時標(biāo)上具有分布勢函數(shù)的Sturm-Liouville問題的矩陣表示

劉娜娜,敖繼軍

( 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,內(nèi)蒙古 呼和浩特010051)

1.引言

近年來,關(guān)于Sturm-Liouville(S-L)問題的特征值問題已經(jīng)成為數(shù)學(xué)物理等領(lǐng)域研究的熱門課題,并取得了許多成果[1].早在1964年,Atkinson提出了二階S-L問題在某些條件下存在有限譜的論斷[2].2001年KONG,WU和Zettl運用構(gòu)造的方法證實了Atkinson論斷的合理性[3].由此學(xué)者們對有限譜問題展開了一系列研究.2009年KONG,Volkmer,Zettl分別在分離型和實耦合型自共軛邊界條件下研究了具有有限譜的S-L問題的矩陣表示[4].2011年,AO,SUN,ZHANG討論了帶有轉(zhuǎn)移條件的S-L問題的有限譜[5].2017年,敖繼軍,薄芳珍給出了帶譜參數(shù)邊界條件的四階邊值問題的矩陣表示的結(jié)論[6].

為了找到一種能夠?qū)㈦x散和連續(xù)兩者結(jié)合起來,將微分方程和差分方程結(jié)合起來的理論框架,1988年,德國數(shù)學(xué)家Stefan Hilger在他的博士論文中首次提出了時標(biāo)的概念.所謂時標(biāo)(測度鏈)就是指實數(shù)集R的任一非空閉子集,它可以把連續(xù)理論和離散理論融合在一起研究.如今,時標(biāo)理論已經(jīng)基本完善,許多學(xué)者對時標(biāo)上的S-L問題從多個方面進(jìn)行了一系列研究[7?12].1999年,Agarwal等在文[7]中討論了p=1時二階S-L問題在分離型邊界條件下特征值的存在性以及特征值廣義零點的個數(shù).隨后KONG將他們的結(jié)論推廣到了分離型邊界條件下一般的S-L問題上,并討論了特征值的依賴性[8].2010年,XIE 等在文[9]中運用不動點原理研究了時標(biāo)上高階微分方程邊值問題正解的存在性.2013年,趙娜在文[10]中考慮了二階S-L問題的有限譜,分別討論了分離型和耦合型S-L問題的有限個特征值,給出了其特征值不等式,并將結(jié)論推廣到較一般的時標(biāo)上.2016年,Tuna[11]研究了時標(biāo)上二階耗散S-L問題的完備性.

從目前的研究現(xiàn)狀可以看出,學(xué)者們在S-L問題的有限譜,S-L問題的矩陣表示,具有分布勢函數(shù)的S-L問題,時標(biāo)上S-L問題的特征值等問題方面已經(jīng)取得了很多理論成果.文[12]將以上問題進(jìn)行了推廣,討論了時標(biāo)上具有分布勢函數(shù)且邊界條件帶有譜參數(shù)的S-L問題的有限譜.但是對于時標(biāo)上具有分布勢函數(shù)的S-L問題的矩陣表示還尚未見有結(jié)論.本文利用文[10]的方法,也是通過分割時標(biāo)T得到了時標(biāo)上具有分布勢函數(shù)的二階S-L問題的矩陣表示.

本文考慮時標(biāo)上具有分布勢函數(shù)的S-L問題與矩陣特征值問題

之間的等價關(guān)系,其中D和B是n ×n復(fù)值矩陣,B是對角矩陣.討論以下具有分布勢函數(shù)的S-L方程[12]：

其中?∞

考慮邊界條件

且2×4矩陣(A|B)是滿秩的,

本文將自共軛邊界條件(1.3)分為兩種類型來討論: 分離型和實耦合型.分離型邊界條件為:

實耦合型邊界條件為:

因y[1]=p[y?+syσ],則方程(1.1)可表示為:

令z=y[1],則方程(1.6)等價于

從而討論方程(1.1)的矩陣表示問題可轉(zhuǎn)化為討論方程(1.7)的矩陣表示問題.

2.主要結(jié)論

這部分內(nèi)容將給出本文的主要結(jié)論,首先給出兩個定義.

定義2.1[13]時標(biāo)上具有分布勢函數(shù)的S-L方程(1.1)稱為是Atkinson類型的,如果對于任意的正整數(shù)m,n ∈N+,存在對時標(biāo)T的分割:

使得

以及

定義2.2[4]時標(biāo)上Atkinson類型的S-L問題稱為是與矩陣特征值問題等價的,如果它們具有相同的特征值.

接下來再對一些符號進(jìn)行說明,令

對方程(1.7)的解y,z,由條件可知:

y在[a2k,a2k+1),k=0,1,...,m上為常數(shù),

現(xiàn)假設(shè)

并令

引理2.1[13]對方程(1.7)的任何一組解y,z有

相反,對于系統(tǒng)(2.7)-(2.13)的任何一組解yk,k=0,1,...,m,zk,k=0,...,m+1和,i=0,1,...,n,,i=0,...,n+1,以及存在方程組(1.7)的唯一解y(t)和z(t)滿足(2.5)和(2.6).

下面說明時標(biāo)上具有分布勢函數(shù)的S-L問題在邊界條件(1.3)下的矩陣表示,首先討論分離型邊界條件(1.4)的情形.

定理2.1若α ∈[0,π),β ∈(0,π],定義(m+n+3)×(m+n+3)三對角矩陣

及對角矩陣

則時標(biāo)上具有分布勢函數(shù)的S-L問題(1.1),(1.4)與矩陣特征值問題

推論2.1(i)若α,β ∈(0,π),定義(m+n+3)×(m+n+3)三對角矩陣

及對角矩陣

則時標(biāo)上具有分布勢函數(shù)的S-L問題(1.1),(1.4)與矩陣特征值問題

(ii) 若α=0,β ∈(0,π),對于矩陣Rαβ,Qαβ,Wαβ也有類似結(jié)論.只是在(2.15),(2.16)中當(dāng)α=0時,sinα=0,y0=0,所以矩陣Rαβ,Qαβ,Wαβ的第一行,第一列在(2.14)中消失,變?yōu)閙+n+2階矩陣,由于sin0,因此在各矩陣最后一行中除以sinβ即可.此時恰有m+n+2個特征值.

(iii)若α ∈(0,π),β=π,則sinβ=0,=0,所以矩陣Rαβ,Qαβ,Wαβ的最后一行,最后一列在(2.14)中消失,變?yōu)閙+n+2階矩陣,由于sin0,因此在各矩陣第一行中同除以sinα即可.此時恰有m+n+2個特征值.

(iv)若α=0,β=π,此時sinα=sinβ=0,且y0==0,所以矩陣Rαβ,Qαβ,Wαβ的第一行,第一列,最后一行,最后一列在(2.14)中消失,變?yōu)閙+n+1階矩陣,此時恰有m+n+1個特征值.

以下再來討論實耦合型邊界條件(1.5)的情形.我們分k12=0和k120兩種情形給出定理.

定理2.2當(dāng)k12=0時,定義(m+n+2)×(m+n+2)矩陣

及對角矩陣

則時標(biāo)上具有分布勢函數(shù)的S-L問題(1.1),(1.5)與矩陣特征值問題

定理2.3當(dāng)(1.5)中k120時,定義(m+n+3)×(m+n+3)矩陣

及對角矩陣

則時標(biāo)上具有分布勢函數(shù)的S-L問題(1.1),(1.5)與矩陣特征值問題

若系數(shù)滿足條件(1.2),(2.2)和(2.3),以下結(jié)果說明了具有分布勢函數(shù)的S-L問題(1.1),(1.3)與以分段常值函數(shù)為系數(shù)的S-L問題等價.

定理2.4[13]設(shè)qk,wk,k=0,1,...,m,,,i=0,1,...,n及rk,sk,k=0,1,...,m ?1,,,i=0,1,...,n?1由(2.2),(2.3)給出.定義時標(biāo)T上的分段常值函數(shù)如下:

當(dāng)sk=0,=0時;

且滿足邊界條件(1.3),則具有分布勢函數(shù)的S-L問題(1.1),(1.3)與以分段常值函數(shù)為系數(shù)的方程和邊界條件(1.3)構(gòu)成的S-L問題具有相同的特征值.

3.證明

這部分內(nèi)容將給出本文主要定理的證明過程,在證明過程當(dāng)中用到的有關(guān)時標(biāo)的定義可參見文[10].

定理2.1的證明由邊界條件(1.4)可知

首先容易得出問題(2.7)-(2.13),(3.1)的解與以下問題的解是一一對應(yīng)的:

事實上,若假設(shè)yk,k=0,1,2,...,m和zk,k=0,1,2,...,m+1是系統(tǒng)(2.7)-(2.9),(3.1)的解.則(3.2)-(3.4)可由(2.7)-(2.9)得出.同理,(3.6)-(3.8)可由(2.11)-(2.13)通過假設(shè),i=0,1,2,...,n和,i=0,1,2,...,n+1為系統(tǒng)(2.11)-(2.13)的一組解而得到.(3.5)可由(2.10)通過假設(shè),為問題(2.10)的解而得到.其中

另一方面,若設(shè)yk,k=0,1,2,...,m是系統(tǒng)(3.2)-(3.4)的一組解,則z0和zm+1可分別由(3.1),(3.2)和(3.4)定義得出,由(2.7)可定義zk,k=1,2,...,m,然后利用(3.2)-(3.4)進(jìn)行逐步推導(dǎo)即可得(2.8),(2.9),同理可得(2.11)-(2.13).因此由引理2.1,方程(1.7)的任何解,從而也是方程(1.1)的解,被系統(tǒng)(3.1)-(3.8)的解唯一決定.故由(3.1)-(3.8)可得兩類問題之間的等價性.

定理2.2的證明當(dāng)k12=0時,邊界條件(1.5)可以寫為

其中k11k22=1,即可得到方程組(2.7)-(2.13)與邊界條件(3.9)所構(gòu)成的問題的解與問題(3.2)-(3.8)的解是等價的,其中方程(3.2)與(3.8)變?yōu)橐韵聝墒?

由(2.7)-(2.9),(3.9)可得：

又因為k11k22=1,所以(3.12)可寫作(3.10).剩下的證明過程類似定理2.1的證明過程.

定理2.3的證明當(dāng)時,邊界條件(1.5)可以寫為

其中k11k22?k12k21=1,即定理2.2的證明過程當(dāng)中(3.10),(3.11)式變?yōu)?/p>

剩下的證明過程類似定理2.2的證明,這里就不再重復(fù)了.

4.矩陣特征值問題的具有分布勢函數(shù)的S-L問題表示

該部分內(nèi)容討論矩陣特征值問題

的具有分布勢函數(shù)的S-L問題表示,其中,對稱矩陣D=(dij)是l×l實三對角矩陣或“幾乎”三對角矩陣,且滿足di,i+10,i=1,2,...,l ?1,對角矩陣B=(bjj)滿足bjj0.由定理2.4可知這種表示并不唯一.接下來利用S-L問題(2.25),(1.3)及其等價類來描述矩陣問題(4.1)的S-L問題表示,這里僅以分離型邊界條件為例,對于實耦合型邊界條件情形可用同樣方法得出.

定理4.1設(shè)D是l×l對稱三對角矩陣

其中l(wèi)>3,2≤k ≤l ?2,dij∈R,1≤i,j ≤l,且dj,j+10,j=1,...,l ?1,并設(shè)

1)α,β ∈(0,π),且sk,k=0,...,m ?1,,i=0,...,n ?1 是固定的;

2)α=0,β ∈(0,π),r1,q0,w0與sk,k=0,...,m ?1,,i=0,...,n ?1是固定的;

3)α ∈(0,π),β=π,與sk,k=0,...,m ?1,,i=0,...,n ?1是固定的;

4)α=0,β=π,r1,q0,w0,與sk,k=0,...,m ?1,?si,i=0,...,n ?1是固定的.

在以上任一種情形下,矩陣問題(4.1)的所有S-L問題表示均可以由S-L問題(2.25),(1.4)及其等價類按照對參數(shù)的任何可能的選取形式給出.

證考慮α,β ∈(0,π)的情形.令m=k ?1,n=l ?k ?2,T=[a,b]∪{c}∪[d,e],?∞

且

然后,再利用(2.20)-(2.24)在時標(biāo)T=[a,b]∪{c}∪[d,e]上定義滿足(2.2)-(2.4)的分段常值函數(shù)顯然(4.1)和問題(2.15)具有相同的形式.故由推論2.1可知問題(4.1)和具有分布勢函數(shù)的S-L問題(1.1),(1.4)是等價的.其它情形證明過程類似.

定理4.2設(shè)D是l×l對稱矩陣

其中l(wèi)>3,2≤k ≤l ?2,dij∈R,1≤i,j ≤l,且dj,j+10,j=1,...,l ?1,d1l0,并設(shè)

1)k120,且sk,k=0,...,m ?1,,i=0,...,n ?1是固定的;

2)k12=0,且q0,w0,sk,k=0,...,m ?1,,i=0,...,n ?1是固定的.

在以上任一種情形下,矩陣問題(4.1)的所有S-L問題表示均可以由S-L問題(2.25),(1.5)及其等價類按照對參數(shù)的任何可能的選取形式給出.

證考慮k120的情況,將(4.1)乘以(k11d1l)?1,可得矩陣D滿足令m=k ?1,n=l ?k ?2,T=[a,b]∪{c}∪[d,e],?∞< a < b < c < d < e < ∞,根據(jù)(2.1)的一個分割,可類似定理4.1的方法進(jìn)行證明,與之不同的是

對于k12=0的情形,也可用同樣的方法得到結(jié)論.

注4.1文[13]探究了連續(xù)區(qū)間J=(a,b)上具有分布勢函數(shù)的S-L問題的矩陣表示,而本文是在時標(biāo)T=[a,b]∪{c}∪[d,e]上討論了具有分布勢函數(shù)的S-L問題的矩陣表示,可將連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)有效地結(jié)合起來.其中的難點在于要找到離散點和連續(xù)區(qū)間的端點-也就是c點與兩個連續(xù)區(qū)間[a,b],[d,e]中b點和d點之間的連接矩陣及迭代公式,這也是與連續(xù)區(qū)間上同類問題之間的主要區(qū)別之處.在證明過程中,解決問題的關(guān)鍵是要通過兩個連接矩陣,找到離散點c點與b點,d點之間的連接方程.當(dāng)時標(biāo)取為區(qū)間時,本文結(jié)論將退化為連續(xù)區(qū)間上具有分布勢函數(shù)的S-L 問題,即文[13]中結(jié)論,進(jìn)一步如果s=0,則本文結(jié)論又可退化為經(jīng)典的S-L問題的矩陣表示問題,即文[4]的結(jié)論.