金屬晶體晶胞中原子空間利用率的計(jì)算

李春文

金屬晶體中原子堆積方式復(fù)雜，每種堆積中原子空間利用率不盡相同，掌握金屬晶體里晶胞中原子空間利用率對(duì)于解決所有晶胞的原子空間利用率問(wèn)題具有觸類(lèi)旁通的作用。研究金屬晶體里晶胞中原子空間利用率，首先應(yīng)該掌握求算它的基本步驟：先找到晶胞中所含原子數(shù)，然后根據(jù)晶胞中緊鄰原子的位置關(guān)系找到原子半徑與晶胞邊長(zhǎng)的關(guān)系，再根據(jù)空間利用率的求算方法即晶胞中原子所占的實(shí)際體積與晶胞中原子圍成的幾何圖形的體積之比，求得空間利用率。

一、簡(jiǎn)單立方堆積

簡(jiǎn)單立方堆積指的是相鄰非密置層原子的原子核在同一直線，上的堆積。這種堆積使晶胞結(jié)構(gòu)為立方體型（如圖1所示），處于頂點(diǎn)的兩個(gè)原子緊鄰。

晶胞中所含原子數(shù)為8x（1/8）=1，該原子所占的實(shí)際體積為（4/3）πr3。由于處于頂點(diǎn)的兩個(gè)原子緊鄰，則原子半徑與晶胞邊長(zhǎng)的關(guān)系為a=2r，那么晶胞中原子所圍成的立方體的體積為（2r）3，所以簡(jiǎn)單立方堆積中原子空間利用率為

二、體心立方堆積

體心立方堆積指的是非密置層的另一種堆積方式，即將上層金屬原子填人下層的金屬原子形成的凹穴中，并使非密置層的原子稍稍分離。每層均照此堆積，這種堆積方式稱(chēng)為體心立方堆積。這種堆積方式使處于體對(duì)角線上的原子緊鄰（如圖2所示）。

晶胞中所含原子數(shù)為8x1/8+1=2，則晶胞中所含原子的實(shí)際體積為

。由于處于體對(duì)角線的原子緊鄰，則原子半徑與晶胞邊長(zhǎng)的關(guān)系為

，那么晶胞中原子圍成的幾何圖形的體積為

，所以體心立方堆積中原子空間利用率為

三、六方最密堆積

每層都是密置層堆積，堆積方式是將上層原子填入下層原子形成的凹穴中，這樣的堆積會(huì)得到兩種基本堆積方式，按ABABAB……的方式堆積稱(chēng)為六方最密堆積;按ABCABCA……的方式堆積稱(chēng)為面心立方最密堆積。

如圖3所示，在六方最密堆積的晶胞結(jié)構(gòu)中，體內(nèi)原子位于平行六面體的一半的體心，即正三棱柱的體心，該原子與上下6個(gè)原子緊鄰，則該原子與下面（或上面）3個(gè)原子構(gòu)成正四面體結(jié)構(gòu)。

平行六面體中，上下底面為菱形，內(nèi)角分別為60°和120°，上下底面所占有的原子數(shù)為

，體內(nèi)還有1個(gè)原子，則晶胞中所含原子數(shù)為2，那么原子的實(shí)際體積為

。在晶胞內(nèi)部的正四面體結(jié)構(gòu)中，設(shè)晶胞邊長(zhǎng)為a，則a=2r。要想求晶胞體積，需要求晶胞的高。在正四面體結(jié)構(gòu)中，底面邊長(zhǎng)為2r，底面中心到頂點(diǎn)的距離

為

，則正四面體的高為h=

而平行六面體的高為正四面體的高的2倍，即

。平行六面體的底面積

，則平行六面體的體積為

。所以六方最密堆積中原子空間利用率為η=

四、面心立方最密堆積面心立方最密堆積就是每一層都是密置層堆積，按ABCABCABC……的方式堆積（已敘述），這樣的堆積使處于立方體面對(duì)角線上的原子緊鄰如圖4所示。晶胞中所含原子數(shù)為

，那么原子實(shí)際占有的體積為

。由于處于面對(duì)角線上的原子緊鄰，則原子半徑與晶胞邊長(zhǎng)的關(guān)系為

，那么晶胞中原子圍成的幾何圖形的體積為

，所以該晶胞中原子空間利用率為

原子空間利用率的計(jì)算是選三的難點(diǎn)，亦是高考的難點(diǎn)，但它又不是無(wú)章可循。通過(guò)金屬晶體里晶胞中原子空間利用率的計(jì)算，以及金剛石晶胞中原子空間利用率的計(jì)算，不難看出，無(wú)論多復(fù)雜的晶胞結(jié)構(gòu)，想計(jì)算原子空間利用率，必須先求得晶胞中原子個(gè)數(shù)及晶胞邊長(zhǎng)與原子半徑的關(guān)系，要想知道晶胞邊長(zhǎng)與原子半徑的關(guān)系，必須知道晶胞中原子堆積特點(diǎn)，即處于晶胞的什么位置上的原子緊鄰。