在“思維場(chǎng)”中激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

平小建

[摘? 要] 學(xué)習(xí)需要思維的支撐，數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)需要具有數(shù)學(xué)特點(diǎn)的思維支撐. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，以學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)和思維特點(diǎn)為基礎(chǔ)，構(gòu)造一個(gè)適合學(xué)生學(xué)習(xí)的“思維場(chǎng)”，可以讓學(xué)生的思維有效展開(kāi)，從而更順利地構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)，形成數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的能力. 思維場(chǎng)與學(xué)習(xí)情境相關(guān)但又超越學(xué)習(xí)情境的水準(zhǔn)，思維場(chǎng)更為隱性，思維場(chǎng)的構(gòu)造需要注意相關(guān)問(wèn)題. 以思維場(chǎng)為支點(diǎn)，可以更有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);“思維場(chǎng)”;數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)教師都是高度重視學(xué)生思維能力培養(yǎng)的，這與數(shù)學(xué)學(xué)科的性質(zhì)有關(guān). 尤其是在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)與邏輯推理，沒(méi)有一定的思維能力是無(wú)法應(yīng)對(duì)的. 近年來(lái)筆者發(fā)現(xiàn)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中重視學(xué)生的思維，不僅要關(guān)注思維的培養(yǎng)形式，更需要關(guān)注“思維場(chǎng)”的打造，因?yàn)橹挥挟?dāng)學(xué)生置身于“思維場(chǎng)”當(dāng)中時(shí)，他們的自主思維才能被有效激活，思維的自主性才能得到尊重與發(fā)展. 建立這一認(rèn)識(shí)，是因?yàn)楣P者發(fā)現(xiàn)，如果長(zhǎng)時(shí)間讓學(xué)生跟在教師后面去思考問(wèn)題，學(xué)生會(huì)像嬰兒學(xué)步時(shí)父母拉緊不放一樣不能真正形成行走的能力，只有敢于放手同時(shí)又給學(xué)生一個(gè)“思維場(chǎng)”，學(xué)生才會(huì)在思維的大海中撲騰出屬于自己的能力. 基于這樣的思考，筆者對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中思維場(chǎng)的打造并以之激活學(xué)生的思維進(jìn)行了深入思考，取得了一些心得，在此與同行們分享.

[?]思維場(chǎng)是學(xué)習(xí)情境的升華

提到“場(chǎng)”這個(gè)概念，很多人可能會(huì)下意識(shí)地將它與學(xué)習(xí)情境聯(lián)系在一起，因?yàn)檎n程改革以來(lái)一直強(qiáng)調(diào)的學(xué)習(xí)情境，確實(shí)能夠給學(xué)生的思維提供更廣闊的空間，但筆者所理解的思維場(chǎng)與學(xué)習(xí)情境還是有所不同的.

學(xué)習(xí)情境是由學(xué)習(xí)材料、問(wèn)題等組合成的，能夠讓學(xué)生置于其中完成數(shù)學(xué)知識(shí)的構(gòu)建或數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決的情境. 高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境大多由教師創(chuàng)設(shè)，其選材通常是實(shí)際問(wèn)題或是由前面已經(jīng)接觸過(guò)的學(xué)習(xí)素材，或者是在已有素材的基礎(chǔ)上重新賦予新的問(wèn)題而形成. 學(xué)習(xí)情境創(chuàng)設(shè)的主要目的在于回避數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性，以讓學(xué)生的思維更加有據(jù)可依，即不讓學(xué)生感覺(jué)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是抽象符號(hào)的研究與推理.

思維場(chǎng)則不同，思維場(chǎng)是指向?qū)W生思維的，是指向?qū)W生思維展開(kāi)的形式的，思維場(chǎng)高度關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)情境中思維如何展開(kāi)，強(qiáng)調(diào)通過(guò)恰當(dāng)?shù)耐饨绱碳?lái)讓學(xué)生在思維場(chǎng)中更順利地思維. 由于在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的思維受多重因素影響，而由于個(gè)體差異性，因此不同學(xué)生在思維展開(kāi)的時(shí)候，都會(huì)遇到不同的困難，而思維場(chǎng)的打造，就是要盡可能為學(xué)生突破思維障礙、保證思維的順暢性服務(wù).

如果說(shuō)學(xué)習(xí)情境是由有形的學(xué)習(xí)材料與教學(xué)手段、教學(xué)方法支撐的質(zhì)性材料組成的話，那思維場(chǎng)就是從無(wú)形的思維角度入手，以學(xué)生的思維發(fā)展為主要關(guān)注點(diǎn)，然后通過(guò)對(duì)包括學(xué)習(xí)情境在內(nèi)的所有手段的運(yùn)用，來(lái)促進(jìn)學(xué)生的思維展開(kāi). 從這個(gè)角度講，思維場(chǎng)是在學(xué)習(xí)情境基礎(chǔ)上進(jìn)行的升級(jí)，以求在輔助學(xué)生思維的方面取得升華的效果.

[?]思維場(chǎng)激活學(xué)生思維例析

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是以數(shù)學(xué)知識(shí)的構(gòu)建與問(wèn)題展開(kāi)為基礎(chǔ)的，在此基礎(chǔ)上立足對(duì)學(xué)生思維的分析去構(gòu)造思維場(chǎng)，其基本環(huán)節(jié)應(yīng)當(dāng)包括四個(gè)步驟，現(xiàn)以“冪函數(shù)”的教學(xué)為例進(jìn)行說(shuō)明：

第一步，創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境. 筆者是向?qū)W生提供了若干個(gè)函數(shù)實(shí)例，如購(gòu)買(mǎi)商品時(shí)商品總額y與商品數(shù)量x的關(guān)系，正方形的面積及體積與邊長(zhǎng)的關(guān)系，人行走時(shí)速度與時(shí)間的關(guān)系，等等，這些例子取材于生活，分別對(duì)應(yīng)著不同指數(shù)值的函數(shù). 目的在于讓學(xué)生通過(guò)分析與綜合，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的共同特點(diǎn)，以得出指數(shù)函數(shù)的概念.

第二步，根據(jù)學(xué)生在分析綜合過(guò)程中遇到的特點(diǎn)，構(gòu)造思維場(chǎng)，引導(dǎo)學(xué)生鎖定冪函數(shù)的概念. 學(xué)生在分析的過(guò)程中，可以得出y=kx，S=a2，S=a3，v=等，學(xué)生在分析這些例子的時(shí)候，難點(diǎn)之一在于尋同求異：“同”是函數(shù)與指數(shù)，“異”是變量. 這里，“尋同求異”就是一種思維方式，教師用該詞引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有質(zhì)有效的思維，可以讓冪函數(shù)y=xa的得出過(guò)程更為順利.

第三步，在冪函數(shù)圖像教學(xué)中構(gòu)建思維場(chǎng)，深化學(xué)生對(duì)冪函數(shù)的理解. 函數(shù)學(xué)習(xí)必然涉及圖像，圖像怎么形成需要認(rèn)真設(shè)計(jì)，筆者的觀點(diǎn)是不要給學(xué)生呈現(xiàn)現(xiàn)成的圖像，而應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生自己在平面直角坐標(biāo)系上去作圖. 筆者在教學(xué)中設(shè)計(jì)讓學(xué)生自選函數(shù)并到黑板上作圖（也可以借助于現(xiàn)代教學(xué)手段讓圖像自動(dòng)生成），結(jié)果學(xué)生自然會(huì)從最簡(jiǎn)單的選擇起，于是第一個(gè)y=kx的圖像迅速生成，其后就是y=kx2和y=，再然后呢？學(xué)生自然會(huì)去判斷哪個(gè)函數(shù)的圖像更容易作出，而判斷的依據(jù)只可能是自己的經(jīng)驗(yàn). 根據(jù)筆者的了解與判斷，學(xué)生此時(shí)更容易選擇y=kx2，因?yàn)槠湫问脚c二次函數(shù)相似，學(xué)生可以自然推理其圖像應(yīng)當(dāng)與二次函數(shù)“形狀相同但會(huì)更加靠近y軸”（學(xué)生在課堂上的表述）. 而到了指數(shù)為負(fù)值時(shí)，學(xué)生的思維又會(huì)遇到障礙，這個(gè)時(shí)候思維場(chǎng)的構(gòu)建主要在于引導(dǎo)學(xué)生思考“指數(shù)為小數(shù)或負(fù)值時(shí)，函數(shù)的變化趨勢(shì)應(yīng)當(dāng)是怎么樣的”這一問(wèn)題，并讓學(xué)生結(jié)合已有圖像進(jìn)行猜想. 這樣的指導(dǎo)是針對(duì)學(xué)生的思維困境提出的，圖像的形成也需要以一定的教學(xué)手段進(jìn)行支撐. 從學(xué)生的思維結(jié)果來(lái)看，學(xué)生起初對(duì)指數(shù)為小數(shù)或負(fù)值的函數(shù)圖像有些懷疑，待平滑曲線形成時(shí)，則顯得比較自信，這種自信折射出的是其對(duì)自己思維結(jié)果的信任，也就說(shuō)明此時(shí)思維場(chǎng)的構(gòu)建是有效的.

第四步，構(gòu)造思維場(chǎng)，完善對(duì)冪函數(shù)的認(rèn)識(shí). 在圖像得出之后，筆者可以通過(guò)問(wèn)題進(jìn)一步撬動(dòng)學(xué)生的思維，如“通過(guò)對(duì)不同冪函數(shù)的研究，有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)它們有什么共同點(diǎn)”. 這個(gè)問(wèn)題可以讓學(xué)生的思維進(jìn)一步指向冪函數(shù)的圖像，結(jié)果學(xué)生發(fā)現(xiàn)所有的函數(shù)都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1），自然就會(huì)有學(xué)生問(wèn)為什么，而這個(gè)問(wèn)題的回答又是那么的“簡(jiǎn)單”，在解析式上就可以看出.

在上述教學(xué)中，教師的教學(xué)重點(diǎn)放在思維的引導(dǎo)上，放在讓學(xué)生在情境材料的支撐與問(wèn)題引導(dǎo)下的思維發(fā)展上. 在此過(guò)程中，教師對(duì)冪函數(shù)知識(shí)的講授是極少的，學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)都是在自己的思維之下形成的，因此在筆者看來(lái)，這是一個(gè)基于思維場(chǎng)構(gòu)造的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施，也收到了預(yù)期的效果.

[?]思維場(chǎng)構(gòu)造的相關(guān)注意點(diǎn)

構(gòu)造思維場(chǎng)說(shuō)起來(lái)簡(jiǎn)單，但做起來(lái)并不容易，一個(gè)重要原因就在于學(xué)生的思維是難以把握的，學(xué)生的思維材料又是各不相同的，本著因材施教的思路，尋找學(xué)生思維的共性，讓學(xué)生在思維的過(guò)程中盡可能地自主解決問(wèn)題，是思維場(chǎng)構(gòu)造的基本思路，在此基礎(chǔ)上還應(yīng)當(dāng)注意這樣的幾個(gè)方面：

其一，思維場(chǎng)構(gòu)造的基礎(chǔ)是學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)與思維方式.

思維說(shuō)到底是學(xué)生自己的思維，學(xué)生的思維又不是空中樓閣，而是在自身認(rèn)知基礎(chǔ)之上通過(guò)自身習(xí)慣的思維方式進(jìn)行的思考. 例如，在上面的“冪函數(shù)”例子中，筆者正是意識(shí)到學(xué)生在分析不同的函數(shù)的時(shí)候，有可能在同與異的判斷上出現(xiàn)問(wèn)題，于是才明確提出從異和同的角度進(jìn)行分析，這樣學(xué)生思維的指向性變強(qiáng)，不容易為其他因素所干擾，可以提升學(xué)生的思維品質(zhì).

其二，思維場(chǎng)構(gòu)造需要高度重視學(xué)生的生成.

思維是一個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程，只要學(xué)生進(jìn)入了思維場(chǎng)，就會(huì)順著自己的思路向前發(fā)展，這個(gè)過(guò)程中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些生成性的內(nèi)容，應(yīng)當(dāng)說(shuō)這是思維的必然結(jié)果，真正沒(méi)有生成的思維過(guò)程，是無(wú)法彰顯思維場(chǎng)的意義的. 比如在冪函數(shù)的教學(xué)中，有學(xué)生在分析異同的時(shí)候，提出了這個(gè)異也可以是指數(shù)的異，這種思維結(jié)果其實(shí)是將指數(shù)當(dāng)成了變量，而這是可以為后面的指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)的. 于是筆者就跟該小組的學(xué)生強(qiáng)調(diào)，可以記下此時(shí)的思維結(jié)果，等到了后面的某個(gè)知識(shí)的學(xué)習(xí)時(shí)來(lái)看是否能夠發(fā)揮作用. 在這里筆者沒(méi)有明確后面要學(xué)的是指數(shù)函數(shù)，實(shí)際上也是創(chuàng)設(shè)一個(gè)思維場(chǎng)，即在指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)時(shí)，看學(xué)生能否調(diào)動(dòng)此時(shí)形成的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn). 這就是思維場(chǎng)中生成的作用與價(jià)值.

其三，思維場(chǎng)構(gòu)造要注重對(duì)學(xué)生思維過(guò)程的評(píng)估.

由于思維場(chǎng)本身具有抽象性，由于學(xué)生的思維過(guò)程通常是內(nèi)隱的，學(xué)生的思維結(jié)果只可能通過(guò)一些顯性的數(shù)學(xué)知識(shí)與問(wèn)題來(lái)體現(xiàn)，因此對(duì)學(xué)生思維過(guò)程的評(píng)估，可以對(duì)構(gòu)造思維場(chǎng)所做的努力進(jìn)行準(zhǔn)確的評(píng)估.

綜上所述，思維場(chǎng)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中教師的一個(gè)有效的研究著力點(diǎn)，緊扣學(xué)生的思維特點(diǎn)為學(xué)生展開(kāi)思維提供一個(gè)合適的“場(chǎng)”，可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維打開(kāi)空間、保證時(shí)間. 同時(shí)，對(duì)思維場(chǎng)構(gòu)造的研究，是最接近數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)質(zhì)的，因而思維場(chǎng)可以說(shuō)是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最有力的支點(diǎn)，找準(zhǔn)這個(gè)支點(diǎn)，可以撬動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的地球.