淺談一類圓錐曲線試題的命制策略

安徽省阜陽第一中學(xué)(236000) 王青松

安徽省阜陽第四中學(xué)(236063) 彭榮進

圓錐曲線試題由于涵蓋知識面廣(它可以將高中數(shù)學(xué)中的平面幾何、解析幾何、不等式、平面向量、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識有機的結(jié)合起來),涉及到的數(shù)學(xué)思想方法靈活多樣(如函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想以及特殊與一般思想),是高考的重點考查內(nèi)容之一,更是高中數(shù)學(xué)老師熱衷于研究的命題之一.

筆者多次參與過大型聯(lián)考試題的命制,以及通過對近幾年高考試題、各地模擬題的研究,總結(jié)出一類圓錐曲線試題命制的幾種策略,主要分為以下三種:

一、利用橢圓與圓之間的親密關(guān)系命制橢圓試題

在教材選修4-4[1]中,定義了伸縮變換:

設(shè)點P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點,在變換的作用下,點P(x,y)對應(yīng)到點P′(x′,y′),稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換,簡稱伸縮變換.

圖1

圖2

例如,在圓中有“垂徑定理”,即垂直于弦的直徑平分弦(也可以敘述為:連結(jié)弦中點與圓心所得到的直線垂直于弦),如圖1所示:當(dāng)直線AB和OC斜率均存在時,有kAB·kOC=-1;如果將圓換成橢圓,利用伸縮變換φ就可以得到類似的結(jié)論:(此時橢圓方程:.

利用這種親密關(guān)系就命制出了如下的:

題目1(2013年高考新課標(biāo)I)已知橢圓1(a＞b＞0)的右焦點為F(3,0),過點F的直線交橢圓于A,B兩點.若AB的中點M坐標(biāo)為(1,-1),則E的方程為( )

簡析設(shè)OM,AB的斜率分別為k1,k2,由k1·k2=,所以,故選D.

題目2(2014年高考江西卷)過點M(1,1)作斜率為的直線與橢圓相交于A,B,若M是線段AB的中點,則橢圓C的離心率為___.

簡析由題知,由,可得,所以.

二、利用橢圓、雙曲線、拋物線之間的親密關(guān)系命制圓錐曲線試題

橢圓、雙曲線、拋物線都可以統(tǒng)一定義[2]為:

平面上到一個定點F的距離和它到一條定直線l(F不在l上)的距離之比是一個常數(shù)e的點的軌跡是圓錐曲線:

當(dāng)0＜e＜1時,它表示橢圓;當(dāng)e＞1時,它表示雙曲線;當(dāng)e=1時,它表示拋物線.

所以對于橢圓的一些結(jié)論,在雙曲線和拋物線中也會有相應(yīng)的結(jié)論,由這種親密關(guān)系,就可以命制出一些經(jīng)典的圓錐曲線試題了.例如,

題目3(2015年新課標(biāo)全國卷I)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線與直線l:y=kx+a(a＞0)交于M,N兩點.

(1)當(dāng)k=0時,分別求C在點M和N處的切線方程;

(2)y軸上是否存在點P,使得當(dāng)k變動時,總有∠OPM=∠OPN?說明理由.

簡析(1)略;(2)設(shè)存在點P(0,b)符合題意,M(x1,y1),N(x2,y2),由∠OPM=∠OPN可知kPM+kPN=0,即

那么將拋物線改為橢圓,又可以命制出以下試題:

題目4(2018年全國卷I)設(shè)橢圓的右焦點為F,過F的直線l與C交于A,B兩點,點M的坐標(biāo)為(2,0).

(1)當(dāng)l與x垂直時,求直線AM的方程;

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點,證明:∠OMA=∠OMB.

本題解析過程就不再贅述了,讀者可以把拋物線改為雙曲線,又可以命制出一道試題,讀者可以自行命制.

三、通過對一些式子的變形命制圓錐曲線試題

有時,我們感覺某個題目很新穎,涉及到的結(jié)論很經(jīng)典時,我們可以對該題進行改編,如可以換種曲線去驗證是否依然有相應(yīng)結(jié)論,或是對該題的結(jié)論進行改造,命出試題.

題目5(2017豐臺區(qū)一模)已知橢圓1(a＞b＞0)的離心率為,右焦點為F,點B(0,1)在橢圓C上.

(1)求橢圓C的方程;

(2)過點F的直線交橢圓C于M,N兩點,交直線x=2于點P,設(shè)求證:λ+μ為定值.

簡析(1);

(2)由已知得F(1,0),直線MN的斜率存在,設(shè)其方程為y=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2),則P(2,k).由,所以.聯(lián)立方程消去y并整理得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0.由韋達定理知代入②式可得λ+μ=0為定值.

通過對此題的研究可以得出:

結(jié)論已知橢圓的焦點F(c,0),過準(zhǔn)線:上任一點P,作直線PF交橢圓C于M,N兩點,則有.進而,有等式PM·NF=PN·MF,所以PM·(PN-PF)=PN·(PF-PM),整理得.由此,我們可以將本題第二問改編為如下試題:

改編1已知橢圓的離心率為,右焦點為F,點B(0,1)在橢圓C上.

(1)求橢圓C的方程;

(2)過點F的直線交橢圓C于M,N兩點,交直線x=2于點P,求證:.

本題證明從略.也可以將常數(shù)2隱藏起來,改成一個探究性問題,此時的問題將大大增加了難度,改編如下:

改編2已知橢圓的離心率為,右焦點為F,點B(0,1)在橢圓C上.

(1)求橢圓C的方程;

(2)過點F的直線交橢圓C于M,N兩點,交直線x=2于點P,是否存在實數(shù)λ,使得成立?若存在,求出實數(shù)λ的值;若不存在,請說明理由.

證明(1);

(2)由已知得F(1,0),直線MN的斜率存在,設(shè)其方程為y=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2),則P(2,k).等價于也即證明成立.

接下來的證明過程同改編1的證明.

學(xué)會命制試題是教師專業(yè)發(fā)展的需要,試題的質(zhì)量能夠直接反映出一個教師的知識儲備和專業(yè)素養(yǎng),讓教師更好的把握數(shù)學(xué)考試命題的趨勢和方向,以更好地指導(dǎo)課堂教學(xué),提高課堂教學(xué)的針對性和有效性.教師在教學(xué)中適時地對試題進行改編,引導(dǎo)學(xué)生去賞析試題,有利于學(xué)生進一步搞清楚相關(guān)知識的內(nèi)在聯(lián)系,提高學(xué)生探尋答題思路、解題方法的能力.