數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之直觀想象：特征、層次與培養(yǎng)策略（上）

鄧友祥

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）提出直觀想象是六大核心素養(yǎng)之一，并對直觀想象的內(nèi)涵作出了明確界定：“直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。”其主要包括：借助空間認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路。直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成解題思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)。為有效落實(shí)直觀想象這一核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求，改變傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)過于關(guān)注學(xué)生具體數(shù)學(xué)知識、技能的形成，以切實(shí)提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率，有必要深入探討直觀想象的基本特征與水平層次，并采取行之有效的教學(xué)策略。

一、直觀想象的基本特征

鮑建生教授在“高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂中的若干問題”的講座中談及“聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”，介紹了作為核心素養(yǎng)的直觀想象的四個方面表現(xiàn)形式：利用圖形描述數(shù)學(xué)問題；利用圖形理解數(shù)學(xué)問題；利用圖形探索和解決數(shù)學(xué)問題；構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型。在此基礎(chǔ)上，《標(biāo)準(zhǔn)》提出直觀想象主要表現(xiàn)為：建立數(shù)與形的聯(lián)系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運(yùn)用空間想象認(rèn)識事物。這在一定程度上體現(xiàn)了直觀想象的基本特征。結(jié)合直觀想象的內(nèi)涵，其主要有如下基本特征。

（一）經(jīng)驗(yàn)性

直觀想象必須基于已有的知識經(jīng)驗(yàn)和活動經(jīng)驗(yàn)，所運(yùn)用的知識組塊和形象直感都是經(jīng)驗(yàn)的積累和升華，并不斷地組合老經(jīng)驗(yàn)、形成新經(jīng)驗(yàn)，從而不斷提高直觀想象的水平。[1]這一特征要求，平時數(shù)學(xué)教學(xué)要重視引導(dǎo)學(xué)生獲得基本活動經(jīng)驗(yàn)，并以此為基礎(chǔ)幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)。

（二）整體性

具有良好直觀想象能力的學(xué)生，往往善于借助直觀，從結(jié)構(gòu)、關(guān)系、類別、層次及系統(tǒng)等各個角度看待事物，并將所獲取信息有機(jī)整合為一個完整體系，這是一種整體思維觀。這一特征要求，平時數(shù)學(xué)教學(xué)要確立整體聯(lián)系觀，引導(dǎo)學(xué)生借助直觀了解數(shù)學(xué)知識之間的相同、相似、差異、不同等區(qū)別和聯(lián)系，形成網(wǎng)絡(luò)清晰、融會貫通的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。

（三）邏輯性

既然直觀想象借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，強(qiáng)調(diào)分析、綜合與探索，建立數(shù)與形的聯(lián)系，那么其必然表現(xiàn)出一定的邏輯性。這一特征要求，平時數(shù)學(xué)教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生得出（發(fā)現(xiàn)、猜測）相關(guān)結(jié)論后，還必須要求學(xué)生做出合理的數(shù)學(xué)思考，依據(jù)已有數(shù)學(xué)知識經(jīng)驗(yàn)和相關(guān)程序步驟，通過嚴(yán)格的邏輯推理得出科學(xué)結(jié)論，以逐步發(fā)展學(xué)生的邏輯結(jié)構(gòu)。

（四）預(yù)見性

直觀想象的結(jié)果通常會表現(xiàn)出新的突破，得到新的結(jié)論，或發(fā)現(xiàn)問題解決的思路、途徑或方法，因此帶有極強(qiáng)的創(chuàng)造性。這一特征要求，平時數(shù)學(xué)教學(xué)要向?qū)W生提供具有探索性和思考性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)，引發(fā)學(xué)生深度的數(shù)學(xué)思考，拓展學(xué)生的想象空間，加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)聯(lián)想和猜想能力的培養(yǎng)，促使學(xué)生自覺或不自覺地運(yùn)用組塊與直覺，直接預(yù)測問題的結(jié)論。

二、直觀想象的水平層次

目前中學(xué)數(shù)學(xué)教育界關(guān)于直觀想象的教學(xué)與研究，更多仍停留在操作層面，對學(xué)生直觀想象能力的培養(yǎng)缺乏應(yīng)有的深度和效度。究其原因，實(shí)際教學(xué)中不少教師無法弄清學(xué)生的直觀想象究竟處于何種水平，因而所采用的教學(xué)方法不能保證學(xué)生的思維水平能向更高水平進(jìn)階。因此，有必要對直觀想象的水平層次做出深度的層次劃分，其前提是必須要對直觀和想象的分類有所了解。

關(guān)于直觀的分類，康德從哲學(xué)視角給出權(quán)威的解釋：“一類是經(jīng)驗(yàn)直觀，一類是純粹直觀?！盵2]孔凡哲等人結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際，認(rèn)為幾何直觀具體可表現(xiàn)為實(shí)物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀、替代物直觀等四種表現(xiàn)形式。[3]

數(shù)學(xué)想象有著各種不同的表現(xiàn)形式，按照想象的特點(diǎn)來分，可以分成圖形想象和圖式想象兩類；按照想象的深度來分，則可以分成聯(lián)想（包括回憶、追想等）和猜想兩類。圖形想象是以空間形象直感為基礎(chǔ)的對數(shù)學(xué)圖形表象的加工與改造，是對幾何圖形的形象建構(gòu)；圖式想象是以數(shù)學(xué)直感為基礎(chǔ)的對數(shù)學(xué)圖式（數(shù)量關(guān)系的解析表現(xiàn)）表象的加工與改造。[4]

直觀想象能力的發(fā)展具有一定的年齡規(guī)律，與之有關(guān)的幾何學(xué)習(xí)理論主要有赫爾（P.H.Van.Hiele）的幾何思維發(fā)展模型和杜瓦爾（Duval）的幾何認(rèn)知關(guān)系模型。1959年，荷蘭數(shù)學(xué)教育家赫爾（P.H.Van. Hiele）經(jīng)過研究，提出學(xué)生的幾何思維發(fā)展可分為逐級升高的五個層次[5]（110-111）：只能按圖形形狀來區(qū)分———能對認(rèn)識的圖形形狀加以分析———邏輯地認(rèn)識幾何圖形———整體上理解演繹法的意義———超出對理論的任何具體解釋而發(fā)展理論。

綜上，并結(jié)合我國實(shí)際，筆者認(rèn)為學(xué)生的直觀想象必須經(jīng)歷直觀到抽象、有形到無形、外在到內(nèi)在、非邏輯到邏輯的過程。具體可將學(xué)生的直觀想象水平分為如下五個層次（由低到高）：

第一層次：視覺水平。學(xué)生只能認(rèn)識有形實(shí)物或直觀模型，不能正確判斷概念間的邏輯關(guān)系。此時，幾何圖形的認(rèn)識僅憑視覺整體觀察，只會按其形狀（尚未加以分析）來區(qū)分。

第二層次：描述分析水平。學(xué)生能依據(jù)已有知識和經(jīng)驗(yàn)，對認(rèn)識的實(shí)物（或圖形）形狀加以分析，能描述這些形狀的性質(zhì)。但仍不能理解數(shù)學(xué)知識之間的邏輯關(guān)系，不能得到數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)。

第三層次：抽象關(guān)系水平。學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識有時仍需一定的直觀經(jīng)驗(yàn)，能認(rèn)識幾何圖形等知識之間的邏輯關(guān)系，并能進(jìn)行簡單的非正式推理，局部地實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的邏輯整理，但不能從整體上理解演繹法的意義。

第四層次：推理水平。學(xué)生不再僅憑直觀經(jīng)驗(yàn)觀察得出結(jié)論，習(xí)慣于強(qiáng)調(diào)概念思維，能綜合分析和運(yùn)用已有知識，通過邏輯推理構(gòu)建數(shù)學(xué)知識，探索解決問題的思路和方法，在整體上理解演繹法的意義。

第五層次：公理化水平。學(xué)生能理解數(shù)學(xué)知識體系及抽象性，合理評判并舍棄對象的具體性質(zhì)和其間關(guān)系的具體含義，在不同的公理系統(tǒng)下嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟?shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，超出對理論的任何具體解釋而發(fā)展理論。

值得注意的是，上述各水平層次的發(fā)展是循序漸進(jìn)的，任何教學(xué)法都不可能讓學(xué)生跳過某一水平層次而直接達(dá)到下一水平層次，但過渡之后有時仍需回到較低水平以便更好地理解它們，這就是思維過程中的“返祖”現(xiàn)象。直觀想象水平層次的進(jìn)步，往往依賴于教學(xué)而非年齡的增長。

（未完待續(xù)）

（作者單位：江蘇泰州學(xué)院）