數(shù)學(xué)概念的教學(xué)

張玉芳

摘 ?要：學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)，受到生活經(jīng)驗(yàn)以及舊有知識(shí)的影響，可能會(huì)產(chǎn)生認(rèn)知偏差，這樣的偏差在學(xué)術(shù)上被稱為“迷思概念”，它不利于學(xué)生全面深刻地理解概念。文章中，筆者以“三角形的高”這一概念的教學(xué)為例，分析了學(xué)生可能存在的迷思概念及場(chǎng)生原因，并分享了筆者在教學(xué)中采取的糾正方法。

關(guān)鍵詞：迷思概念;糾正;三角形的高;提質(zhì)增效

一、前言

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，是整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中相當(dāng)重要的一部分，其教學(xué)的核心在于幫助學(xué)生全面和正確地理解數(shù)學(xué)概念屬性。概念的定義應(yīng)該是概念名稱與其相關(guān)屬性的結(jié)合，教師的教學(xué)目標(biāo)，就是要讓學(xué)生能理解概念的相關(guān)屬性并將概念名稱與其屬性對(duì)應(yīng)起來。例如，我們?cè)诙x“三角形的高”這一概念時(shí)，就是如下展開的：“三角形的高是一條經(jīng)過三角形某一頂點(diǎn)并垂直于該頂點(diǎn)相對(duì)邊所在直線的線段?！痹谶@一定義中，我們首先給出了概念的名稱，即三角形的高，然后給出了其相關(guān)屬性，即“線段”“經(jīng)過三角形某一頂點(diǎn)”和“垂直于該頂點(diǎn)相對(duì)邊”，這些相關(guān)屬性給出了三角形高的全部特征，并使其區(qū)別于其他類似概念 [1]。這樣的概念定義看似簡(jiǎn)單，但是概念的教學(xué)卻沒有那么容易，教師要做的不僅是讓學(xué)生記住這些描述，更重要的，教師應(yīng)幫助學(xué)生全面認(rèn)識(shí)概念的內(nèi)涵，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)辨認(rèn)，構(gòu)建對(duì)應(yīng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，根據(jù)人的認(rèn)知特點(diǎn)。我們?cè)趯W(xué)習(xí)某一新概念時(shí)，總是傾向于先將它類比于先前的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)新概念時(shí)，往往會(huì)將其與先前學(xué)習(xí)過的知識(shí)或者生活中的經(jīng)驗(yàn)混淆。有些時(shí)候，由于這些經(jīng)驗(yàn)過于根深蒂固，學(xué)生甚至?xí)?duì)新概念產(chǎn)生錯(cuò)誤的認(rèn)知，這樣的錯(cuò)誤認(rèn)知在學(xué)術(shù)上被稱為“迷思概念”。學(xué)生在學(xué)習(xí)“三角形的高”這一概念之前，已經(jīng)接觸過了如平行四邊形的高、梯形的高等類似的概念，那么這會(huì)對(duì)學(xué)生的認(rèn)知產(chǎn)生哪些影響？會(huì)因此形成怎樣的“迷思概念”？為了了解清楚這些情況，筆者對(duì)自己的學(xué)生進(jìn)行了測(cè)試，先解釋了什么是三角形的高，然后給出了不同的三角形，讓學(xué)生嘗試畫出底邊上的高。

二、對(duì)于“三角形的高”，學(xué)生存在的迷思概念以及原因分析

筆者對(duì)學(xué)生進(jìn)行測(cè)試之后，得到了表1的結(jié)果。

在進(jìn)行“三角形的高”這一內(nèi)容的教學(xué)前，我們常認(rèn)為其難點(diǎn)有二：其一是生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)概念的沖突，其二是鈍角三角形高的辨認(rèn)。生活中，學(xué)生對(duì)高這一概念的認(rèn)知一般是“物體最高點(diǎn)到地面的豎直距離”，而在三角形的高這一概念中，參照面由地面轉(zhuǎn)為了底邊、對(duì)邊，它們往往不平行于地面，具有一定的傾斜度，兩者有較大的差別，學(xué)生學(xué)習(xí)起來可能有一定的難度。然而，通過分析結(jié)果表中的數(shù)據(jù)我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于同一個(gè)三角形，當(dāng)其底邊平行于地面或處于其他位置時(shí)，學(xué)生辨認(rèn)的正確率差異為10%左右，并沒有想象中那么大，究其原因，雖然生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)概念的差距較大，但是由于學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)習(xí)過諸如平行四邊形的高等近似概念，他們對(duì)高在數(shù)學(xué)中的概念有了一定的認(rèn)知，這降低了傾斜度這一影響因素的干擾力。而對(duì)于鈍角三角形的高，由于存在鈍角邊上的高在三角形外這一特殊情況，一般來說小學(xué)教學(xué)中不做要求，但是，這樣做會(huì)帶來潛在的問題——由于缺少經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生們可能在學(xué)習(xí)過程中不自主地認(rèn)為三角形的高就是在三角形內(nèi)部的，這相當(dāng)于在概念的定義中增加了一條有關(guān)位置的相關(guān)屬性，從而局限了概念的定義范圍。所以，雖然鈍角三角形鈍角邊上的高在小學(xué)階段不做要求，但是，為了讓學(xué)生能夠全面正確地認(rèn)識(shí)“三角形的高”這一概念，教師應(yīng)該要讓學(xué)生接觸這一特殊情況，并讓部分比較優(yōu)秀的學(xué)生嘗試著去畫一畫這個(gè)在三角形外的高，幫助他們更加全面深刻地理解這一概念 [2]。

分析結(jié)果表格我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在作直角三角形直角邊上的高以及鈍角三角形鈍角邊上的高時(shí)錯(cuò)誤率較高，對(duì)比分析后，筆者認(rèn)為，這主要是由于這兩種情況下，高不在三角形的內(nèi)部，與普遍情況不同。為了找出問題背后存在的迷思概念，筆者將學(xué)生的錯(cuò)誤歸類，希望從中找到問題的根源，具體情況如表2所示。

分析表2可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生犯“錯(cuò)誤③”的主要原因是他們受到生活經(jīng)驗(yàn)“高是垂直于水平面，是豎直的”這一迷思概念的誤導(dǎo)。在其他情形下，學(xué)生都能理解“垂直于對(duì)邊（底邊）”這一屬性，取一條垂直于底邊的線段作為三角形的高，這時(shí)候錯(cuò)誤產(chǎn)生的主要原因是學(xué)生忽略了高的第二條屬性，沒有讓高經(jīng)過三角形的某一頂點(diǎn)，分許學(xué)生的作圖痕跡和筆記，對(duì)部分學(xué)生進(jìn)行詢問后，筆者發(fā)現(xiàn)了錯(cuò)誤背后的迷思概念。

部分學(xué)生在作直角三角形直角邊上的高時(shí)，從斜邊上一點(diǎn)引了一條垂線到直角邊上，并在旁邊備注“邊上任意一點(diǎn)”，結(jié)合學(xué)生的知識(shí)水平不難發(fā)現(xiàn)，他們將平行四邊形的高與三角形的高混淆了起來。在作平行四邊形的高時(shí)，是取邊上任意一點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€的，然而在作三角形的高時(shí)，“任意一點(diǎn)”變成了“某一頂點(diǎn)”，任意性變成了指向性，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)需要一定的適應(yīng)過程。

那么為什么在作銳角三角形的高時(shí)，學(xué)生基本不會(huì)出錯(cuò)呢？筆者詢問了部分學(xué)生，他們反映道，在畫直角三角形直角邊上的高或者鈍角三角形鈍角邊上的高時(shí)，從頂點(diǎn)出發(fā)無法使得畫出的線段在三角形內(nèi)部，覺得“怪怪的”，轉(zhuǎn)而選取了其他點(diǎn)，使高落在了三角形的內(nèi)部。筆者認(rèn)為，這是由于教師在講解平行四邊形或者梯形的高時(shí)，不經(jīng)意間對(duì)高的位置進(jìn)行了限定（如圖1），學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)誤認(rèn)為高應(yīng)該在圖形的內(nèi)部，所以在產(chǎn)生沖突時(shí)很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。

三、糾正迷思概念，構(gòu)建正確的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

經(jīng)過測(cè)試和分析，筆者大概了解了學(xué)生在學(xué)習(xí)“三角形的高”這一概念時(shí)存在的迷思概念，為了降低其副作用，筆者采用了以下幾個(gè)方法來嘗試糾正迷思概念，幫助學(xué)生構(gòu)建正確的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

1. 追根溯源，將前概念與新知識(shí)結(jié)合

數(shù)學(xué)知識(shí)具有一定的連貫性，學(xué)生學(xué)習(xí)的新知識(shí)往往和舊知識(shí)緊密相連，要想糾正迷思概念，第一步應(yīng)該是追根溯源，發(fā)現(xiàn)前概念中與新知識(shí)中的相關(guān)部分，然后幫助學(xué)生從根源處理清概念內(nèi)涵。三角形的高這一概念主要與“點(diǎn)到直線的距離”以及“平行四邊形的高”有關(guān)，因此，筆者就從這兩個(gè)前概念知識(shí)點(diǎn)出發(fā)，幫助學(xué)生正確構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

具體的教學(xué)過程如下：

第一步，再現(xiàn)前概念場(chǎng)景。

如圖2所示，格子圖中每小格代表1cm，試問：與AB線段距離為3cm的C點(diǎn)在哪里？

再通過這張圖，讓AB線段分別成為平行四邊形、梯形的底邊，引出高的概念，最后再以AB為底作三角形，讓學(xué)生指出并解釋什么是三角形的底和高，并讓其明白，求某一圖形的高最終可以轉(zhuǎn)化為求某一點(diǎn)到某一線段的距離（如圖3所示）。

2. 對(duì)癥下藥，利用認(rèn)知沖突點(diǎn)進(jìn)行概念構(gòu)建

學(xué)生在三角形的高這一概念的主要認(rèn)知沖突點(diǎn)就在高的位置上，教師可以抓住這一沖突，讓學(xué)生直觀地感受問題之所在，從而完整地架構(gòu)認(rèn)知。高相對(duì)于三角形的位置主要有三種：高在三角形內(nèi)，高在三角形上以及高在三角形外，三種情況轉(zhuǎn)換的節(jié)點(diǎn)就在直角三角形直角邊上的高的位置上。筆者通過如下的動(dòng)態(tài)演示，讓學(xué)生直觀感受到了高的位置變化，從最容易接受的銳角三角形的高到相對(duì)難接受的鈍角三角形鈍角邊上的高，學(xué)生在演示過程中產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，通過情況對(duì)比，筆者對(duì)癥下藥，幫其解決了疑難之處。

參考文獻(xiàn)：

[1] ?夏玉英. 結(jié)構(gòu)化：一種必備的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——結(jié)構(gòu)化思維在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用及思考[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2017（21）.

[2] ?顏春紅. 小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)課堂過程評(píng)價(jià)解析[J]. 現(xiàn)代中小學(xué)教育，2018（2）.