二次函數(shù)綜合題型解題策略與技巧

李金華

(云南省曲靖市麒麟?yún)^(qū)第七中學(xué) 655000)

一、抓準(zhǔn)臨界點(diǎn)信息，恰當(dāng)分類(lèi)，巧妙切入

眾所周知，分類(lèi)思想是初中數(shù)學(xué)中最重要的思想方法之一，從初一開(kāi)始學(xué)習(xí)有理數(shù)到初三復(fù)習(xí)函數(shù)綜合題，整個(gè)教學(xué)過(guò)程中無(wú)不滲透著分類(lèi)思想，或者說(shuō)分類(lèi)思想在初中數(shù)學(xué)解題中有著極其重要的應(yīng)用.事實(shí)上，如果留心就不難發(fā)現(xiàn)，不管是中考?jí)狠S題還是平時(shí)的模擬題，絕大多數(shù)二次函數(shù)綜合題都或深或淺地涉及到分類(lèi)思想，并且往往是以恰當(dāng)?shù)姆诸?lèi)為切入點(diǎn)，學(xué)生如果分類(lèi)討論的意識(shí)淡薄或是做不到合理分類(lèi)也就無(wú)法順利解題.而這其中的關(guān)鍵就在于仔細(xì)分析題意，抓準(zhǔn)臨界點(diǎn)信息，從而恰當(dāng)分類(lèi)，巧妙切入.下面我們來(lái)看一道比較典型的例題：

例1設(shè)函數(shù)y=-x2+(m-2)x+3(m+1)，試解答以下三問(wèn)：①判斷該函數(shù)與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)，并給予證明；②若該函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)為C，與x軸的交點(diǎn)為A、B(A在B左側(cè))，∠CAB與∠CBA其中之一為鈍角，求m的取值范圍；③設(shè)該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為P，在求得m取值范圍的前提下，若△PAO與△ABC的面積相等，求該二次函數(shù)的表達(dá)式.

簡(jiǎn)評(píng)通過(guò)以上的解題可以看出，此題難度不高但屬于較為典型的二次函數(shù)綜合題，其以二次函數(shù)的基本運(yùn)用為基礎(chǔ)綜合了幾何知識(shí)，第三問(wèn)解答的切入點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)就在于依據(jù)兩點(diǎn)的未知情況進(jìn)行分類(lèi)討論.在二次函數(shù)的綜合題型中，像這樣涉及到到分類(lèi)討論思想的題目數(shù)不勝數(shù)，我們應(yīng)多加注意.

二、理清隱含條件，數(shù)形結(jié)合，直擊要害

在二次函數(shù)綜合題中，函數(shù)圖象的性質(zhì)歷來(lái)是考查的重點(diǎn)之一，而以之為基礎(chǔ)也常常與方程、不等式或一些幾何知識(shí)進(jìn)行綜合，因此數(shù)形結(jié)合能力在二次函數(shù)綜合題的解答過(guò)程中就顯得至關(guān)重要，尤其是在需要將一些復(fù)雜而抽象代數(shù)問(wèn)題圖形化時(shí)，正確的數(shù)形結(jié)合是解答題目的基礎(chǔ)和關(guān)鍵.事實(shí)上，很多學(xué)生在面對(duì)二次函數(shù)綜合題時(shí)的最大短板就是圖形轉(zhuǎn)化能力低，尤其是對(duì)題目中的一些隱含信息，無(wú)法通過(guò)數(shù)形結(jié)合標(biāo)示出來(lái)進(jìn)而充分利用，因此，在習(xí)題教學(xué)中教師應(yīng)特別重視使學(xué)生掌握“代數(shù)圖形化“策略，能夠理清隱含信息，通過(guò)數(shù)形結(jié)合直擊要害.我們來(lái)看一道例題：

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx與二次函數(shù)y=ax2-(a+1)x圖象的一個(gè)交點(diǎn)為A(4，8)，試解答以下三問(wèn)：①求出該直線和二次函數(shù)的解析式；②若點(diǎn)P為線段OA上一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)做y軸的平行線交本題中二次函數(shù)圖象于點(diǎn)Q，則線段PQ的最大長(zhǎng)度為多少？③設(shè)本題中二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為M，點(diǎn)N為二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，若使四邊形AOMN為梯形，則點(diǎn)N的坐標(biāo)及梯形AOMN的面積分別是多少？

解析首先要說(shuō)的是本題的原題是沒(méi)有給出圖形的，需要學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出直線和二次函數(shù)的圖象，并根據(jù)題意標(biāo)出重要的點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行分析和解答.前兩問(wèn)很簡(jiǎn)單,在此從略.第三問(wèn)的大體解答過(guò)程如下：從第一問(wèn)求出的二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=x2-2x可知頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，-1)，過(guò)點(diǎn)M作直線OA的平行線交二次函數(shù)圖象于點(diǎn)N，如圖所示，四邊形AOMN為梯形，直線MN可看作是由直線OA

向下平移b個(gè)單位得到，由此可得直線MN的方程為y=2x-b.將M點(diǎn)的坐標(biāo)代入此方程得到b=3，故直線MN的方程為y=2x-3.將此式與二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=x2-2x聯(lián)立可得x1=1，x2=3.據(jù)此易知MN與二次函數(shù)的交點(diǎn)N的坐標(biāo)(3，3).如圖，分別過(guò)點(diǎn)M、N作y軸的平行線交直線OA于G、H，四邊形MNHG顯然為平行四邊形，據(jù)此可得到G、H兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1，2)和(3，6).由圖可知，所求梯形面積等于△OMC、△ANH與梯形MNHG的面積之和.求三者面積所需的關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)都已有了，根據(jù)面積公式分別求出其面積然后相加即可得到最后答案.

簡(jiǎn)評(píng)該題綜合二次函數(shù)、一次函數(shù)與一些相關(guān)幾何知識(shí)，屬于比較典型的二次函數(shù)綜合題.其新穎點(diǎn)在于，以二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交形成的圖形框架為載體巧妙融合進(jìn)幾何知識(shí)，而原題并不給出圖形，需要學(xué)生自主畫(huà)圖，并挖掘題目中的隱含信息進(jìn)而善加利用.整個(gè)解題過(guò)程中所彰顯出來(lái)的正是一種典型的“數(shù)形結(jié)合，直擊要害”的解題策略，需要我們好好體會(huì)和借鑒.

綜上所述，我們結(jié)合具體題例探討了初中二次函數(shù)綜合題型的兩種基重要解題策略，即“抓準(zhǔn)臨界點(diǎn)信息，恰當(dāng)分類(lèi)，巧妙切入”“理清隱含條件，數(shù)形結(jié)合，直擊要害”.事實(shí)上，初中二次函數(shù)綜合題型解題策略與技巧時(shí)一個(gè)同時(shí)具有一定深度和廣度的話題，除本文所述外當(dāng)然還有其他一些有效的策略及技巧，這就需要我們一線教師在教學(xué)實(shí)踐中多加留心和勤于總結(jié).