立足思維起點(diǎn)，領(lǐng)悟假設(shè)精髓

徐莉嬌

[摘? 要] 新課改后，高中數(shù)學(xué)增加了“幾何概型”內(nèi)容，它是有關(guān)概率的一種計(jì)算方法，對(duì)于高中生對(duì)概率概念的深入理解，以及在現(xiàn)實(shí)生活中如何計(jì)算事件概率有著很好的幫助. 通過“幾何概型”來強(qiáng)化高中生的數(shù)學(xué)思維，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法大有裨益. 文章結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，對(duì)此進(jìn)行了詳細(xì)闡述.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);“幾何概型”;假設(shè);數(shù)學(xué)思維

新課改對(duì)高中數(shù)學(xué)教材進(jìn)行了一系列改革，部分新內(nèi)容作為對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系必要的、有益的補(bǔ)充被添加進(jìn)來，這些內(nèi)容對(duì)于高中生更好的探索數(shù)學(xué)本質(zhì)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系發(fā)揮著重要作用，其中具有代表性的就是“幾何概型”. “概率論”是高中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必須要學(xué)習(xí)和掌握的一項(xiàng)重要知識(shí)，但概率概念相對(duì)抽象，且很多高中生對(duì)于如何應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)計(jì)算現(xiàn)實(shí)生活中事件發(fā)生的概率并不擅長(zhǎng)，所以在古典概型的基礎(chǔ)上，引入了“幾何概型”模型. 高中生在學(xué)習(xí)古典概型之后會(huì)形成簡(jiǎn)單的“概率思維”，所以在學(xué)習(xí)“幾何概型”時(shí)難免混淆，其原因在于高中生的數(shù)學(xué)思維尚不成熟和嚴(yán)謹(jǐn)，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法沒有一個(gè)深入的了解與掌握. 故在“幾何概型”的教學(xué)中，應(yīng)立足學(xué)生思維起點(diǎn)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法精髓，幫助學(xué)生建立起數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，讓他們學(xué)會(huì)如何運(yùn)用數(shù)學(xué)方法去認(rèn)識(shí)和改變生活. 本文以“假設(shè)”思想為切入點(diǎn)，對(duì)“幾何概型”教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的滲透與實(shí)踐進(jìn)行了全面解析.

[?]“假設(shè)”，從問題情境中開始

在高中數(shù)學(xué)教材中，“幾何概型”的概念是通過實(shí)例向高中生進(jìn)行描述的，然后給學(xué)生介紹了隨機(jī)模擬方法，讓他們掌握到計(jì)算“幾何概型”問題的一種方法. 在教材中的例題較有代表性，且通俗易懂，利于教師開展教學(xué). 該節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生掌握計(jì)算方法，難點(diǎn)在于如何將未知量求解問題轉(zhuǎn)化成“幾何概型”概率求解問題. 因此在突破重點(diǎn)與難點(diǎn)時(shí)，可以有效滲透“假設(shè)”方法與思想，通過“問題情境”的創(chuàng)建，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主思考與探究，尋找到解決“幾何概型”問題的有效方法，培養(yǎng)他們科學(xué)的數(shù)學(xué)思維方法.

如在進(jìn)行“幾何概型”概念講解前，先給學(xué)生出示問題組：

（1）取一根繩子，長(zhǎng)度是3米，拉直后選擇任意一個(gè)位置剪斷，求剪斷后得到的兩根繩子的長(zhǎng)度大于或等于1米的概率;

（2）張文和李松兩人一起玩轉(zhuǎn)盤游戲，如圖1所示，如果指針停留于B區(qū)時(shí)張文勝;反之李松勝，求張文勝出的概率;

（3）將一探測(cè)器置于某個(gè)空的長(zhǎng)方體房間的屋頂，該探測(cè)器的探測(cè)范圍呈現(xiàn)圓錐狀，如果有不明物飛到這個(gè)房間，假設(shè)它在房間任意角落均有懸浮可能，那么探測(cè)器探測(cè)到該不明物的概率有多大？

面對(duì)三個(gè)貌似毫不相關(guān)的問題，怎樣讓學(xué)生將其聯(lián)系起來，并從中總結(jié)“幾何概型”概率問題的解決方法？教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過假設(shè)、猜想進(jìn)行上述問題的解決：假設(shè)三個(gè)問題之間存在著某種共同點(diǎn)，那么大家是否可以對(duì)三個(gè)問題的概率進(jìn)行猜想？不是讓學(xué)生去直接面對(duì)問題，而是通過假設(shè)和猜想讓學(xué)生自主探究隱藏于問題背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)，這對(duì)于學(xué)生是一種全新的學(xué)習(xí)方式，因此他們也會(huì)投入十分的熱情. 最后通過問題分析，就能夠得出“幾何概型”公式：P（A）=（D的測(cè)度≠0）.

“假設(shè)”是一種引導(dǎo)學(xué)生從另一個(gè)角度去看待問題，嘗試著從原有問題中“再生”出新的問題，并通過大膽猜想、小心求證對(duì)新問題進(jìn)行分析、理解、解決，體驗(yàn)問題解決多樣化策略，發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新與實(shí)踐精神的數(shù)學(xué)思想方法. 它淡化了傳統(tǒng)教學(xué)過于形式化、機(jī)械化記憶的弊端，重視學(xué)生在問題情境中對(duì)知識(shí)的體驗(yàn)與理解，它更關(guān)注學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維去領(lǐng)悟知識(shí)形成的過程，也促進(jìn)了學(xué)生在“幾何概型”學(xué)習(xí)中的自主性，培養(yǎng)了他們探索新模式，發(fā)現(xiàn)新規(guī)律的數(shù)學(xué)能力.

[?]“假設(shè)”，在生活情境中深化

任何一種思想與方法，都需要在生活實(shí)踐這個(gè)“土壤”中，才能真正地生根發(fā)芽. 在上述的問題情境創(chuàng)建中，由于隱藏于問題中的數(shù)學(xué)本質(zhì)相對(duì)淺顯，接受起來學(xué)生還是感覺很容易，但因?yàn)闇\顯所以在對(duì)“幾何概型”的理解上也會(huì)存在表面化的現(xiàn)象，之所以會(huì)增加“幾何概型”的相關(guān)內(nèi)容，除了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維之外，更重要的還是讓他們體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用價(jià)值，即學(xué)會(huì)運(yùn)用“幾何概型”知識(shí)去解決現(xiàn)實(shí)中與概率相關(guān)的問題. 所以在問題情境設(shè)計(jì)之余，還要通過生活情境讓學(xué)生如何將數(shù)學(xué)知識(shí)以及“假設(shè)”的數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用于現(xiàn)實(shí)中去. 如給出一個(gè)生活化問題：“甲、乙兩人要在六點(diǎn)到七點(diǎn)之間到某地碰面，但因?yàn)楦髯远加惺虑槲唇鉀Q，因此提前告知對(duì)方無論誰先到達(dá)指定地點(diǎn)都給對(duì)方預(yù)留出十分鐘的等待時(shí)間，如在十分鐘內(nèi)另一個(gè)仍未到則先到者可以先行離開，那么兩個(gè)人會(huì)面概率有多大？”像這樣一個(gè)約會(huì)和等待的問題，幾乎每個(gè)學(xué)生都有類似經(jīng)歷，但是可能很少有人想到要用“幾何概型”去計(jì)算概率，所以生活化的問題一出，學(xué)生們倍感興趣，認(rèn)識(shí)到了這種計(jì)算方法可以有效地節(jié)省彼此的時(shí)間. 但顯然這種生活“味兒”太濃的問題，很短時(shí)間內(nèi)學(xué)生無法與之前的數(shù)學(xué)問題聯(lián)系起來，這時(shí)就可以用“假設(shè)”的方法引導(dǎo)學(xué)生：“假設(shè)該問題與之前問題之間存在本質(zhì)上的聯(lián)系，是不是可以考慮用‘幾何概型方法進(jìn)行解決？”這種假設(shè)就是將生活與數(shù)學(xué)連接在一起，讓學(xué)生找到思考的方向，沿著這個(gè)思路再次審題，他們就會(huì)從“等可能性”的角度去尋找其中隱藏的一些數(shù)學(xué)條件. 而在解題中同樣可以運(yùn)用“假設(shè)”方法進(jìn)行巧撥妙引：“假設(shè)兩人能夠見面，那么它的前提條件是什么？”在這樣的引導(dǎo)下學(xué)生展開分析，問題就變得簡(jiǎn)單多了：

兩人到達(dá)約定地點(diǎn)的時(shí)間相對(duì)任意，無論是甲還是乙，只需要在六點(diǎn)到七點(diǎn)之間任意時(shí)間即可，這樣就會(huì)有無數(shù)個(gè)結(jié)果產(chǎn)生，那么就找到了題目中有兩個(gè)變量（連續(xù)型）存在，甲和乙兩人到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)間，即x，y. 那么用坐標(biāo)表示就會(huì)出現(xiàn)圖2. 所有（x，y）點(diǎn)最終形成了正方形一個(gè)區(qū)域，因?yàn)榈竭_(dá)時(shí)間是存在隨意性的，所以正方形區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)都存在等可能性，假設(shè)該問題與之前問題本質(zhì)一致，那么可以列入“幾何概型”范圍. 假設(shè)兩人正常會(huì)面的前提條件是“甲先到達(dá)后乙在規(guī)定十分鐘也到達(dá)”，由此推出x-y≤10. 這時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生將自己之前學(xué)過的“線性規(guī)劃”與之結(jié)合到一起，在圖中描繪出滿足該條件的存在于直角坐標(biāo)系中的所有點(diǎn)，用陰影表示，最后得出：P（A）=. 在這種相對(duì)復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問題中，關(guān)鍵是讓學(xué)生掌握到解題的正確方法，通過建模、假設(shè)，將生活化問題轉(zhuǎn)化為“幾何概型”數(shù)學(xué)問題，再利用公式進(jìn)行求解. “幾何概型”與“幾何”是并不存在直接關(guān)系的兩個(gè)概念，只是因?yàn)樵诂F(xiàn)實(shí)生活中一些相關(guān)問題能夠以“幾何圖形”的形式進(jìn)行描述，再用幾何知識(shí)加以解決. 現(xiàn)實(shí)生活中凡與概率相關(guān)的問題，均能夠用“幾何概型”進(jìn)行解決，但關(guān)鍵是如何找到“幾何概型”的特點(diǎn)與本質(zhì).

無論是建模、假設(shè)、猜想、轉(zhuǎn)化，都是數(shù)學(xué)思想方法的重要內(nèi)容，在“幾何概型”教學(xué)中，這些思想方法都不會(huì)是獨(dú)立存在的. 領(lǐng)悟假設(shè)精髓的過程，就是滲透數(shù)學(xué)思想方法的過程，而在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，掌握到了數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵，就等于站在了數(shù)學(xué)思維的最高點(diǎn).