幾個(gè)含有二次根式的三元不等式

四川省成都實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校(611731) 宿曉陽(yáng)

眾所周知,不等式在數(shù)學(xué)中有重要的地位,無(wú)論是國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽(IMO)、世界各國(guó)(地區(qū))數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽,還是國(guó)內(nèi)各大高校自主招生數(shù)學(xué)考試,與不等式有關(guān)的試題頻頻出現(xiàn).原因是不等式有各種難度,具有較強(qiáng)的挑戰(zhàn)性,不僅可以很好區(qū)分考試的水平,還可以反映考生的數(shù)學(xué)功底和創(chuàng)新水平.本文將給出幾個(gè)新穎的含有二次根式的三元不等式.供參考與欣賞.同時(shí)為我們的英才教育提供一點(diǎn)新鮮血液!

命題1設(shè)x,y,z是正實(shí)數(shù),則

其中∑表示三元循環(huán)和.

證明在三角形嵌入不等式:x2+y2+中作代換,有:,再由三角形恒等式(其中a,b,c和s為分別為三角形的三邊和半周長(zhǎng)),設(shè)s-a=x,s-b=y,s-c=z,則,于是有

同理

兩個(gè)不等式相加,得

命題2設(shè)x,y,z是正實(shí)數(shù),則

證明先證:

事實(shí)上,由二元柯西不等式,有

即(2)式成立.

注:由(1)和(2)式,我們得到一個(gè)有趣的不等式鏈:設(shè)x,y,z是正實(shí)數(shù),則.

命題3設(shè)x,y,z是正實(shí)數(shù),則

證明由柯西不等式,有

由(4)式知欲證(3)式,即證

證

事實(shí)上,(6)式等價(jià)于

此不等式顯然成立,即(6)式成立,于是(3)式得證.

注:命題3類似于2004mosp不等式:設(shè)x,y,z是正實(shí)數(shù),則

有興趣的讀者不妨利用上述方法試一試.

命題4設(shè)x,y,z是正實(shí)數(shù),則

其中∑表示三元循環(huán)和.

證明先證:

事實(shí)上,(8)式等價(jià)于

由二元均值不等式,有

即(9)式成立.所以(8)式成立.同理可證明另外倆式.于是由上述三式相加即得(7)式.

注:命題4強(qiáng)于不等式:設(shè)x,y,z是正實(shí)數(shù),則

命題5設(shè)x,y,z是正實(shí)數(shù),則

證明(10)式兩邊平方,(10)等價(jià)于

由排序不等式,有

于是由上式知,欲證明(11)式,即證明

欲證明(11)式,即證明

此式顯然成立,即(13)式成立.故(10)式得證.

注:命題5類似于1988年Walther Janous在加拿大數(shù)學(xué)雜志Curx提出了如下問(wèn)題:設(shè)x,y,z是正數(shù),求證:

此題曾被選為2014年印度尼西亞國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)選拔考試題.