旋轉過程中，圖形的形狀、大小都沒有發(fā)生變化.

平移變換:圖形的平移包含兩要素，一是平移的方向，二是平移的距離，判斷平移的時候，只需要沿平移的“路徑”進行平移便可確定其兩要素.

在平面直角坐標系中，如果把一個圖形向左或向右平移a(a>0)個單位長度，那么圖形上各個點的橫坐標都減或加a；如果把一個圖形向上或向下平移a(a>0)個單位長度，那么圖形上各個點的縱坐標都加或減去a.

位似變換:位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比，兩個位似圖形的周長的比等于位似比，面積的比等于位似比的平方.如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k，點(x，y)的對應點的坐標是(kx，ky)或(-kx，-ky)，根據(jù)位似比找出另一個圖形的關鍵點.

位似圖形是相似圖形的特例，不僅要求形狀形同，而且還要求對應點的連線相交于同一點，因此位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形．可能在圖形的中間、兩個圖形的同一側或圖形上.作一個圖形的位似圖形的基本步驟是：選定位似中心——連點——延長——截倍(分)等，而得到放大或縮小的圖形，新圖形與原圖形就是位似圖形.